Lektsii_DM_Teoria_Grafov_2y_semestr

Дискретная математика: теория графов

5. Операция дополнения графа (до полного) G G V , , Ga G

Граф, изоморфный своему дополнению называется

самодополнительным.

6. Операция произведения графов G Ga Gb

Ga Va , a ,Gb Vb , b ,G V ,

( v va ,vb a va b vb )

Дискретная математика: теория графов

Пример

Сколько ребер имеет граф K17,22 ?

K17,22 K17 K22

17 16 22 21 367

2 2

Связность в графах

Понятие цепи

Пусть G V ,U - некоторый граф. Последовательность попарно

инцидентных между собой вершин и ребер графа называется

цепью.

Длина цепи l v0 ,vn - число ребер, образующих цепь ( v0 и vn - концевые вершины цепи).

Цепь называется составной, если она содержит повторяющиеся ребра. Цепь называется сложной, если она содержит повторяющиеся вершины за исключением, быть может, первой и последней. Цепь, которая не является ни составной, ни сложной называется простой. Цепь называется циклом, если концевые вершины цепи совпадают. Циклы также бывают простые, составные и сложные. Cn - простой цикл, состоящий из n ребер.

Пусть vi и v j - некоторые вершины графа. Тогда расстояние между

вершинами r vi ,v j min l vi ,v j . Введенное таким образом

по всем цепям

понятие расстояния является метрикой на графах:

Дискретная математика: теория графов

2)r vi ,vj r vj ,vi ;

3)r vi ,vj r vj ,vk r vi ,vk .

Связность графа

Говорят, что две вершины vi и v j связны, если существует простая цепь, в которой vi и v j являются концевыми вершинами. Граф

называется связным, если любые две вершины его связны. Минимальное количество вершин графа, удаление которых делает граф несвязным (или тривиальным) называется вершинной связностью графа. Обозначается æ G . Минимальное количество

ребер графа, удаление которых делает граф несвязным (или тривиальным) называется реберной связностью графа.

Обозначается G .

Примеры

æKn n 1

æKm,n min m, n

æ G 1

G 2G 2

Дискретная математика: теория графов

Если æ G 1, то соответствующая вершина называется точкой сочленения графа. Если G 1, то соответствующее ребро называется мостом графа.

Теорема

Для любого графа æ G G G .

Компоненты связности графа

Максимальный по включению вершин подграф графа, любые две вершины которого связны (имеется ввиду вершины подграфа)

называется компонентой связности графа. k G - число компонент связности графа.

Теорема Любая вершина графа принадлежит ровно одной компоненте связности.

Число компонент связности графа k G является инвариантом. Если k G 1, то граф связен. Инварианты p, q и k являются зависимыми друг от друга.

Теорема

p k q p k p k 1

2

Следствие

Если q p 1 p 2 , то граф связен ( k 1). 2

Нахождение компонент связности

КС v v v v 3 v ...

2 v

Дискретная математика: теория графов

Шаг 0: поместить v в список. Итерационный шаг:

1.Найти в списке первую непросмотренную вершину ( vi ).

2.Вычислить vi и добавить в список те вершины из

окрестности, которых нет в списке. 3. Отметить vi как просмотренную.

Заключительный шаг: Итерационный шаг выполняется до тех пор пока в списке есть непросмотренные вершины.

Связность в орграфах

Если начальная вершина совпадает с конечной, то такой маршрут называется контуром. Две вершины vi и v j сильно связны, если

существует маршрут vi ,v j и существует маршрут v j ,vi .

Орграф называется сильно связным, если любые две его вершины сильно связны.

Пример

Дискретная математика: теория графов

v1 v2

v4 v3 v6

v5

Максимальный по включению вершин подграф орграфа, любые две вершины которого сильно связны, называется компонентой сильной связности орграфа (КСС).

Отношение сильной связности является отношением эквивалентности на множестве вершин. Таким образом разбиение орграфа на КСС – это разбиение множества вершин на классы эквивалентности.

Нахождение КСС

Теорема Любая вершина орграфа принадлежит ровно одной КСС орграфа.

vi КСС v КСС vi КСС v

КСС v R v Q v , где

R v - множество вершин, достижимых из v ,

Q v - множество вершин, из которых достижимо v .

v

Дискретная математика: теория графов

R v v v v 3 v ...

2 v

Q v v v 2 v 3 v ...

Пример

xi - группировка, - отношение влияния.

Кланы – совокупности группировок с равными «правами» по отношению друг к другу и к внешним группировкам.

x1 x2 x3 x4 x5

x9 x8 x7 x6

x13

Дискретная математика: теория графов

КСС x1 R x1 Q x1

R x1 x1 , x2 , x8 , x3 , x7 , x9 , x11 , x12 , x13

x1 x2 , x8

x2 x3 , x8

x8 x3 , x7 , x9 , x11

x3 x7

x7 x3 , x12

x9 x1 , x11

x11 x12

x12 x13

x13 x11

Q x1 x1 , x9 , x8 , x2 , x10

x1 x9

x9 x8

x8 x1 , x2 , x10

x2 x1

x10

КСС x1 R x1 Q x1 x1 , x2 , x8 , x9 K1

Дискретная математика: теория графов

КСС x3 R x3 Q x3

R x3 x3 , x7 , x12 , x13 , x11

x3 x7

x7 x3 , x12

x12 x13

x13 x11

x11 x12

Q x3 x3 , x4 , x7 , x6 , x5

x3 x4 , x7

x4 x6

x7 x3 , x4 , x6

x6 x5

x5 x4

КСС x3 R x3 Q x3 x3 , x7 K2 КСС x4 R x4 Q x4

R x4 x4 , x5 , x6 , x12 , x13 , x11

x4 x5

x5 x6

x6 x4 , x12

x12 x13

x13 x11

x11 x12

Q x4 x4 , x6 , x5

x4 x6

x6 x5

Дискретная математика: теория графов

x5 x4

КСС x4 R x4 Q x4 x4 , x5 , x3 K3

КСС x11 R x11 Q x11

R x11 x11 , x12 , x13

x11 x12

x12 x13

x13 x11

Q x11 x11 , x13 , x10 , x12

x11 x13

x13 x10 , x12

x10

x12 x11

КСС x11 R x11 Q x11 x11 , x12 , x13 K4

КСС x10 x10 K5

x9 x8 x7 x6

K4

x13

Сети

Орграф, в котором отсутствуют контуры, называется сетью. В сети есть следующие особые элементы: