
Михайлов ТФКП практикум2013
.pdf
Пример 5.1. Определить: 1) на какую область отображает функция w = z2 второй
квадрант плоскости z ( x < 0, y > 0) |
(рис. 5.1); |
||||||||||
2) на |
z |
какую область отображает |
функция |
||||||||
w = |
|
|
|
полукруг |
|
z |
|
<1 , Im z > 0 (рис. 5.2); |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
z |
−1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) [3], № 2.107 (9). |
|
||||||||||
Решение. |
|
||||||||||
1) |
|
w = z2 = (x +iy)2 = x2 − y2 + 2ixy (см. |
рис. 5 .1). Пусть w = u + iυ. Тогда u = x2 − y2 ; υ = 2 xy . По принципу соответствия границ верхняя мнимая полуось {x = 0; 0 ≤ y ≤ +∞} отображается следующим образом: u = −y2 ; υ = 0 , то есть в отрицательную действительную полуось {−∞ < u ≤ 0; υ = 0} .
Отрицательная действительная полуось {−∞ < x ≤ 0; y = 0} отображается так: u = x2 ,
υ = 0 , то есть переходит в действительную положительную полуось. Так как направление обхода при конформном отображении сохраняется, то второй квадрант отображается в нижнюю полуплоскость (рис. 5.3) (можно этот факт установить и с помощью какойлибо пробной внутренней точки, взятой из отображаемой области, например:
Рис. 5.1
Рис. 5.2
Рис. 5.3
z= −1+i → w = (−1+i)2 = −2i .
2)Отрезок действительной оси −1 ≤ x ≤1 отображается в дейст-
вительную полуось |
−∞ < u ≤ |
1 |
(так |
как−1 → |
1 |
, 0 → 0 , |
1 → −∞ ). |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
Полуокружность z = eiφ (0 ≤ φ ≤ π) преобразуется следующим образом:
61

w = |
eiφ |
|
eiφ(e−iφ −1) |
|
|
= |
|
|
|
1−eiφ |
|
|
= |
|
|
|
1 −eiφ |
|
|
= |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
iφ |
|
|
(e |
iφ |
−1)(e |
−iφ |
−1) |
2 |
−e |
iφ |
−e |
−iφ |
2(1−cosφ) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
e |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
1−cos ϕ−i sin φ |
= |
1 |
− |
|
|
|
|
isin φ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2(1−cos φ) |
|
|
|
2 |
|
|
|
2(1−cos φ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
i2 sin |
φ |
|
|
|
φ |
|
|
|
|
|
|
|
i |
tg |
φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= = |
1 |
− |
2 cos |
2 |
|
= |
|
= |
1 |
− |
|
2 |
(0 ≤ φ ≤ π) u = |
1 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
4 cos |
2 φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ < υ ≤ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, полукруг отображается |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
во |
|
|
|
|
внутренность |
|
|
|
|
прямого |
|
|
угла |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(рис. 5.4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u < |
2 |
; υ< 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
На какую область функция Жуков- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ского |
|
w = |
1 |
|
|
|
|
+ |
1 |
отображает |
область |
|||||||||||||||||||||||
Рис. 5.4 |
|
|
|
|
2 |
z |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
>1 , |
|
Im z > 0 (рис. |
|
5.5)? |
Часть |
действи- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
тельной оси |
x (−∞;−1] [1; +∞) |
преобра- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
зуется следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
= |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
; |
|
u = |
1 |
|
|
1 |
|
, |
|
υ = 0 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x + |
|
x |
|
|
|
2 |
x + |
x |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Когда х меняется от –∞ до –1, |
перемен- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ная |
и |
также |
|
меняется от –∞ до –1. Одина- |
||||||||||||||||||||||||||||||
Рис. 5.5 |
|
|
|
ково они меняются и когда x [1;+∞). Ок- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ружность |
|
|
|
z = eiφ |
|
отображается |
так: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w = |
1 |
(eiφ |
+e−iφ)= cosφ, то есть переходит |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
отрезок |
действительной |
оси |
−1 ≤ u ≤1 . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, данная область отобража- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ется |
|
в |
верхнюю |
полуплоскость |
Im w > 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
Рис. 5.6 |
|
|
|
(рис. 5.6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62

