
Михайлов ТФКП практикум2013
.pdfПользуясь свойствами интегралов с параметром, можем дифференцировать формулу Коши любое число раз, беря справа производную по параметру под знаком интеграла. Получим:
f (n) (z) = |
n! |
∫ |
f (ζ)dζ |
. |
2πi |
n+1 |
|||
|
γ |
(ζ− z) |
B
В интеграле ∫ f (z)dz , если зафиксировать нижний предел ин-
A
тегрирования, а верхний взять равным переменной z, получим ин-
теграл с переменным верхним пределом ∫z f (ζ)dζ, который являет-
z0
ся аналитической функцией z в случае выполнения условий: f (z)
непрерывна в некоторой односвязной области, а интеграл ∫ f (ζ)dζ
γ
по любому контуру внутри области равен 0. При этом производная от этого интеграла по верхнему пределу так же, как и в случае действительных интегралов, оказывается равной подынтегральной функции
z∫ fz0
′
(ζ)dζ = f (z) .
Откуда следует, что функция Φ(z) = ∫z f (ζ)dζ является первообраз-
z0
ной для функции f (z) и имеет место формула Ньютона–Лейбница
z∫2 f (z)dz = Φ(z2 ) −Φ(z1 ) ,
z1
а сам интеграл в области аналитичности функции f (z) не зависит
от пути интегрирования.
Пример 6.1 ([3], № 3.2). Пусть С – простой замкнутый контур, ограничивающий область D, площадь которой равна S. Доказать
равенства: 1) ∫ xdz = iS ; |
2) ∫ ydz = −S ; |
3) ∫ |
|
|
zdz = 2iS . |
||||
C |
C |
C |
71

Решение. 1) ∫ xdz = ∫ xdx +i∫ xdy . По формуле Грина: ∫ xdx = 0 ;
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
||||
∫ xdy =1 ∫∫dxdy = S ; |
|
2) и 3) делаются аналогично. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 = ∫ xdz , |
||
Пример 6.2 |
([3], |
|
№ 3.3). |
|
|
|
Вычислить |
интегралы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I2 = ∫ ydz : |
1) по радиусу-вектору точки |
|
z = 2 + i ; |
2) по полуок- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ружности |
|
z |
|
=1, 0 ≤ arg ≤ π (начало пути в точке z = 1); 3) по ок- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ружности |
|
z −a |
|
= R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
2 + i соединяет начало координат с точкой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) Радиус-вектор |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = 2 + i . |
Уравнение |
|
прямой, |
|
проходящей |
через |
эти две точки, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = 1 x . Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
= |
2 |
|
|
|
+i |
1 |
|
|
|
|
= |
1 |
x |
2 |
|
2 |
+i |
1 |
x |
2 |
|
2 |
= 2 +i ; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
4 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
i |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
i |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
I2 |
= |
∫ |
ydz = |
∫0 |
|
|
x dx + |
|
|
dx |
= |
|
|
x |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
=1+ |
|
. |
||||||||||||
|
|
2 |
2 |
4 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2) На окружности |
|
z |
|
=1 |
|
z = ρeiφ = eiφ ; |
dz = ieiφdφ; |
|
x = cosφ, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = sin φ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 = ∫cos φ ieiφdφ = i∫cos φ(cos φ+i sin φ)dφ = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
+cos 2φ |
|
|
|
|||||||
|
= i∫cos2 φdφ−∫cos φsin φdφ = i |
∫ |
1 |
dφ− |
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
i |
(φ+ |
1 |
|
sin 2φ) |
|
π + |
|
1 |
cos 2φ |
|
π |
= |
iπ |
. |
|||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
I2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
4 |
|
|
|
0 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
вычисляется аналогично. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3) |
На окружности |
|
|
z −a |
|
= R |
|
|
|
|
z = a + Reiφ , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x = Re a + R cos φ; y = Im a + R sin φ:
1∫π sin 2φ =
20
dz = Rieiφdφ;
72

