Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Iovenko2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

1.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

	R , V (z)	z 2		R2	a2	(6)
			(3 R z) , R	0	.

m t		3		2	a

ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ

m	z
m
	t	z k x2
	t

Рис. 9

Так как z

x2 (рис. 9), то a

R 2

и z

x2 .

Вычислим первую и вторую производные

2 z

d 2 z

2 x

dx R2

dx2

Определим главные радиусы кривизны

t tk ,

mk (см. рис. 1). Здесь

sin

x ,

, где

sin

, отсюда

1 tg 2

4 z 2

4 z

sin

Второй главный радиус кривизны

d 2 z

2 a

dx2

4 z

4 z 2

(1 (

)

(1 (

)

2 a x2

, или

(x2 4 z 2 )

R2 (x2

4 z 2 )

4 z 2

(x2

4 z 2 )

4 z 2

z 2

Объем сосуда ниже уровня z

V (z)

x2 dz

(

2 a

Таким образом, имеем

4 z 2

z 2

2 z

, V (z)

, x

, tg

.(7)

2 a

ОБОЛОЧКИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ВРАЩЕНИЕМ ЭЛЛИПСА ВОКРУГ ОСИ СИММЕТРИИ

Так как x2

a2[1

b)2

]

(b2

b)2 )

(2 b

z 2 )

(рис. 10), то

2 z

V (z)

x2 dz

[2 b z z2 ] dz

(b z2

) .

Заметим, что объем эллипсоида

)2b

b a

x2 dz

(b z2

b)2

	x		b
S		k	z
a	o	a	x
			x

Рис. 10

Согласно рис. 10 имеем

sin

где

sin

, tg

, а z b

x2 .

tg 2

Для дальнейших расчетов понадобятся выражения для первой и второй производных. Найдем их:

b d

b 1

[(a2

x2 ) 2 ]

(a2

x2 ) 2 ( 2 x)

a 2

b x

(a2 x 2

1) 2 ,

d 2 z

[(a2 x 2

]

) (a2 x 2 1)

a2 ( 2 x 3 )]

[(

dx2

a dx

a2 x 3

a2 tg

x (a2

x2 )

(

1)3 x

(

Теперь можно определить главный радиус кривизны:

d 2 z

(a2

x2 )

a2 sin

mk ,

dx2

x (a2 x2 ) (1 tg 2 )

2 3 (1 tg 2

)

1 tg 2

(

)

]

x (a2

x2 ) (1 tg 2 )

(a2

x2 ) (1 tg 2 )

a2 sin

Таким образом, имеем

, sin

(a2 x2 ) (1 tg 2 )

sin

1 tg 2

где

a a2

V (z)

(b z 2

) .

(8)

	14
	ПРИМЕР № 1
	Тонкостенная составная оболочка	заполнена	жидкостью	с	объемным
весом	и находится под избыточным	газовым	давлением	p0	(рис. 11).

Требуется:

1)используя безмоментную теорию оболочек вращения и метод сечений, получить аналитические выражения для продольных и окружных напряжений, построить эпюры напряжений по участкам;

2)по заданному критерию прочности определить толщину стенки оболочки h .

	p0	b
		b
		2b
		2b
Парабола
2b	2b
Рис. 11

Дано :

b	1,5 м
p0	0,04 МПа
	9,8 кН / м3
[ ]	120 МПа

Критерий

Мизеса

Определить h ?

Решение

z4	p0	1,5 м
z3 S	S	1,5 м
z2		3,0 м
z2
z1		3,0 м
z1
3,0 м	3,0 м

Рис. 12

Вес жидкости в составной оболочке вызывает реактивное погонное усилие со стороны опорного кольца S (рис. 12). Вес оболочки не учитываем. Для определения S составим следующее уравнение равновесия:

F 0

S 2

(2 b)

{

b)2

(2 b)2 (2 b)

[

(2 b)2

(2 b)

b2 b]}

79.01

кН

В нашем случае (рис. 12) для построения эпюр

имеем 4 участка.

На каждом участке проводим сечение, для определения которого используем скользящую систему координат. Каждый раз будем рассматривать ту часть составной оболочки, для которой уравнения равновесия имеют более простой вид.

