Терехин. Учебное пособие

Uβ = –Umcosωt. Результаты расчета напряжений Uα и Uβ на модели по зволяют сделать вывод, что пространственный вектор для трёхфазной и эквивалентной двухфазной систем одинаков и имеет выражение

U6S = Umej(ωt – π/2).

Рис. 1.41. Результаты преобразования трехфазной системы напряжений (Um = 1В, f = 50 Гц) на модели, показанной на рис. 1.40

На рис. 1.42 показан процесс графического формирования мгно

венного состояния векторов фазных напряжений U6, U6, U6 для произ

6A B C

вольного положения пространственного вектора US.

Полученные выражения (1.20) использованы при разработке мо дели преобразователя фаз (2/3) в Matlab [2], показанной на рис. 1.43.

41

Рис. 1.42. Графическая интерпретация работы преобразователя (2/3):

а) условное графическое изображение преобразователя (2/3);

Рис. 1.43. Модель преобразователя фаз с раскрытой подсистемой 2/3 (Fig 1_43)

На рис. 1.44 показаны результаты моделирования эквивалентного обратного преобразования двухфазной системы в трёхфазную.

Также приняты: амплитудное напряжение Um = 1 В и частота 50 Гц. На выходе получена трёхфазная система напряжений с прямым чередо ванием фаз.

Вращающаяся система координат в общем случае может переме щаться относительно неподвижной с произвольной скоростью ωk. Мгновенное положение такой системы координат относительно непо движной определяется углом γмежду вещественными осями систем ко ординат. Положение пространственного вектора напряжения во вра щающейся системе координат можно определить путем его поворота на угол γ против направления вращения. Поэтому между выражениями пространственного вектора U6S в неподвижной и U6Sk во вращающейся системах координат имеют место следующие соотношения [2]:

42

Рис. 1.44. Результаты моделирования работы преобразователя фаз (2/3)

Математическая основа преобразования координат поясняется на рис. 1.45.

Рис. 1.45. Преобразование координат

43

В неподвижной системе координат (α, β) пространственный век тор напряжения может быть представлен в алгебраической и показа

На рис. 1.46 представлена модель преобразователя неподвижной си стемы координат во вращающуюся, реализованную по уравнениям (1.23).

Рис. 1.46. Модель преобразователя из неподвижной системы координат во вращающуюся, схема Subsystem (Fig 1_46)

На вход модели поданы проекции пространственного вектора на пряжения на оси (α, β) в виде синусоидальных напряжений частоты 314 рад/с и текущий угол поворота координатной оси от блока Integra

44

tor. Угол γ = ωkt, где ωk представляет частоту вращения системы коорди нат. Частота вращения (рад/с) задаётся константой на входе интеграто ра. Следует заметить, что в этом случае на вход модели подаются синус оидальные функции времени с частотой 314 рад/с в неподвижной си стеме координат и задаётся вращение координат с частотой 314 рад/с. Следовательно, на выходах Ux, Uy должны получиться неподвижные векторы, характеризуемые постоянными величинами на выходах Ux и Uy. Преобразователь координат реализован в блоке Subsystem, содержа ние которого показано на рис. 1.46.

На рис. 1.47 представлены результаты моделирования. На экране осциллоскопа представлены синусоидальные напряжения Ua и Ub в не подвижной системе и постоянные напряжения Ux = 0, Uy = –1 во вра щающейся, подтверждающие предположение, сделанное выше.

Рис. 1.47. Результаты моделирования

Если частоту вращения координат ωk задать отличной от частоты входного напряжения, то на выходе преобразователя появляются си нусоидальные напряжения разностной частоты (ω – ωk). Следователь но, пространственный вектор вращается во вращающейся системе ко ординат с частотой (ω – ωk).

45

Аналогичная модель строится и для преобразования переменных в вращающейся системе координат в неподвижную в соответствии с ура внениями (1.24) [2].

На рис. 1.48 представлена модель преобразователя вращающейся системы координат в неподвижную, реализованную по уравнениям (1.24). На вход модели поданы проекции пространственного вектора напряжения на вращающиеся оси (х, у) и текущий угол поворота систе мы координат. На выходе модели получены составляющие простран ственного вектора (Ua, Ub) в неподвижной системе координат. Преобра зователь координат реализован в блоке Subsystem, содержание которо го представлено на рис. 1.48.

Рис. 1.48. Модель преобразователя вращающихся координат в неподвижные, схема блока Subsystem (Fig 1_48)

На рис. 1.49 представлены результаты моделирования. Напряже ния Ua, Ub видны на экране осциллоскопа. Следует заметить, что в этом случае на вход интегратора подаётся сигнал частоты вращения коорди нат 314 1/с, и на выходе получаются синусоидальные напряжения ча стотой 50 Гц. 6

Между выражениями пространственного вектора U в неподвиж

6 S

ной и USk во вращающейся системах координат имеют место соотноше ния (1.21).

Второе уравнение (1.21) используется обычно для замены пере менных при переходе к новой системе координат, а первое – для выра жения в новой системе координат возмущающих функций, описанных переменными прежней системы.

Например, уравнение электрического равновесия цепи статора, записанное через обобщенные векторы напряжений, токов и потокос

где U6S = Umejω0t, а ω0 – угловая частота питающей сети.