|
I1 = ∫ xdz = |
2∫π(Rea + R cos φ) Rieiφdφ = |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
2∫π(Rea + Rcosφ)iR(cos φ+isin φ)dφ = |
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= iR |
2∫π(Rea cos φ+ R cos2 φ+iRea sin φ+iRsin φcos φ)dφ = |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
1 |
|
iR |
|
2π |
|
=iR |
Rea sin φ |
+ |
|
(φ |
+ |
|
sin 2φ) −iRea cosφ− |
|
cos 2φ |
= |
|
2 |
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
=iR |
R |
φ |
|
2π |
=iπR2 . |
|
|
||||||
|
||||||
2 |
|
|
0 |
|
||
|
|
|||||
Можно было получить этот |
же |
результат, воспользовавшись |
примером 3.2 (1), по которому ∫ xdz = iS , где S – площадь круга
c
z −a ≤ R , т.е. S = πR2 .
Интеграл I2 вычисляется аналогично.
|
|
|
Пример 6.3 ([3], № 3.4). Вычислить интеграл ∫ |
|
z |
|
dz : 1) по ради- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
ус-вектору |
точки |
|
|
|
|
z = 2 −i ; 2) |
по |
|
|
полуокружности |
|
z |
|
=1, |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
0 ≤ arg z ≤ π |
(начало пути в точке |
z =1 ); 3) |
по полуокружности |
||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
=1, − |
π |
≤ arg z ≤ |
|
π |
(начало пути в точке z = −i ); 4) по окружно- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
сти |
|
z |
|
= R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1) В точках, лежащих на радиусе-векторе 2 − i , переменные y и |
||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
связаны уравнением y = − |
1 |
x , dy = − |
|
1 |
dx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
= x2 + y2 = x2 + |
1 x2 = |
5 |
x , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz = dx +idy = dx −i 12 dx .
73

Искомый интеграл равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
dz = 2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
x dx |
− |
i |
dx = |
5 |
|
1 |
− |
i |
|
2 |
|
xdx = 5 1− |
i |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
∫0 2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) На окружности |
|
z |
|
|
|
= 1 z = eiφ ; |
dz = ieiφdφ. Искомый интеграл |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
z |
|
dz = ∫ieiφdφ = eiφ |
|
|
|
|
|
= eiπ −1 = −2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
= 1; − |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3) По полуокружности |
|
|
|
|
|
≤ arg z ≤ |
|
|
|
. Искомый интеграл |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
z |
|
|
|
dz = ∫ ieiφdφ = eiφ |
|
|
|
|
|
= ei 2 −e−i |
|
|
= 2i . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
= R , |
|
|
|
dz = Rieiφdφ. Искомый инте- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) По окружности |
|
|
|
|
|
z = Reiφ ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
грал |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2∫π R Rieiφdφ = R2i 1 eiφ |
|
2π |
|
|
|
|
(e2 πi −1) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
dz = |
|
|
|
|
= R2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 6.4 ([3], № 3.5). Вычислить интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
zdz , где С – |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
замкнутый контур, состоящий из верхней полуокружности |
|
|
z |
|
= 1 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
отрезка −1 ≤ x ≤1 , |
y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
∫ |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 – интеграл по верхней полу- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
zdz = I1 + I2 , где |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
окружности, I2 – интеграл по отрезку действительной оси. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
На |
полуокружности: |
|
|
|
|
|
z |
|
= 1, |
|
|
|
z = eiφ , |
|
|
|
|
= e−iφ ; dz = ieiφdφ, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
I1 = ∫e−iφ ieiφdφ = i∫dφ = iπ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
На действительной оси: у = 0, |
|
|
|
z |
|
|
x |
|
; |
z = x; |
dz = dx; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy = 0 , I2 = ∫ |
|
x |
|
xdx = 0 |
(так как подынтегральная функция нечет- |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
−1 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
||||
ная). Таким образом, |
|
z |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
zdz = iπ . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
c |
74

