
Михайлов ТФКП практикум2013
.pdf
Дифференцируя еще раз первое из этих равенств по х, а второе по у и складывая, получим:
|
|
|
∂2 |
(ln |
|
f ( x, y) |
|
)+ |
|
∂2 |
|
(ln |
|
f (x, y) |
|
) = |
|
(ln |
|
|
f (x, y) |
|
) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 ∂R |
|
|
|
∂2 R |
|
|
|
|
|
|
∂R |
|
|
|
1 ∂2 R |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= − |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
R |
2 |
|
∂x |
R |
∂x |
|
|
|
R |
2 |
|
|
∂y |
|
R ∂y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Опять-таки в силу (3.3) запишем это равенство в виде |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(ln |
|
f (x, y) |
|
) = − |
1 |
R |
2 |
∂Φ |
2 |
|
|
|
1 |
∂2 R |
∂2 R |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
R |
2 |
|
∂Φ 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
|
|
2 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Соотношение |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
R |
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
∂x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 R |
|
|
|
∂2 R |
|
|
|
|
|
|
∂Φ 2 |
|
|
|
∂Φ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
= R |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непосредственно вытекает из условий Коши–Римана (3.3). Откуда и получим (ln f (x, y) ) = 0 , что означает гармоничность функции ln f ( x, y) .
Пример № 3.7 ([3], № 1.165). Найти аналитическую функцию
f (z) = u + iυ |
по |
заданной |
её |
|
действительной |
части |
|||||||||
u = x2 − y2 +5x + y − |
|
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
∂u |
= 2x +5 + |
|
2 yx |
= |
∂υ |
(по условию Коши– |
||||||
|
|
∂x |
(x2 + y2 )2 |
∂y |
|||||||||||
Римана) υ = ∫ |
∂υdy +C(x) = 2xy +5y − |
|
|
|
x |
|
+C(x) . |
|
|||||||
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
||||||||||
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В то же время, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∂υ |
|
|
∂u |
|
|
x2 + y2 − x 2x |
|
′ |
|
|||||
|
|
|
= − |
∂y 2y − |
|
+C (x) = |
|
||||||||
|
∂x |
|
(x2 + y2 )2 |
|
41
= 2 y −1+ |
|
x2 + y2 −2 y2 |
C′(x) = −1; |
|
||||||
|
(x2 + y2 )2 |
|
||||||||
|
|
|
C( x) = −x + const . |
|
|
|
|
|||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
f (z) =u +iυ= x2 − y2 +5x + y − |
+ |
|
|
|||||||
x2 + y2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+i 2xy +5y − |
x |
|
− x +const = z2 +5z −iz − |
i |
+Ci |
|||||
x2 + y2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
(С – произвольная действительная постоянная).
Рекомендуемый перечень задач для решения в аудитории:
3.1 ([3], № 1.131 (zn, ez)); 3.2 ([3], № 1.132 (1)); 3.4 ([3], № 1.135); 3.5 ([3], № 1.139); 3.7 ([3], № 1.165).
Резерв:
3.1 ( Ln z ); 3.3 ([3], № 1.133); 3.6 ([3], № 1.156, частично), [3], № 1.137, № 1.166.
Для самостоятельной работы дома:
3.1 ([3], № 1.131 (cos z)); 3.2 ([3], № 1.132 (2)); [3], № 1.138, № 1.167.
42

4. Г ЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ МОДУЛЯ И АРГУМЕНТА ПРОИЗВОДН ОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. ПРОСТЕЙШИЕ КОНФОРМ НЫЕ ОТОБРА ЖЕНИЯ
Из определения производной функции w = f (z)
w′ = f ′(z) = lim |
w |
= lim |
|
|
w |
|
e |
iarg |
w |
= |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
z |
||||||
z→0 |
z |
z→0 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
w |
|
e |
i(arg w−arg z) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
z |
||||||||
z→0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
получаем, что модуль производной lim |
w |
= k есть коэффициент |
||
z→0 |
z |
|
|
|
сжатия–растяжения, производимого функцией w = f ( z) |
в точке z , |
|||
а аргу мент производной arg f ′(z) = lim (arg |
w −arg |
z) |
– угол по- |
|
z→0 |
|
|
|
|
ворота любого направления, задаваемого вектором |
z , |
исходящим |
из точки z , при ото |
бражении его в направлении вектора w в |
плоскости w (рис. 4.1 |
, 4.2). |
Ри . 4.1 |
Рис. 4.2 |
Если производная функции |
f (z) в точке z существует и от- |
лична от нуля, то отображение, осуществляемое ею, взаимно однозначно и характеризуется сохранением углов (включая их направление) и постоянством растяжений по всем направлениям, исходящим из этой точки. В этом случае отображение w = f (z) называет-
ся ко формным.
43

