Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Михайлов ТФКП практикум2013

.pdf
Скачиваний:
1614
Добавлен:
05.06.2015
Размер:
3.91 Mб
Скачать

Пользуясь свойствами интегралов с параметром, можем дифференцировать формулу Коши любое число раз, беря справа производную по параметру под знаком интеграла. Получим:

f (n) (z) =

n!

f (ζ)dζ

.

i

n+1

 

γ

z)

B

В интеграле f (z)dz , если зафиксировать нижний предел ин-

A

тегрирования, а верхний взять равным переменной z, получим ин-

теграл с переменным верхним пределом z f (ζ)dζ, который являет-

z0

ся аналитической функцией z в случае выполнения условий: f (z)

непрерывна в некоторой односвязной области, а интеграл f (ζ)dζ

γ

по любому контуру внутри области равен 0. При этом производная от этого интеграла по верхнему пределу так же, как и в случае действительных интегралов, оказывается равной подынтегральной функции

zfz0

(ζ)dζ = f (z) .

Откуда следует, что функция Φ(z) = z f (ζ)dζ является первообраз-

z0

ной для функции f (z) и имеет место формула Ньютона–Лейбница

z2 f (z)dz = Φ(z2 ) −Φ(z1 ) ,

z1

а сам интеграл в области аналитичности функции f (z) не зависит

от пути интегрирования.

Пример 6.1 ([3], № 3.2). Пусть С – простой замкнутый контур, ограничивающий область D, площадь которой равна S. Доказать

равенства: 1) xdz = iS ;

2) ydz = −S ;

3)

 

 

zdz = 2iS .

C

C

C

71

Решение. 1) xdz = xdx +ixdy . По формуле Грина: xdx = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

C

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

xdy =1 ∫∫dxdy = S ;

 

2) и 3) делаются аналогично.

 

 

 

C

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1 = xdz ,

Пример 6.2

([3],

 

№ 3.3).

 

 

 

Вычислить

интегралы

I2 = ydz :

1) по радиусу-вектору точки

 

z = 2 + i ;

2) по полуок-

ружности

 

z

 

=1, 0 ≤ arg ≤ π (начало пути в точке z = 1); 3) по ок-

 

 

ружности

 

z a

 

= R .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

2 + i соединяет начало координат с точкой

1) Радиус-вектор

 

z = 2 + i .

Уравнение

 

прямой,

 

проходящей

через

эти две точки,

y = 1 x . Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1

=

2

 

 

 

+i

1

 

 

 

 

=

1

x

2

 

2

+i

1

x

2

 

2

= 2 +i ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

dx

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

0

 

 

4

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

1

 

2

 

2

 

 

i

 

 

 

2

 

2

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I2

=

ydz =

0

 

 

x dx +

 

 

dx

=

 

 

x

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

x

 

 

 

=1+

 

.

 

 

2

2

4

 

 

 

 

8

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) На окружности

 

z

 

=1

 

z = ρeiφ = eiφ ;

dz = ieiφdφ;

 

x = cosφ,

 

 

 

 

y = sin φ :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1 = cos φ ieiφdφ = icos φ(cos φ+i sin φ)dφ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

π

 

 

 

 

 

 

 

π

+cos 2φ

 

 

 

 

= icos2 φdφcos φsin φdφ = i

1

dφ

 

 

 

2

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

i

+

1

 

sin 2φ)

 

π +

 

1

cos 2φ

 

π

=

iπ

.

 

 

 

 

 

 

 

 

I2

2

 

2

 

 

 

 

 

0

4

 

 

 

0

2

 

 

 

 

вычисляется аналогично.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

На окружности

 

 

z a

 

= R

 

 

 

 

z = a + Reiφ ,

 

 

 

 

 

 

 

x = Re a + R cos φ; y = Im a + R sin φ:

1π sin 2φ =

20

dz = Rieiφdφ;

72

 

I1 = xdz =

2π(Rea + R cos φ) Rieiφdφ =

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

=

2π(Rea + Rcosφ)iR(cos φ+isin φ)dφ =

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

= iR

2π(Rea cos φ+ R cos2 φ+iRea sin φ+iRsin φcos φ)dφ =

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

1

 

iR

 

=iR

Rea sin φ

+

 

+

 

sin 2φ) iRea cosφ

 

cos 2φ

=

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

0

=iR

R

φ

 

=iπR2 .

 

 

2

 

 

0

 

 

 

Можно было получить этот

же

результат, воспользовавшись

примером 3.2 (1), по которому xdz = iS , где S – площадь круга

c

z a R , т.е. S = πR2 .

Интеграл I2 вычисляется аналогично.