Пример 6.5 ([3], № 3.6). Вычислить
∫ z dz , где С – граница полукольца, изо-
c z
бражённого на рис. 6.1.
Решение.
∫c zz dz = I1 + I2 + I3 + I4 ,
где |
I |
= −1 |
z |
dz ; |
I |
|
= |
2 |
|
z |
dz ; I |
|
= |
|
z |
|
dz ; |
|
2 |
∫1 |
|
3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
z |
|
|
z |
по малой∫ |
z |
||||||||||
|
|
−∫2 |
|
|
|
|
дуге
Рис. 6.1
I4 = |
∫ |
|
z |
|
dz . |
|
|
|
|||
|
|||||
|
по большой |
z |
|||
|
дуге |
|
|
|
На действительной оси z = x , |
y = 0 ; |
z = x ; |
dz = dx , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
I1 = ∫ dx = x |
|
−−21 =1; |
I2 = ∫dx =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
На малой полуокружности: z = eiφ , |
z = e−iφ ; |
dz = i eiφdφ, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 eiφ |
|
|
iφ |
0 |
3iφ |
|
|
1 |
|
|
3iφ |
|
0 |
|
1 |
(1−e |
3iπ |
) = |
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
I3 = ∫ |
|
|
ie |
|
dφ = i∫e |
|
|
|
|
dφ= |
3 e |
|
|
|
|
|
= 3 |
|
|
3 . |
|
|
||||||||||||||
e−iφ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
На большой полуокружности: |
z = 2eiφ ; z = 2e−iφ ; |
dz = 2ieiφdφ ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
π |
2eiφ |
|
|
iφ |
|
|
π |
|
|
|
3iφ |
|
|
|
2 |
3iφ |
|
π |
2 |
3iπ |
|
|
4 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
I4 = ∫ |
|
|
2ie |
|
dφ = 2i∫e |
|
dφ |
= |
|
3 e |
|
|
|
|
= |
3 (e |
|
|
−1) |
= − 3 . |
||||||||||||||||
2e−iφ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
− 4 = |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
dz =1 |
+1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c z |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
∫(z − a)n dz (n – |
||||||||||||
Пример 6.6 ([3], № 3.7). Вычислить интеграл |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
целое число): 1) по полуокружности |
|
z −a |
|
= R , |
0 ≤ arg(z −a) ≤ π |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
(начало пути – в точке z = a + R ); |
2) |
|
по окружности |
|
z −a |
|
= R ; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) по периметру квадрата с центром в точке |
|
|
а и сторонами, парал- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
лельными осям координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) На полуокружности: z = a + Reiφ ; |
z −a = Reiφ ; |
( z − a)n = Rneinφ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
dz = Rieiφdφ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75

π π
∫(z −a)n dz = ∫ Rneinφ Rieiφdφ = iRn+1 ∫ei(n+1)φdφ =
c |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
n+1 |
1 |
|
i(n+1)φ |
|
π |
|
Rn+1 |
(e |
i(n+1)π |
−1) = |
||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
= iR |
|
|
|
e |
|
|
|
= |
|
|
|
||
|
i(n +1) |
|
|
0 |
n +1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn+1
= n +1((−1)n+1 −1)
Если n = −1 , то интеграл имеет вид:
(n ≠ −1) .
π
i∫dφ =iπ.
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2) По окружности |
|
z −a |
|
= R : |
|
|
2 π |
|||
|
|
|
|
|||||||
2∫π Rneinφ Rieiφdφ= |
1 |
ei(n+1)φ |
|
|||||||
|
||||||||||
|
= 0 (n ≠ −1) . |
|||||||||
i(n +1) |
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
2∫π dφ = 2πi . |
|
|
|
|||||||
При n = −1 i |
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) По периметру квадрата. Пусть длина стороны квадрата равна 2b. Сделаем замену: z −a = z′ = x′+iy′. Рассмотрим два интеграла:
b
по нижнему основанию квадрата I1 = ∫ (x′−ib)n dx′ и по верхнему
−b
I2 = −∫b (x′+ib)n dx′. При n ≥ 0 подынтегральное выражение состоит
b
из четных и нечетных степеней x′ . Интеграл от четных степеней в I1 уничтожаются с такими же интегралами в I2, а интегралы от нечетных степеней x′ равны нулю в каждом интеграле, так как интеграл от нечетной функции в симметричных относительно нуля пределах равен 0. Следовательно, I1 + I2 = 0 .
Если n < −1 , то
1 |
= |
x +ib |
и |
1 |
= |
x −ib |
|
x −ib |
x2 +b2 |
x +ib |
x2 +b2 |
||||
|
|
|
и оба интеграла приобретут вид
76