Пример 4.1 ([3], № 1.187). Отображение совершается с помо-
щью функций w = z2 |
|
|
и w = z3 . Найти угол поворота θ |
направле- |
||||||||||||||||||
ния, выходящего из точки z0 , |
и коэффициент растяжения k в этой |
|||||||||||||||||||||
точке: z0 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
Для |
функции |
w = z2 |
производная |
w′ = 2z |
|||||||||||||||||
θ = arg 2 = 0 ; |
k = |
|
w' |
|
= 2 ; |
для функции |
|
w = z3 производная |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
w′=3z2 в точке z |
=1 |
θ = arg 3 = 0 ; |
k = |
|
w' |
|
= 3 . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) |
z |
= −3 +4i ; для функции w = z2 ; w′ = 2z . |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В |
|
|
точке |
z0 = −3 +4i |
′ |
= −6 +8i |
и |
|
θ = arg w′ = |
π − arctg |
4 |
; |
||||||||||
|
|
w |
|
3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = |
|
w′ |
|
= |
36 +64 =10 ; для функции w = z3 ; |
|
w′=3z2 . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
В точке z0 = −3 +4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
w′ = 3(−3 + 4i)2 = 3(9 − 24i −16) = −21 −72i |
|
|
|
и
θ = arg w′ = −π+arctg 7221 = −π+arctg 247 ; k = w′ = 212 +722 = 75 .
Пример 4.2 ([3], № 1.188). Какая часть плоскости сжимается, а какая растягивается, если отображение осуществляется функцией:
1) |
w = z2 ; |
2) w = z2 +2z ; |
3) w = |
1 |
; |
4) w =ez . |
|||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
w′ = 2z ; |
растяжение при |
k = |
|
w′ |
|
>1 ; |
|
z2 |
|
>1; |
|
z |
|
>1 – |
||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
внешность единичного круга с центром в начале координат; сжатие
–внутри этого круга;
2)w = z2 +2z ; w′ = 2z + 2 ; сжатие в точках 2 z +1 <1 – внутрен-
ность круга с центром в точке |
z = −1 |
радиуса 1 ; растяжение – |
|
0 |
2 |
вне этого круга; |
|
|
|
|
44

1 |
|
′ |
1 |
|
1 |
< 1 ; |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3) w = z |
; |
w |
= − |
|
; сжатие при |
|
|
|
|
<1; |
z |
>1 |
– внеш- |
|
z2 |
z2 |
|
z |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ность единичного круга с центром в начале координат. Растяжение
– вне этого круга;
4) w =ez ; w′=ez =ex eiy ; k = w′ = ex . Сжатие в области ex <1;
то есть в полуплоскости x < 0 ; растяжение в полуплоскости x > 0 . Пример 4.3 ([3], № 1.189). Область G отображается с помощью
функции w = f (z) конформно на область G′.
1.Указать формулы для вычисления площади S области G′ и длины L дуги, на которую отображается некоторая дуга l , принадлежащая области G .
2. Найти длину L спирали, на которую с помощью функции w =ez отображается отрезок y = x ; 0 ≤ x ≤ 2π .
Решение.
1. Пусть w = f (z) = u( x, y) + iυ( x, y) , что соответствует переходу от плоскости двух действительных переменных (x, y) к плоскости двух действительных переменных (u,υ) , где u и υ заданные функ-
ции переменных х и у. Конформность отображения предполагает его взаимоднозначность, при которой площадь
|
|
|
|
S = ∫∫dudυ =∫∫ |
D(u,υ) |
|
dxdy , |
||||||
|
|
|
|
D(x, y) |
|||||||||
|
|
|
|
|
G′ |
|
|
G |
|
|
|||
|
|
|
∂u ∂υ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
D(u,υ) |
|
|
∂u |
∂υ |
|
∂υ |
∂u |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
= |
∂x ∂x |
= |
− |
– якобиан преобразования |
||||||||
D(x, y) |
∂u ∂υ |
∂y |
∂y |
||||||||||
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|||||
|
|
|
∂y ∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при переходе от переменных (x, y) к переменным (u,υ) . Так как отображение конформно, то функция w = f (z) аналитична, и вы-
полняются условия Коши–Римана:
∂∂ux = ∂∂yυ ; ∂∂uy = −∂∂υx ,
откуда получаем
45