46

Рис. 1.49. Результат моделирования процесса преобразования вращающихся координат в неподвижные

То же уравнение в системе координат, вращающейся со скоростью

Сократив левую и правую части данного выражения на ejωkt, окон чательно получим уравнение электрического равновесия во вращаю щейся системе координат:

47

Вприведенном уравнении (1.27) индекс k указывает на замену пе ременных в связи с переходом к новой системе координат. В дальней шем, если переход к новой системе координат поясняется сопровож дающим текстом, индекс k для упрощения записи будет опущен. При этом пространственный вектор будет определен как выражение (1.28).

Втеории электромагнитных переходных процессов электрических машин применяются обычно три координатные системы, являющиеся

частными случаями координатной системы, вращающейся с произволь

ной скоростью ωk: система координат d, q, неподвижная относительно ро тора и вращающаяся вместе с ротором (ωk = ωr); система координат α, β, неподвижная относительно статора (ωk = 0); система координат х, у, вра щающаяся в пространстве с произвольной скоростью ωk. Замена пере менных в уравнениях электрического равновесия машины производится

сцелью исключения периодически изменяющихся коэффициентов в уравнениях потокосцеплений. Достижение поставленной цели возможно только в том случае, если новая система координат неподвижна относи тельно цепей, обладающих электрической или магнитной несимметрией.

Поэтому систему координат d, q используют преимущественно для исследования режимов синхронных машин, а систему α, β – для иссле дования режимов асинхронных машин. Систему координат х, у целесо образно использовать только для исследования симметричных режимов асинхронных машин, если ее применение приводит к упрощению опи саний возмущающих воздействий. Например, пространственный вектор

питающего двигатель напряжения в системе координат α, β имеет вид:

JG

U S =Um e jω0t ,

а при переходе к системе координат х, у, вращающейся со скоростью ωk = ω0,6это напряжение, согласно соотношению (1.21), преобразуется к виду US = Um.

Рассмотрим описание процессов абсолютных единиц. Обобщенная асинхронная машина показана на рис. 1.50. Машина

содержит трехфазную обмотку на статоре и трехфазную обмотку на рото ре. Обмотки статора и ротора подключены к симметричным трехфазным источникам напряжения. Уравнения равновесия ЭДС на обмотках ста тора и ротора базируются на втором законе Кирхгофа [2].

48

В уравнениях (1.29) фигурируют мгновенные напряжения, токи и потокосцепления статора и ротора, а также активные сопротивления обмоток. Обычно обмотки выполняются симметричными, и поэтому RA = RB = RC = RS – активное сопротивление статорной обмотки, Ra = Rb = Rс = RR – активное сопротивление роторной обмотки.

Вторым используемым законом является закон Ампера, который связывает потокосцепления обмоток с токами, протекающими по об

моткам:

Для статора

ΨA = LAAiA + LAB iB + LAC iC + LAa ia + LAb ib +LAc ic ,

Уравнения для определения потокосцеплений показывают, что потокосцепление каждой обмотки зависит от токов во всех обмотках; эти зависимости проявляются через взаимоиндукцию. В уравне ниях (1.30) LАА, LВВ, LСС, Laa, Lbb, Lcc являются собственными индуктивно стями соответствующих обмоток, все остальные – взаимоиндуктивно стями между соответствующими обмотками.

49

Третьим законом, лежащим в основе анализа электромагнитных процессов в асинхронном двигателе, является второй закон Ньютона –

где J – момент инерции на валу машины, учитывающий инерционность как самой машины, так и приведенной к валу инерционности рабочего механизма и редуктора, кГм2; ω6m – угловая скорость вала машины, рад/с; Мc – момент сопротивления рабочего механизма, приведенный к валу, в общем случае он может быть функцией скорости и угла поворота, Н.м.

Наконец, четвертым и последним законом, лежащим в основе ана лиза машины, является сформулированный Ленцем закон «правило ле вой руки». Этот закон связывает векторные величины момента, пото

Отметим, что, несмотря на полное и строгое математическое опи сание, использование уравнений (1.29)–(1.32) для исследования маши ны встречает серьезные трудности.

Перечислим основные:

•в уравнениях (1.31 и 1.32) фигурируют векторные величины, а в уравнениях (1.29 и 1.30) – скалярные;

•количество взаимосвязанных уравнений равно 16, а количество коэффициентов – 44;

•коэффициенты взаимоиндукции между обмотками статора и рото ра в уравнениях (1.30) являются функцией угла поворота ротора относительно статора, то есть уравнения (1.30) являются уравне ниями с переменными коэффициентами;

•уравнение (1.32) является нелинейным, так как в нем перемножа ются переменные.

На пути упрощения математического описания асинхронной ма

шины, да и вообще всех машин переменного тока, удачным оказался метод пространственного вектора [4], который позволил существенно упростить и сократить вышеприведенную систему уравнений; метод по зволяет связать уравнения (1.29)–(1.32) в единую систему с векторными переменными состояния. Суть метода состоит в том, что мгновенные значения симметричных трехфазных переменных состояния (напряже ния, токи, потокосцепления) можно математически преобразовать так, чтобы они были представлены одним пространственным вектором.

50