Рассмотрим первый участок (параболическую часть) 0 z1 2b (рис. 13).

m p(z1 )	m

	x2		k	z1
z		o
	2 b			x
			x1

		G(z1 )

Рис. 13

В принятой системе координат уравнение квадратной параболы будет

z k x2	, при x 2 b , z	2 b (рис. 11, 12), тогда	2 b k (2 b)2	. Отсюда
1			1

z	x2			b z 2
		. Объем оставленной части оболочки	V (z )		. Выражения (7)

	2 b		1	1

для главных кривизн не изменятся. Давление жидкости над рассматриваемым сечением

p(z )

z )

[0,04

0,0098

(7,5

z )]

106

н / м2 .

Получим аналитические выражения для продольных и окружных

напряжений.

Меридиональное

напряжения

определим

из уравнения

равновесия отсеченной и оставленной части оболочки (2):

sin

G , где

G(z )

V (z )

z 2 ,

p(z )

z 2

отсюда

2 x1 h sin

Окружное напряжение

определим из уравнения Лапласа (1):

(

p(z1 )

) , где согласно (7),

x12

4 z12

(x12

4 z12 )

Разобьем первый участок на 4 одинаковые части вдоль координаты z1 .

Числовые расчеты будем проводить в системе Mathcad. Для расчета напряжений на первом участке была составлена программа «Парабола», распечатка которой приводится ниже.

p0 0.04

0.00001 0.75 3

p(z)

(5 b

x(z)

x(z)2

4 z2

b1(z)

sin (z) 2

b1(z)

t(z)

b1(z)

tg (z)

m(z)

t(z)

x(z)

tg (z)

x(z)2

m(z)

p(z) x(z)2

b z2

2 x(z) h sin

(z)

								sin	(3)	0.8944
t(z)	t(z)		p(z)		m(z)
t(z)	t(z)		h		m(z)
			h		m(z)
mizes(z)			t(z)2		m(z)2	t(z)	m(z)
z				t(z)			m(z)		mizes(z)
1·10-5				0.0851			0.0851		0.0851
0.75				0.1669			0.1165		0.1483
1.5				0.2107			0.1379		0.1854
1.5				0.2107			0.1379
2.25				0.2359			0.1537		0.2074
2.25				0.2359			0.1537
3				0.2489			0.1657		0.2195
3				0.2489			0.1657
	0.25
	0.2
m(z)
	0.15
t(z)
	0.1
	0.05	0		0.5	1	1.5	2	2.5		3
						z
						Рис. 14

На рис. 14 показаны эпюры продольных и окружных напряжений. Рассмотрим второй участок (цилиндрическая часть) 0 z2 2b (рис. 15).

p(z2 )

G(z2 )

2b 3 м

R 2b R 2b

Рис. 15

Объем оставленной нижней части составной оболочки

V (z2 ) 4

R2 z2 4

b2 (b z2 ) .

На втором участке справедливы выражения (3). Давление жидкости над

рассматриваемым сечением

p(z2 ) p0

b z2 )

[0,04

0,0098

(4,5

z2 )] 106

н / м2 .

Получим аналитические выражения для продольных и окружных

напряжений из уравнений (1) и (2):

R h sin 90

p(z )

G(z ) ,

где

G(z

)

V (z

) ,

p(z2 ) b

b (b z2 )

p(z2 )

p(z2 ) 2 b .

Для расчета напряжений на втором участке была составлена в системе Mathcad программа «Цилиндр», распечатка которой приведена на следующей странице.

Проверим равновесие узла единичной длины в окружном направлении на границе первого и второго участков (рис. 16):

цилиндр m

парабола m

Рис. 16

Проектируя все силы но ось z (рис. 16), получим

F	0 ,	цилиндр	h 1	парабола	h 1 sin	0 , 0,1482 0,1657 0,894 0,
z		m		m
				0,1482	0,1482	0, 0 0 .

Таким образом, элемент узла единичной длины в окружном направлении на границе первого и второго участков находится в равновесии.