|
∫∫ |
∂u 2 |
∂υ 2 |
|
∫∫ |
|
′ |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
S = |
|
|
∂x |
|
∂x |
|
dxdy = |
f |
(z) |
|
|
dxdy . |
||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично вычисляется длина дуги l , заданной параметриче-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ски, например: x = x(t) , |
y = y(t), |
|
l = ∫ x′(t)2 + y′(t)2 dt . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При переходе к переменным u = u(x, y) , υ = υ(x, y) : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = ∫ u′(t)2 +υ'(t)2 dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
∂u |
x′(t) + |
∂u |
|
|
|
|
|
2 |
|
∂υ |
x′(t) |
+ |
∂υ |
y′(t) |
|
2 |
dt = |
||||||||||||
= ∫ |
|
∂x |
∂y |
y′(t) |
|
+ |
∂x |
∂y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
β |
|
∂u 2 |
|
|
2 |
+ |
2 |
∂u |
|
∂u |
|
|
|
|
|
∂u |
2 |
|
|
|
2 |
+ |
|||||||||
|
= ∫ |
|
|
x′(t) |
|
|
∂x |
∂y |
x′(t) y′(t) + |
∂y |
|
y′(t) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
α |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
∂u 2 |
|
2 |
−2 |
∂u |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
∂u 2 |
|
2 |
dt |
= |
|||||||||||||
|
+ |
|
|
x′(t) |
|
∂y |
|
∂x |
x′(t) y′(t) + |
|
y′(t) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
β |
|
∂u 2 |
|
∂υ 2 |
|
′ |
|
|
2 |
|
|
∂u 2 |
∂υ 2 ′ |
|
|
2 |
dt = |
|||||||||||||||
∫ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
x (t) |
|
|
+ |
|
+ |
|
|
y (t) |
|
|
||||||||||||||
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
f ′(z) |
|
|
|
x′(t)2 + y′(t)2 dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α
2. Так как отрезок целиком лежит в полосе однолистности функции, то применима формула для L , полученная выше:
f ′(z) = ez = ex eiy ; f ′(z) = ex .
Примем за параметр переменную x. Тогда
2π
x′ =1; y′ =1 L = ∫ ex 2dx = 2(e2π −1) ,
0
46

y = x отображается в спираль (рис. 4.3):
ρ = ex ; |
ϕ = y ρ = eϕ (логарифмическая |
|
||
спираль). |
|
|
|
|
Пр имер 4.4 |
([3], |
№ 1.191). Найти пло- |
|
|
щадь области, |
на |
которую с пом ощью |
|
|
функ ции |
ez отображ ается прямоугольник |
Рис. 4.3 |
||
1 ≤ x ≤ 2; |
0 ≤ y ≤ 4 (ри с. 4.4). |
|
Рис. 4.4 |
Рис. 4.5 |
|
Решение. |
w = u +iυ = ez = ex eiy = ex (cos y +i sin y) |
|
u = ex cos y ; υ = ex sin y .
Граница прямоугольника отображается в границу области в плоскости w :
1) {y = 0,1≤ x ≤ 2} {υ= 0;1≤ ue2} ;
2) |
{x = 2, 0 ≤ y ≤ 4} {u = e2 cos y; υ= e2 sin y} u2 +υ2 = e4 – |
|||||
окруж ность; |
– отрезок луча u = ctg 4 ; |
|||||
3) |
{y = 4; 1 ≤ x ≤ 2} |
|||||
|
{x =1; 0 ≤ y ≤ 4} ; u = e cos y ; |
|
υ |
|||
4) |
|
υ = esin y ; u2 +υ2 = e2 , окруж- |
||||
ность радиуса e (рис. |
4.5). |
|
|
|
|
|
Искомая площадь равна |
|
|
||||
|
S = ∫∫ dudυ = ∫∫ |
|
f ′(z) |
|
2 dxdy = ∫∫e2xdxdy = |
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||
|
G′ |
G |
|
G |
47