|
|
b (x +ib)−n |
|
|
|
|
|
|
b (x −ib)−n |
|||||||
|
|
I1 = −∫b |
|
|
|
dx ; |
|
I2 = −−∫b |
|
dx , |
||||||
|
|
(x2 +b2 )−n |
(x2 +b2 )−n |
|||||||||||||
где −n >1 и, |
следовательно, |
выше приведённые рассуждения ос- |
||||||||||||||
таются в силе, т.е. I1 + I2 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если n = −1 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dz |
= Ln(z −a) |
|
z0 +2πi |
= Ln |
|
z −a |
|
+iφ+ 2πki z0 +2πi = 2πi , |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫ z −a |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
c |
|
|
|
z0 |
|
1 |
|
есть Ln(z − a) , точка z0 – произ- |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
так как первообразная для |
|
|
||||||||||||||
z |
−a |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вольная точка контура интегрирования и при обходе всего контура и возвращении в ту же точку z0 аргумент φ приобретёт приращение 2π, Ln z −a не изменится (как известно, функция Ln z =
=ln z +iφ+2πki ). Те же рассуждения применяем и при вычисле-
нии интегралов по боковым сторонам квадрата. На левой стороне
−b |
b |
I3 = ∫ (−b +iy′)idy′, |
I4 = ∫ (b +iy′)dy′. |
b |
−b |
Все интегралы от каждой из степеней y′ обращаются сами по себе или в сумме I3 + I4 (в зависимости от четности степени) в нуль для n ≠ −1. При n = −1 интеграл уже вычислен по всему кон-
туру (см. выше). |
|
|
|
|
Итак: |
|
dz |
|
|
∫(z −a)n dz = 0 при n ≠ −1 и |
∫ |
= 2πi при п = –1. |
||
z −a |
||||
c |
c |
|
Пример 6.7. Вычислить интегралы: 1) ∫i z sin zdz ; 2)
0
−∫i z cos zdz .
0
Решение.
1) Интеграл от аналитической функции не зависит от пути интегрирования и может быть вычислен по формуле Ньютона– Лейбница:
77

z∫2 f (z)dz = F (z2 ) − F (z1 ) ,
z1
где F (z) – первообразная. Вычисляем по частям:
|
∫ z sin zdz = −z cos z +sin z |
∫i |
z sin zdz =[−z cos z +sin z]i0 = −i cosi +sin i = −ich1+ish1 = |
0 |
|
=−i e−1 2+e1 +i e1 −2e−1 = −ei .
2)Второй интеграл вычисляется аналогично. Получаем ответ:
1+ 1e .
Интегралы от многозначных функций (начало пути интегрирования от точки, где задано значение функции, выделяющее ее однозначную ветвь).
Пример 6.8 ([3], № 3.8). Вычислить интеграл ∫ dzz :
1) |
по полуокружности |
|
z |
|
=1, |
y ≥ 0 ; |
1 =1; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2) |
по полуокружности |
|
z |
|
=1, |
y ≥ 0 ; |
1 = −1; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3) |
по полуокружности |
|
z |
|
=1, |
y ≤ 0 ; |
1 =1; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4) |
по окружности |
|
z |
|
=1, |
1 =1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5) |
по окружности |
|
z |
|
=1, |
−1 =i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ+2πk |
|||
1) |
На окружности |
|
z |
|
=1 |
z = eiφ ; |
dz =ieiφdφ, |
z = |
|
z |
|
ei |
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
(k = 0,1) |
(по определению корня). Выбор ветви (k = 0 или k = 1) |
|||||||||||||||||||||||
определяется условием |
|
1 =1. В точке z = 1 |
|z| = 1; φ = |
0 и |
||||||||||||||||||||
1 = ei 22πk |
=1 k = 0 . Следовательно, интегрируется ветвь |
|
|
φ
z = z ei 2
78

