Lektsii_DM_Teoria_Grafov_2y_semestr

Дискретная математика: теория графов

Полные подграфы. Плотность графа

Пусть G V , - некоторый граф. Максимальный по включению

вершин подграф графа, любые две вершины которого смежны называется полным подграфом. Мощность максимального полного подграфа называется плотностью графа p G .

Алгоритм нахождения полных подграфов

Начальный шаг: строится вершина – корень дерева, которой сопоставляется граф G .

Итерационный шаг: на i -ом ярусе есть вершина, которой сопоставлен граф G .

а) Из G выбирается любая вершина v и выносится на i 1 ярус. б) На i 1 ярус выносятся все вершины, которые входят в G v . в) Каждая из вершин i 1 яруса взвешивается соответствующим графом – окрестностью от графа G .

Заключительный шаг: вершина дерева будет висячей, если соответствующий ей граф – пустой граф.

Замечание В пункте а) желательно выбирать ту вершину, которая имеет

максимальную степень.

Дискретная математика: теория графов

G

v2 v6 v2 v6

Полные подграфы графа G (или пустые подграфы графа G ):

G1 v2 ,v3 ,v8 G2 v3 ,v6 ,v8 G3 v1 ,v2 ,v8 G4 v6 ,v7 ,v8 G5 v1 ,v4 G6 v3 ,v4 G7 v4 ,v5 G8 v4 ,v7 G9 v2 ,v5

G10 v4 ,v5

G11 v5 ,v6

p G 0 G 3

Дискретная математика: теория графов

Пример

G :

Выделяем пустые подграфы:

G

Дискретная математика: теория графов

Реберные графы.

Графы со свойством реберности

Пусть G V ,U - некоторый граф. Назовем граф L G реберным графом G , если носитель графа L G совпадает с множеством

ребер графа G , и две вершины в L G смежны, если соответствующие ребра смежны в G .

Пример

(это преобразование можно выполнить всегда)

Граф G V ,U обладает свойством реберности, если существует

некоторый граф, реберный для которого является изоморфным для

G .

Пример

Теорема

Граф G обладает свойством реберности, если существует разложение ребер графа на полные подграфы такое, что каждая вершина графа принадлежит не более чем двум полным подграфам.

Замечание

1.Не для любого графа существует такое разложение ребер.

2.В разложении ребер каждое ребро принадлежит ровно одному подграфу.

Дискретная математика: теория графов

Пример

Пример

не являются реберными

Если граф обладает свойством реберности, то как найти его образ (т.е. граф, для которого данный является реберным)?

G

L G

Пример

G :

Дискретная математика: теория графов

p1 v1 ,v2 ,v3 p2 v2 ,v4 ,v5 p3 v3 ,v5 ,v6

L G :

Пример

Укладки графа. Планарность

Исследуются топологические свойства графа. Гомеоморфизм графов – еще одно отношение эквивалентности на графах. Два

графа Ga и Gb гомеоморфны, если они изоморфны с точностью до цепей степени 2.

Дискретная математика: теория графов

Пример

Gb :

Ga :

Гомеоморфны. Говорят, что они имеют одну и ту же топологию.

Пусть R - некоторая поверхность. Род поверхности R - это максимальное число простых замкнутых кривых, не разделяющих эту поверхность.

1

Род сферы: 0

2

Род тора: 1

Дискретная математика: теория графов

Поверхности, которые имеют род 4:

Род графа G - - минимальный род поверхности, на которой можно «уложить» граф G без взаимных пересечений ребер (ребра пересекаются только в вершинах).

Дискретная математика: теория графов

Пример

G K3,3

G 1

Граф G называется планарным (плоским), если G 0 .

печатные платы – планарные графы;

микросхемы (на уровне технологии их изготовления) – планарные графы.

Критерий планарности графа (критерий Понтрягина-Куратовского)

Граф планарен тогда и только тогда, когда в нем отсутствуют подграфы, гомеоморфные K3,3 или K5 .