Распечатка программы «Цилиндр»

R 3 a 3 b 1.5 p0 0.04 h 1 0.0098 t R

z 0		3	a	p(z) p0		(3 b z)		m(z) p(z) b				b (b z)

		4

	t(z)		p(z) t		mizes(z)		t(z)2		m(z)2	t(z)		m(z)
z					t(z)			m(z)			mizes(z)

	0				0.2523			0.1482				0.2196

	0.75				0.2303			0.1482				0.2021

	1.5				0.2082			0.1482				0.1856

	2.25				0.1862			0.1482				0.1704

	3				0.1641			0.1482				0.1568

0.25
m(z)
0.2
t(z)
0.15
0.1	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3

Рис. 17
На рис. 17 показаны эпюры продольных	m	и окружных	t	напряжений
	m		t

на втором участке.

Рассмотрим третий участок (срединная поверхность в виде усеченного конуса) 0 z3 b (рис. 18).

Заметим, что проще определить напряжения на третьем участке, рассматривая равновесие верхней оставленной части оболочки (рис. 18). Ось x совместим с верхней границей третьего участка, ось z направим вниз.

	p0		b
			b
			x
	G(z3 )	k	z3
m	G(z3 )		m
m
		t
	b	x3
	z
	Рис. 18

Давление жидкости над рассматриваемым сечением

p(z3 ) p0

[0,04

0,0098

z3 ] 106

н / м2 .

Объем оставленной части оболочки, заполненной жидкостью, будет

V (z

)

[

(b z

)

b2 b]

b3 )

[(b z

b3 ] .

Выражения для главных кривизн, согласно рис. 18, будут

tk ,

и с учетом

cos

, где

отсюда

b z

окончательно в нашем случае получим

cos

Меридиональное напряжения

определим из уравнения равновесия

отсеченной части оболочки (2):

cos

p(z

)

G(z

)) ,

G(z

)

V (z

) ,

[ p(z ) x32

(x33

b3 )].

cos

Окружное напряжение

определим из уравнения Лапласа (1) с учетом

полученных выше соотношений

p(z3 )

Для

расчета окружных,

продольных

эквивалентных

напряжений,

которые определялись согласно критерию Мизеса, на третьем участке была составлена в системе Mathcad программа «Усеченный конус», распечатка которой приведена ниже.

На рис. 19 показаны эпюры продольных	m	и окружных	t	напряжений
	m		t
на третьем участке.

Распечатка программа «Усеченный конус»

1.5

0.04

0.0098

1.5

p(z)

x(z)

t(z) p(z)

cos

0.7071

t(z)

cos

m(z)

p(z) x(z)

x(z)3

c b2

2 x(z) h cos

mizes(z)	t(z)2	m(z)2		t(z)	m(z)
z	t(z)			m(z)				mizes(z)
0	0.0849				0.0424			0.0735
0.375	0.1158				0.0539			0.1004
0.75	0.1507				0.0671			0.1307
1.125	0.1894				0.0818			0.1646
1.5	0.2321				0.0978			0.2018
0.25
0.2
m(z)0.15
t(z) 0.1
0.05
0	0.2	0.4	0.6	0.8	1	1.2	1.4	1.6
				z
				Рис. 19
Проверим равновесие узла единичной длины в окружном направлении на
границе второго и третьего участков (рис. 20).

	F 0	,	конус	h 1 cos		S	цилиндр	h 1 0 ,
	z		m				m
0,0978	h 1 0,7071		0,079	0,1482	h 1	0 ,	0,0692	0,079 0,1482 0 ,
h	h 1 0,7071		0,079	h	h 1	0 ,	0,0692	0,079 0,1482 0 ,
h				h

0,1482 0,1482 0, 0 0 .

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.201574.17 Кб10infz08.pdf
#
01.05.202559.56 Кб3innovacionnyj-potencial-predprijatija_119364_1....docx
#
17.11.201928.42 Кб1INTERPRETIVE NOTE TO RECOMMENDATION 10.docx
#
05.06.2015237.76 Кб11Inzhiniring_shpargalki.pdf
#
27.03.2016899.5 Кб6iOS_8_3_Security_WP_RS.pdf
#
05.06.20151.11 Mб10Iovenko2.pdf
#
21.11.2019133.12 Кб3ip.doc
#
05.06.201518.07 Mб16Irodov_Zad.pdf
#
04.06.201573.73 Кб7Istoria_razvitia_kompyutera.doc
#
01.07.20251.59 Mб1Itogovy_otchet.doc
#
04.06.20151.2 Mб135Ivanov_otchet.docx