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
π |
|
ie |
iφ |
dφ |
|
|
|
|
π |
φ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
φ |
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
= |
∫ |
|
|
|
|
= i∫ei 2 dφ= i |
|
ei 2 |
|
|
|
|
|
= 2 ei |
2 −1 = 2(i −1) . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
0 |
|
|
|
ei 2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2) Аналогично п. 1, |
|
начало интегрирования в точке z0 |
= |
|
1, |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = |
|
z |
|
|
ei |
φ+2πk |
|
|||||||||||||||||||
ветвь выделяется условием |
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
; |
в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точке z = 1 |
|
|z| = 1; φ = 0 |
1 = ei 22πk |
|
= −1 |
k =1 ; надо брать |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ветвь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
φ |
+π |
|
|
|
|
|
|
|
i φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 2 |
= |
|
|
e |
2 eiπ = − |
|
e 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Интеграл равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
iφ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ |
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
dz |
= ∫ ie |
dφφ = −i∫ei |
|
dφ= −i 2 ei |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −2 ei |
|
−1 = 2(1−i) . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
0 −ei 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ei |
φ+2πk |
|
||||||||||||||||||||||||||||
4) |
|
|
|
|
По |
|
|
окружности |
|
|
|z| = 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 =1; |
|
|
|
|
|
|
z = |
|
z |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i2πk |
|
=1 k = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 = e |
2 |
|
|
|
|
|
Ветвь |
|
|
z = |
|
|
z |
|
e |
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dz |
|
2π |
ie |
iφ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ |
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
= ∫ |
|
|
i |
φd |
φ = i ∫ ei 2 dφ = 2 ei |
2 |
|
|
|
|
|
|
= 2 (eiπ −1) = −4. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5) По окружности |
|
z |
|
=1 |
|
|
|
−1 =i . В точке z =−1 |
|
|
z |
|
=1, φ = π, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = |
|
z |
|
e |
i φ+2πk |
|
, в точке z =−1 |
|
|
−1 = e |
i π+2πk |
= e |
i π |
|
|
|
|
= i k = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 eiπk |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Интегрируется ветвь |
|
|
|
|
z = |
|
z |
e |
2 |
|
|
от точки |
|
|
|
z =−1 по полной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
окружности с возвращением в эту же точку. При этом |
|
z |
|
, не изме- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нится, а аргумент φ изменится на 2π, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
3π |
ie |
iφ |
|
dφ =i |
3π |
|
i |
φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
φ |
|
3π |
|
|
i3π |
i |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∫ |
|
= |
∫ |
|
|
|
∫ |
e |
2 dφ= 2 e |
2 |
|
|
|
|
|
= |
2 e |
|
|
2 −e |
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
ei |
φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
C |
|
|
|
π |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2(−i −i) = −4i.
79

Пример 6.9 ([3], № 3.9). Вычислить ∫ Ln zdz , где:
C
1)С – единичная окружность z =1, Ln 1 = 0 ;
2)С – единичная окружность z =1, Ln i = π2i ;
|
|
3) С – окружность |
|
|
|
z |
|
= R , |
Ln R = ln R ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4) С –окружность |
|
|
z |
|
= R , |
|
Ln R = ln R = ln R + 2πi . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1) Ln z = ln |
|
z |
|
+ iφ+ 2πki ( k |
|
|
– |
целое число). Так как |
|
z |
|
=1, то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln |
|
z |
|
= 0 ; в точке z = 1 φ = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Ln 1 = 2πki = 0 k = 0 ; Ln z = iφ; dz = ieiφdφ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
φeiφ |
|
2π |
|
|
2π1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ Ln zdz = ∫ iφieiφdφ = − |
|
|
|
− ∫ |
|
|
|
eiφdφ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
2π + eiφ |
|
2π |
|
= −[−2πi +0] = 2πi. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2) Ln i = |
|
πi |
. В точке z = i |
|
|
z |
|
=1, |
φ = |
π |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
k = 0 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ln z = ln |
|
z |
|
+iφ+2πki = i |
+2πki = i |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Интегрируется ветвь Ln z = ln |
|
z |
|
+ iφ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
+2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
+2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
+2π |
|||||||||||||
|
|
|
|
∫ Ln zdz = |
2 |
∫ |
iφie |
iφ |
dφ |
|
|
2 |
∫ |
|
|
|
φe |
iφ |
dφ |
|
|
|
|
|
1 |
ϕe |
iφ |
+e |
iφ |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
5π |
e |
i |
5π |
|
|
|
i5π |
1 |
|
π |
|
|
i π |
|
|
|
i |
π |
= i |
5π |
i −i |
−i |
π |
i |
+i = |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= − |
|
2 |
|
|
2 +e |
|
|
|
|
2 − |
i |
2 |
e |
2 |
−e |
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −5π + π |
= −2π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80