Пример 5.2 ([3], № 2.30). Найти функцию, отображающую круг z < 2 на полуплоскость Re w > 0 так, чтобы w(0) =1 , arg w′(0) = π2
(рис. 5.7 и 5.8).
|
|
|
|
Рис. 5.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. Будем искать решение в виде дробно-линейной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции w = λ |
|
z −α |
(так как именно она может перевести окруж- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z −β |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ность в прямую). Используем условие |
|
|
|
|
|
z −α |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
w(0) =1 1 = λ α |
λ = |
|
β ; |
|
w = |
β |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
α |
z −β |
|
|||||||||||||||||
Симметричная точке z = 0 |
|
|
относительно границы (т.е. |
окруж- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ности) точка z =∞. |
Поэтому симметричная точке |
w =1 |
относи- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тельно образа этой границы (то есть прямой u = 0 ) точка |
w = −1 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
w(∞) = −1 = lim β |
z −α |
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
α = −β. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→∞ α |
z −β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Таким образом, w = − |
z −α |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z +α |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
2α |
|
; w′(0) = − 2 . |
||||||||||||||||
Используем |
условие |
w′(0) = |
|
: w′(z) |
= − |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
(z |
+α)2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
||||||
Если α = |
|
α |
|
eiφ0 , то w′(0) = −2 |
|
α |
|
e−iφ0 |
|
и arg w′(0) = π−φ0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
π−φ0 |
= |
π |
|
φ0 |
= |
π |
|
α = |
|
α |
|
i w(z) = − |
z −i |
|
α |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z +i |
α |
|
|
|
|
63

Для нахождения α используем условие: граница переходит в границу. Следовательно, окружность z = 2 eiφ переходит в прямую
u = 0 . Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2eiφ −i |
|
|
|
|
|
|
)(2e−iφ −i |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
u +iυ = − |
2eiφ −i |
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (2eiφ +i |
|
|
α |
|
|
|
)(2e−iφ −i |
|
|
|
α |
|
|
) |
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2eiφ +i |
|
|
α |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= − |
4 − |
|
α |
|
2 |
−i |
|
α |
|
2e−iφ |
|
−i |
|
α |
|
2eiφ |
= − |
4 − |
|
α |
|
2 −2i |
|
α |
|
2 cos φ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2eiφ +i |
|
α |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2eiφ +i |
|
α |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = − |
|
|
4 − |
|
α |
|
|
|
|
= 0 |
|
α |
|
= 2 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2eiφ +i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: w = − zz +−22ii .
Пример 5.3 ([3], № 2.31). Отобразить круг z −4i < 2 на полу-
плоскость υ > u так, чтобы центр круга перешел в точку −4 , а точка окружности 2i – в начало координат (рис. 5.9 и 5.10).
Рис. 5.9 |
Рис. 5.10 |
|
|
|
|
Решение. Используем дробно-линейную функцию w = λ |
z −α |
. |
|||
|
|
||||
|
|
|
z −β |
||
Так как точка 2i |
переходит в начало координат, то w = λ |
|
z −2i |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
z −β |
Центр круга точка z = 4i переходит в точку −4 . Следовательно,
64

−4 = λ 44ii−−2βi ; −2(4i −β) = 2iλ ; −8i +2β = 2 iλ ,
λ = −4 −iβ w = −(4 +iβ) zz−−2βi .
Для центра круга симметричной относительно окружности будет точка z =∞. Она переходит в точку w0 = −4i , симметричную
точке –4 относитель но образа окруж ности, то есть относительно прямо й υ = u .
w(∞) = −4i = lim −(4 +iβ) |
z − 2i |
= −4 −iβ β = 4 + 4i |
||||
z −β |
||||||
|
z→∞ |
|
|
|||
|
w = −4i |
z −2i |
. |
|||
Пр имер 5.4 |
z −4 −4i |
|||||
|
|
|
||||
([3], № 2.99). Отобразить на верхн юю полуплос- |
||||||
кость Im w > 0 |
полуплоскость |
Im z > 0 с разрезом по отрезку |
||||
[0,ih], h > 0 (рис. 5.1 1 и 5.12). |
|
|
|
|
Рис. 5.11 Рис. 5.12
Делаем поэтапно: 1) w = z2 |
(рис. 5.13); |
2) |
w |
= w + h2 |
(рис. |
|||
|
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
5.14); 3) w = w |
(рис. 5.15). Получаем ответ |
w = |
|
z2 + h2 |
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.13 |
Рис. 5.14 |
Рис. 5.15 |
65