 

 

 

Пример 6.3 ([3], № 3.4). Вычислить интеграл

 

z

 

dz : 1) по ради-

 

 

 

 

 

 

 

 

ус-вектору

точки

 

 

 

 

z = 2 i ; 2)

по

 

 

полуокружности

 

z

 

=1,

 

 

0 arg z π

(начало пути в точке

z =1 ); 3)

по полуокружности

 

z

 

=1,

π

arg z

 

π

(начало пути в точке z = −i ); 4) по окружно-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сти

 

z

 

= R .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) В точках, лежащих на радиусе-векторе 2 i , переменные y и

x

 

связаны уравнением y = −

1

x , dy = −

 

1

dx ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

= x2 + y2 = x2 +

1 x2 =

5

x ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz = dx +idy = dx i 12 dx .

73

Искомый интеграл равен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

dz = 2

 

 

 

 

 

 

5

x dx

i

dx =

5

 

1

i

 

2

 

xdx = 5 1

i

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) На окружности

 

z

 

 

 

= 1 z = eiφ ;

dz = ieiφdφ. Искомый интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

dz = ieiφdφ = eiφ

 

 

 

 

 

= eiπ 1 = −2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

= 1;

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) По полуокружности

 

 

 

 

 

arg z

 

 

 

. Искомый интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

dz = ieiφdφ = eiφ

 

 

 

 

 

= ei 2 ei

 

 

= 2i .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

= R ,

 

 

 

dz = Rieiφdφ. Искомый инте-

4) По окружности

 

 

 

 

 

z = Reiφ ;

 

 

 

грал

 

 

 

 

 

 

 

 

2π R Rieiφdφ = R2i 1 eiφ

 

 

 

 

 

(e2 πi 1) = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

dz =

 

 

 

 

= R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 6.4 ([3], № 3.5). Вычислить интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zdz , где С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

замкнутый контур, состоящий из верхней полуокружности

 

 

z

 

= 1 и

 

 

отрезка 1 x 1 ,

y = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1 – интеграл по верхней полу-

 

 

 

zdz = I1 + I2 , где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

окружности, I2 – интеграл по отрезку действительной оси.

 

 

 

 

 

 

 

На

полуокружности:

 

 

 

 

 

z

 

= 1,

 

 

 

z = eiφ ,

 

 

 

 

= eiφ ; dz = ieiφdφ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1 = eiφ ieiφdφ = idφ = iπ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = x ;

 

 

 

 

 

 

 

На действительной оси: у = 0,

 

 

 

z

 

 

x

 

;

z = x;

dz = dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy = 0 , I2 =

 

x

 

xdx = 0

(так как подынтегральная функция нечет-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

ная). Таким образом,

 

z

 

 

 

 

 

 

 

zdz = iπ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

74

Пример 6.5 ([3], № 3.6). Вычислить

z dz , где С – граница полукольца, изо-

c z

бражённого на рис. 6.1.

Решение.

c zz dz = I1 + I2 + I3 + I4 ,

где

I

= 1

z

dz ;

I

 

=

2

 

z

dz ; I

 

=

 

z

 

dz ;

 

2

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

1

z

 

 

z

по малой

z

 

 

2

 

 

 

 

дуге

Рис. 6.1

I4 =

 

z

 

dz .

 

 

 

 

 

по большой

z

 

дуге

 

 

 

На действительной оси z = x ,

y = 0 ;

z = x ;

dz = dx ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1 = dx = x

 

21 =1;

I2 = dx =1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На малой полуокружности: z = eiφ ,

z = eiφ ;

dz = i eiφdφ,

 

0 eiφ

 

 

iφ

0

3iφ

 

 

1

 

 

3iφ

 

0

 

1

(1e

3iπ

) =

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I3 =

 

 

ie

 

dφ = ie

 

 

 

 

dφ=

3 e

 

 

 

 

 

= 3

 

 

3 .

 

 

eiφ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На большой полуокружности:

z = 2eiφ ; z = 2eiφ ;

dz = 2ieiφdφ ;

π

2eiφ

 

 

iφ

 

 

π

 

 

 

3iφ

 

 

 

2

3iφ

 

π

2

3iπ

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I4 =

 

 

2ie

 

dφ = 2ie

 

dφ

=

 

3 e

 

 

 

 

=

3 (e

 

 

1)

= − 3 .