2 |
4 |
2 |
1 e2x |
|
2 |
(e4 −e2 ) . |
|
||||||
= ∫ |
∫e2xdydx = 4 ∫e2xdx = 4 |
|
= 2 |
|||
1 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
Пример 4.5 ([3], № 2.1). Найти целую линейную функцию (т.е. функцию вида w = az +b , где a и b комплексные постоянные), отображающую треугольник с вершинами в точках 0 , 1, i на подобный ему треугольник с вершинами 0 , 2 , 1 + i (рис. 4.6 и 4.7).
Решение. В соответствии с геометрическим смыслом преобразования, осуществляемого линейной функцией, точка z = 0 (вершина прямого угла треугольника в плоскости z ) переходит в точку w =1 + i (вершина прямого угла образа этого треугольника в плоскости w ): 1 + i = a 0 +b b =1 +i .
Вершина z = i переходит в вершину w = 2 2 = a i +1 + i ; ai =1 − i ; a = −i −1 w = (1+i)(1− z) .
Рис. 4.6 Рис. 4.7
Пример 4.6 ([3], № 2.6). Найти целую линейную функцию w (z), отображающую полосу, заключенную между прямыми х = а
и x = a + h на полосу 0 < u <1 при указанной нормировке: w (a) = 0 .
Решение. В силу принципа соответствия границ при конформном отображении, граница исходной области переходит в границу отображения этой области. Чтобы внутренность исходной области переходила во внутренность отображения, дается условие, в данном случае w (a) = 0 .
Общий вид целой линейной функции w = cz + d . Пусть прямая х = а переходит в прямую u = 0 , тогда iυ = c (a +iy) + d .
48

Прямая x = a + h переходит в прямую u =1 , тогда
1 +iυ = c (a + h +iy) + d 1 = ch c = h1 w = h1 z + d .
Используем условие w (a) = 0 :
0 = h1 a + d d = − ah w = h1 (z − a ) .
Пример 4.7 ([3], № 2.7). Найти целую линейную функцию, отображающую круг z < 1 на круг w − w0 < R так, чтобы центры
кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр переходил в диаметр, образующий с направлением действительной оси угол α.
Решение. По смыслу линейного преобразования, изменим диаметр круга с 1 на R преобразованием w1 = Rzeiα, сохранив центр
круга в начале координат и повернув горизонтальный диаметр на угол α против часовой стрелки. Затем осуществим преобразование параллельного переноса так, чтобы центр круга z = 0 перешел в
центр круга w = w0 : w2 = w1 + w0 . Окончательно: w = eiαRz + w0 .
Пример 4.8 ([3], № 2.8). Для функции w = 1z найти образы сле-
дующих линий: 1) семейства окружностей x2 + y2 = ax ; 3) пучка параллельных прямых y = x +b ; 6) параболы y = x2 .
Решение.
1) Найдем образ семейства окружностей x2 + y2 = ax : w = 1z = x +1iy = xx2 −+iyy2 = xax−iy = 1a − axiy .
Так как точка z = 0 принадлежит всем окружностям семейства, а она переходит в точку w = ∞ , то все окружности этого семейства переходят в прямые, параллельные мнимой оси в плоскости w , то
есть u = 1a (сама мнимая ось не входит в это семейство). 3) Найдем образ пучка параллельных прямых y = x +b :
49

|
w = |
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
|
x −i(x +b) |
|
; |
|
|
||||||||||||
|
x +i(x +b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 +(x +b)2 |
|
||||||||||||||||||||
u = |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +b |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
; υ |
= − |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x2 +(x +b)2 |
x2 +(x +b)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
u2 +υ2 = |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
(x +b)2 |
, |
|||||||||
x2 +(x +b)2 |
2 |
|
|
x2 +(x |
+b)2 2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
2 +υ2 = |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x2 |
+ |
|
(x +b)2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
в то же время |
|
|
|
|
b |
|
|
u2 +υ2 = −u +υ |
|
||||||||||||||||||
u +υ = − |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x2 +(x +b)2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
||||||||
или |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
u |
+ |
|
|
+ |
υ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
– семейство окружностей с центром в точке |
u = − |
1 |
, |
υ= − |
1 |
ра- |
|||
2b |
2b |
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
диуса |
(b ≠ 0) . При b = 0 прямая y = x |
переходит в прямую |
|||||||
2 b |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
υ= −u .
6)Найдем образ параболы y = x2 :
w = |
1 |
= |
1 |
= |
x −ix2 |
; u = |
|
x |
= |
1 |
; |
||
z |
x +ix2 |
x2 |
+ x4 |
x2 |
+ x4 |
x(1+ x2 ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
υ= − |
x2 |
= − |
|
1 |
u2 = |
1 |
= − |
υ3 |
. |
x2 + x4 |
|
+ x2 |
x2 (1+ x2 )2 |
|
|||||
|
1 |
|
|
1+υ |
Пример 4.9 ([3], № 2.11). Во что преобразуется первая четверть
плоскости z при отображении, осуществляемом дробно-линейной
z −i . z + i
Решение. По свойствам дробно-линейной функции ни одна точка первой четверти и ее границы не переходит в точку w = ∞ (так
50