Пр имер 5.5 ([3], № 2.101). |
Отобразить на верхнюю полуплос- |
||||
кость |
Im w > 0 полуплоскость |
Im z > 0 с разрезом по дуге окруж- |
|||
ности |
|
z |
|
=1 от точки z =1 до точки z = eiα , где 0 < α < π (рис. 5.16 |
|
|
|
и 5.17 ).
Рис. 5.16 Рис. 5.17
|
|
|
Решение. Делаем |
поэтапно. |
Сначала |
|
применим дробно- |
|||||||||||
линейную функциюw |
= |
z −1 |
, получим ре- |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
зультат, показанный на рис. 5.18. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Так как при этом преобразовании дейст- |
|
|
|
||||||||||||
вительная ось переходит в действительную, |
|
|
|
|||||||||||||||
верхняя полуплоскость переходит в верх- |
|
|
|
|||||||||||||||
нюю полуплоскость, единичная окружность |
|
|
|
|||||||||||||||
|
z |
|
=1 переходит в мнимую ось, |
точка |
z =1 |
|
|
Рис. 5.18 |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
переходит в точку w = 0 , точка z =eiα |
переходит в точку |
|||||||||||||||||
|
|
|
e −1 |
( |
|
iα |
|
)( |
−iα |
|
) |
−e + e |
|
2i sin α |
||||
|
|
|
iα |
|
e |
|
− |
1 e |
|
|
+1 |
|
|
−iα |
iα |
|
|
w = eiα +1 = (eiα +1)(e−iα +1)= 2 + eiα + e−iα = 2 + 2 cosα =
αα
=i2sin 2 cos 2 = i tg α . 2 cos2 α2 2
Далее: w = w2 |
(рис. 5.19), |
w = w + tg2 α |
(рис. 5.20), w = w |
||||||||
2 |
1 |
|
3 |
2 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
2 |
|
2 |
α |
|
||
(рис. 5.21). Окончательный ответ: |
|
|
|
+ tg |
|
2 |
. |
||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
z +1 |
|
|
|
|
66

Рис. 5.19 |
Рис. 5.20 |
Рис. 5.21 |
||||
Пр имер 5.6 ([3], |
№ 2.118). Отобразить единичный круг |
|
z |
|
< 1 с |
|
|
|
выки нутым отрезком (1−h)eiα,eiα (рис. 5.22) на единичный круг
|w| < 1 .
|
|
Рис. 5.22 |
|
|
|
Рис. 5.23 |
|||
Решение. Сначала получим единичный |
|||||||||
круг |
разрезом по действительной оси [0;1] |
||||||||
(рис. 5.23): |
|
|
|
(1 −h)eiα − z |
|||||
|
|
|
w = e−iα |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
z (1 −h)e−iα −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(см. таблицу отображений). |
|||||||||
Далее: |
|
|
|
|
|
|
|
||
w2 |
= |
w1 (рис. 5.24), |
|||||||
w3 |
= 1 |
w2 + |
1 |
(рис. 5.25), |
|||||
|
|||||||||
|
|
2 |
|
w2 |
|
|
|||
w |
= w = − |
w3 +i |
(рис. 5.26). |
||||||
|
|||||||||
4 |
|
|
|
w3 −i |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
67 |
Рис. 5.24
Рис. 5.25
Рис. 5.26