2eiφ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4 =

4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz =1

+1+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c z

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

3

 

(z a)n dz (n

Пример 6.6 ([3], № 3.7). Вычислить интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

целое число): 1) по полуокружности

 

z a

 

= R ,

0 arg(z a) π

 

 

(начало пути – в точке z = a + R );

2)

 

по окружности

 

z a

 

= R ;

 

 

 

3) по периметру квадрата с центром в точке

 

 

а и сторонами, парал-

лельными осям координат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) На полуокружности: z = a + Reiφ ;

z a = Reiφ ;

( z a)n = Rneinφ;

dz = Rieiφdφ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

75

π π

(z a)n dz = Rneinφ Rieiφdφ = iRn+1 ei(n+1)φdφ =

c

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

n+1

1

 

i(n+1)φ

 

π

 

Rn+1

(e

i(n+1)π

1) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= iR

 

 

 

e

 

 

 

=

 

 

 

 

i(n +1)

 

 

0

n +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rn+1

= n +1((1)n+1 1)

Если n = −1 , то интеграл имеет вид:

(n ≠ −1) .

π

idφ =iπ.

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

2) По окружности

 

z a

 

= R :

 

 

2 π

 

 

 

 

2π Rneinφ Rieiφdφ=

1

ei(n+1)φ

 

 

 

= 0 (n ≠ −1) .

i(n +1)

0

 

 

 

 

 

 

 

0

2π dφ = i .

 

 

 

При n = −1 i

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

3) По периметру квадрата. Пусть длина стороны квадрата равна 2b. Сделаем замену: z a = z′ = x′+iy. Рассмотрим два интеграла:

b

по нижнему основанию квадрата I1 = (x′−ib)n dxи по верхнему

b

I2 = b (x′+ib)n dx. При n 0 подынтегральное выражение состоит

b

из четных и нечетных степеней x. Интеграл от четных степеней в I1 уничтожаются с такими же интегралами в I2, а интегралы от нечетных степеней xравны нулю в каждом интеграле, так как интеграл от нечетной функции в симметричных относительно нуля пределах равен 0. Следовательно, I1 + I2 = 0 .

Если n < −1 , то

1

=

x +ib

и

1

=

x ib

x ib

x2 +b2

x +ib

x2 +b2

 

 

 

и оба интеграла приобретут вид

76

 

 

b (x +ib)n

 

 

 

 

 

 

b (x ib)n

 

 

I1 = b

 

 

 

dx ;

 

I2 = −b

 

dx ,

 

 

(x2 +b2 )n

(x2 +b2 )n

где n >1 и,

следовательно,

выше приведённые рассуждения ос-

таются в силе, т.е. I1 + I2 = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если n = −1 , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

= Ln(z a)

 

z0 +i

= Ln

 

z a

 

+iφ+ ki z0 +i = i ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

z0

 

1

 

есть Ln(z a) , точка z0 – произ-

 

 

 

 

 

так как первообразная для

 

 

z

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вольная точка контура интегрирования и при обходе всего контура и возвращении в ту же точку z0 аргумент φ приобретёт приращение 2π, Ln z a не изменится (как известно, функция Ln z =

=ln z +iφ+ki ). Те же рассуждения применяем и при вычисле-

нии интегралов по боковым сторонам квадрата. На левой стороне

b

b

I3 = (b +iy)idy,

I4 = (b +iy)dy.

b

b

Все интегралы от каждой из степеней yобращаются сами по себе или в сумме I3 + I4 (в зависимости от четности степени) в нуль для n ≠ −1. При n = −1 интеграл уже вычислен по всему кон-

туру (см. выше).

 

 

 

Итак:

 

dz

 

(z a)n dz = 0 при n ≠ −1 и

= i при п = –1.

z a

c

c

 

Пример 6.7. Вычислить интегралы: 1) i z sin zdz ; 2)

0

i z cos zdz .

0

Решение.

1) Интеграл от аналитической функции не зависит от пути интегрирования и может быть вычислен по формуле Ньютона– Лейбница:

77

z2 f (z)dz = F (z2 ) F (z1 ) ,

z1

где F (z) – первообразная. Вычисляем по частям:

 

z sin zdz = −z cos z +sin z

i

z sin zdz =[z cos z +sin z]i0 = −i cosi +sin i = −ich1+ish1 =

0

 

=i e1 2+e1 +i e1 2e1 = −ei .

2)Второй интеграл вычисляется аналогично. Получаем ответ:

1+ 1e .

Интегралы от многозначных функций (начало пути интегрирования от точки, где задано значение функции, выделяющее ее однозначную ветвь).