Пр имер 5.7 ([3], |
№ 2.166). Отобразить на верхн юю полуплос- |
кость полуполосу |
0 < x < π, y > 0 с разрезом вдоль отрезка |
x = π2 , 0 ≤ y ≤ h (рис. 5.27).
Рис. 5.27 Рис. 5.28 Рис. 5.29
Решение. Сначала |
w1 = −cos z (рис. 5.28), далее по таблице |
||
|
|
|
|
изображений w = |
w 2 |
+sh2 h (рис. 5.29). |
|
2 |
1 |
|
|
Рекомендуемый перечень задач для решения в ау дитории:
5.1 (2, 3); 5.2 ([3], № 2.30); 5.4; 5. 5; [3] № 2.164; 5.7 ([3], № 2.166).
Резерв:
[3], № 2.97, № 2.117; 5.6 ([3], № 2. 118).
Для самостоятельной работы дома:
5.1 (1); [3], № 2.100; 5.3 ([3], № 2. 31); [3] № 2.107 (8), № 2.167.
68
6. ИНТЕГРАЛ ПО КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ
Пусть на комплексной плоскости z задана кривая γ, соединяющая точки А и В, и на этой кривой задана функция w = f (z) . Про-
изведем разбиение кривой точками A = z0 , z1, z2 ,… , zn = B . Обозначим разность zi+1 − zi = zi (i = 0,1,…,n −1) . На кривой между соседними точками разбиения возьмем произвольно точки ξi и
составим интегральную сумму
n
σ = ∑ f (ξi ) zi .
i=1
Увеличивая число точек разбиения n → ∞ так, чтобы характе-
ристика разбиения λ = max |
|
zi |
|
→ 0 , получим предел инте- |
|
|
|||
i=0,1...,n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
гральных сумм, который, если он существует, называется интегралом по комплексной переменной вдоль кривой γ: lim σ = ∫ f (z)dz .
λ→0
n→∞ γ
Этот интеграл сводится к криволинейному интегралу второго рода от действительных функций двух действительных переменных х и
у, где |
z = x +iy , |
вдоль кривой |
γ. Действительно, если |
w = f ( z) = u (x, y) +iυ( x, y) , а dz = dx +idy , то |
|||
∫ f (z)dz = ∫(u +iυ)(dx +idy) = ∫udx −υdy +i∫υdx +udy . |
|||
γ |
γ |
γ |
γ |
Если кривая γ замкнута, без самопересечений (будем называть ее контуром), а функция f (z) аналитическая внутри γ и непрерыв-
ная в области с границей, то функции и и υ непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка, при этом справедлива формула Грина
|
|
∂Q |
− |
∂P |
∫ Pdx +Qdy = ∫∫ |
∂x |
dxdy |
||
γ |
D |
|
∂y |
(D – область с границей γ). В нашем случае:
69

|
|
− |
∂υ |
− |
∂u |
|
, |
||
∫udx −υdy = ∫∫ |
∂x |
∂y |
dxdy |
||||||
γ |
D |
|
|
|
|
|
|||
∫υdx +udy = ∫∫ ∂u − |
∂υ |
dxdy . |
|
||||||
γ |
D ∂x |
|
∂y |
|
|
|
Оба двойных интеграла по области D равны нулю в силу условий Коши–Римана. Таким образом, если контур γ ограничивает об-
ласть аналитичности функции f (z) , то ∫ f (z)dz = 0 (теорема Ко-
γ
ши). Отметим, что теорема Коши справедлива и для многосвязной области, где γ – совокупная граница всей многосвязной области. Из теоремы Коши следует интегральная формула Коши:
|
1 f (ζ)dζ |
|
||
f (z) = |
|
∫γ |
|
, |
2πi |
ζ− z |
где контур γ охватывает область аналитичности функции f (z) , а точка z находится внутри него, ζ γ. Действительно, рассматривая двусвязную область, ограниченную извне контуром γ, а изнутри окружностью ζ− z =ε с центром в точке z, по теореме Коши полу-
чим: |
f (ζ)dζ |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (ζ)dζ |
|
|
|
|||
∫ |
− |
|
∫ |
= 0 |
||||||||||||
ζ− z |
ζ− z |
|||||||||||||||
γ |
|
|
|
ζ−z |
=ε |
|
|
|||||||||
или |
|
f (ζ)dζ |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (ζ)dζ |
|
||||
|
∫ |
|
= ∫ |
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
γ ζ− z |
|
|
|
|
ζ−z |
|
=ε |
ζ− z |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим ζ− z = εeiφ , dζ = iεeiφdφ. Интеграл справа будет равен
2π |
f (z +εeiφ)iεeiφdφ |
2π |
iφ |
|
|
iφ* |
|
|
∫ |
|
|
= i ∫ f (z +εe |
|
)dφ = i f (z +εe |
|
)2π |
|
εe |
iφ |
|
|
|||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
(по теореме о среднем для интеграла). |
|
|
lim f (z +εeiφ ) = f (z) , от- |
|||||
Ввиду непрерывности функции f (z) , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
ε→0 |
|
|
куда и получаем формулу Коши, которая также справедлива для многосвязной области.
70