Пример 6.8 ([3], № 3.8). Вычислить интеграл dzz :

1)

по полуокружности

 

z

 

=1,

y 0 ;

1 =1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

по полуокружности

 

z

 

=1,

y 0 ;

1 = −1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

по полуокружности

 

z

 

=1,

y 0 ;

1 =1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

по окружности

 

z

 

=1,

1 =1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

по окружности

 

z

 

=1,

1 =i .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ+2πk

1)

На окружности

 

z

 

=1

z = eiφ ;

dz =ieiφdφ,

z =

 

z

 

ei

 

 

 

 

2

 

(k = 0,1)

(по определению корня). Выбор ветви (k = 0 или k = 1)

определяется условием

 

1 =1. В точке z = 1

|z| = 1; φ =

0 и

1 = ei 22πk

=1 k = 0 . Следовательно, интегрируется ветвь

 

 

φ

z = z ei 2

78

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

π

 

ie

iφ

dφ

 

 

 

 

π

φ

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

φ

 

π

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

= iei 2 dφ= i

 

ei 2

 

 

 

 

 

= 2 ei

2 1 = 2(i 1) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

0

 

 

 

ei 2

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Аналогично п. 1,

 

начало интегрирования в точке z0

=

 

1,

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 = −1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z =

 

z

 

 

ei

φ+2πk

 

ветвь выделяется условием

 

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

2

 

;

в

точке z = 1

 

|z| = 1; φ = 0

1 = ei 22πk

 

= −1

k =1 ; надо брать

ветвь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

φ

 

 

 

 

 

 

 

i φ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

φ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z =

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e 2

=

 

 

e

2 eiπ = −

 

e 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интеграл равен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

iφ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

φ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ

 

π

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

= ie

dφφ = −iei

 

dφ= −i 2 ei

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −2 ei

 

1 = 2(1i) .

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

0 ei 2

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ei

φ+2πk

 

4)

 

 

 

 

По

 

 

окружности

 

 

|z| = 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 =1;

 

 

 

 

 

 

z =

 

z

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

ik

 

=1 k = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

φ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 = e

2

 

 

 

 

 

Ветвь

 

 

z =

 

 

z

 

e

2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

ie

iφ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

i

φd

φ = i ei 2 dφ = 2 ei

2

 

 

 

 

 

 

= 2 (eiπ 1) = −4.

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

0

 

 

e

2

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5) По окружности

 

z

 

=1

 

 

 

1 =i . В точке z =−1

 

 

z

 

=1, φ = π,

 

 

 

 

 

 

 

z =

 

z

 

e

i φ+2πk

 

, в точке z =−1

 

 

1 = e

i π+k

= e

i π

 

 

 

 

= i k = 0 .

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2 eiπk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

φ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируется ветвь

 

 

 

 

z =

 

z

e

2

 

 

от точки

 

 

 

z =−1 по полной

окружности с возвращением в эту же точку. При этом

 

z

 

, не изме-

 

 

нится, а аргумент φ изменится на , т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

ie

iφ

 

dφ =i

 

i

φ

 

 

 

 

 

 

 

 

i

φ

 

 

 

i

i

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

e

2 dφ= 2 e

2

 

 

 

 

 

=

2 e

 

 

2 e

2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

ei

φ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

π

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2(i i) = −4i.

79

Пример 6.9 ([3], № 3.9). Вычислить Ln zdz , где:

C

1)С – единичная окружность z =1, Ln 1 = 0 ;

2)С – единичная окружность z =1, Ln i = π2i ;

 

 

3) С – окружность

 

 

 

z

 

= R ,

Ln R = ln R ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) С –окружность

 

 

z

 

= R ,

 

Ln R = ln R = ln R + 2πi .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Ln z = ln

 

z

 

+ iφ+ 2πki ( k

 

 

целое число). Так как

 

z

 

=1, то

 

 

 

 

ln

 

z

 

= 0 ; в точке z = 1 φ = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ln 1 = 2πki = 0 k = 0 ; Ln z = iφ; dz = ieiφdφ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

φeiφ

 

 

 

1

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ln zdz = iφieiφdφ = −

 

 

 

 

 

 

eiφdφ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

0

 

 

0

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

+ eiφ

 

 

= −[i +0] = i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Ln i =

 

πi

. В точке z = i

 

 

z

 

=1,

φ =

π

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

k = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

Ln z = ln

 

z

 

+iφ+ki = i

+ki = i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируется ветвь Ln z = ln

 

z

 

+ iφ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

+2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

+2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

+2π

 

 

 

 

Ln zdz =

2

iφie

iφ

dφ

 

 

2

 

 

 

φe

iφ

dφ

 

 

 

 

 

1

ϕe

iφ

+e

iφ

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

π

=

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

e

i

 

 

 

i

1

 

π

 

 

i π

 

 

 

i

π

= i

i i

i

π

i

+i =

 

 

 

 

= −

 

2

 

 

2 +e

 

 

 

 

2

i

2

e

2

e

2

2

2

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −+ π

= −2π.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

80