Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Михайлов ТФКП практикум2013

.pdf
Скачиваний:
1614
Добавлен:
05.06.2015
Размер:
3.91 Mб
Скачать

Дифференцируя еще раз первое из этих равенств по х, а второе по у и складывая, получим:

 

 

 

2

(ln

 

f ( x, y)

 

)+

 

2

 

(ln

 

f (x, y)

 

) =

 

(ln

 

 

f (x, y)

 

) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 R

 

 

 

2 R

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

1 2 R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

2

 

x

R

x

 

 

 

R

2

 

 

y

 

R y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Опять-таки в силу (3.3) запишем это равенство в виде

 

 

 

 

(ln

 

f (x, y)

 

) = −

1

R

2

∂Φ

2

 

 

 

1

2 R

2 R

 

 

 

 

 

 

1

 

R

2

 

∂Φ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

Соотношение

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

R

x

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 R

 

 

 

2 R

 

 

 

 

 

 

∂Φ 2

 

 

 

∂Φ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

= R

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

непосредственно вытекает из условий Коши–Римана (3.3). Откуда и получим (ln f (x, y) ) = 0 , что означает гармоничность функции ln f ( x, y) .

Пример № 3.7 ([3], № 1.165). Найти аналитическую функцию

f (z) = u +

по

заданной

её

 

действительной

части

u = x2 y2 +5x + y

 

y

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

u

= 2x +5 +

 

2 yx

=

υ

(по условию Коши–

 

 

x

(x2 + y2 )2

y

Римана) υ =

υdy +C(x) = 2xy +5y

 

 

 

x

 

+C(x) .

 

 

x

2

+ y

2

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В то же время,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

υ

 

 

u

 

 

x2 + y2 x 2x

 

 

 

 

 

= −

y 2y

 

+C (x) =

 

 

x

 

(x2 + y2 )2

 

41

= 2 y 1+

 

x2 + y2 2 y2

C(x) = −1;

 

 

(x2 + y2 )2

 

 

 

 

C( x) = −x + const .

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

f (z) =u += x2 y2 +5x + y

+

 

 

x2 + y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+i 2xy +5y

x

 

x +const = z2 +5z iz

i

+Ci

x2 + y2

 

 

 

 

 

z

 

(С – произвольная действительная постоянная).

Рекомендуемый перечень задач для решения в аудитории:

3.1 ([3], № 1.131 (zn, ez)); 3.2 ([3], № 1.132 (1)); 3.4 ([3], № 1.135); 3.5 ([3], № 1.139); 3.7 ([3], № 1.165).

Резерв:

3.1 ( Ln z ); 3.3 ([3], № 1.133); 3.6 ([3], № 1.156, частично), [3], № 1.137, № 1.166.

Для самостоятельной работы дома:

3.1 ([3], № 1.131 (cos z)); 3.2 ([3], № 1.132 (2)); [3], № 1.138, № 1.167.

42

4. Г ЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ МОДУЛЯ И АРГУМЕНТА ПРОИЗВОДН ОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. ПРОСТЕЙШИЕ КОНФОРМ НЫЕ ОТОБРА ЖЕНИЯ

Из определения производной функции w = f (z)

w′ = f (z) = lim

w

= lim

 

 

w

 

e

iarg

w

=

 

 

 

 

 

 

z

z0

z

z0

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

w

 

e

i(arg warg z)

 

 

 

 

 

 

 

 

z

z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получаем, что модуль производной lim

w

= k есть коэффициент

z0

z

 

 

 

сжатия–растяжения, производимого функцией w = f ( z)

в точке z ,

а аргу мент производной arg f (z) = lim (arg

w arg

z)

– угол по-

z0

 

 

 

 

ворота любого направления, задаваемого вектором

z ,

исходящим

из точки z , при ото

бражении его в направлении вектора w в

плоскости w (рис. 4.1

, 4.2).

Ри . 4.1

Рис. 4.2

Если производная функции

f (z) в точке z существует и от-

лична от нуля, то отображение, осуществляемое ею, взаимно однозначно и характеризуется сохранением углов (включая их направление) и постоянством растяжений по всем направлениям, исходящим из этой точки. В этом случае отображение w = f (z) называет-

ся ко формным.

43

Пример 4.1 ([3], № 1.187). Отображение совершается с помо-

щью функций w = z2

 

 

и w = z3 . Найти угол поворота θ

направле-

ния, выходящего из точки z0 ,

и коэффициент растяжения k в этой

точке: z0 =1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Для

функции

w = z2

производная

w′ = 2z

θ = arg 2 = 0 ;

k =

 

w'

 

= 2 ;

для функции

 

w = z3 производная

 

 

w′=3z2 в точке z

=1

θ = arg 3 = 0 ;

k =

 

w'

 

= 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

z

= −3 +4i ; для функции w = z2 ; w′ = 2z .

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

 

точке

z0 = −3 +4i

= −6 +8i

и

 

θ = arg w′ =

π arctg

4

;

 

 

w

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k =

 

w

 

=

36 +64 =10 ; для функции w = z3 ;

 

w′=3z2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В точке z0 = −3 +4i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w′ = 3(3 + 4i)2 = 3(9 24i 16) = −21 72i

 

 

 

и

θ = arg w′ = −π+arctg 7221 = −π+arctg 247 ; k = w′ = 212 +722 = 75 .

Пример 4.2 ([3], № 1.188). Какая часть плоскости сжимается, а какая растягивается, если отображение осуществляется функцией:

1)

w = z2 ;

2) w = z2 +2z ;

3) w =

1

;

4) w =ez .

Решение.

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

w′ = 2z ;

растяжение при

k =

 

w

 

>1 ;

 

z2

 

>1;

 

z

 

>1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

внешность единичного круга с центром в начале координат; сжатие

внутри этого круга;

2)w = z2 +2z ; w′ = 2z + 2 ; сжатие в точках 2 z +1 <1 – внутрен-

ность круга с центром в точке

z = −1

радиуса 1 ; растяжение –

 

0

2

вне этого круга;

 

 

 

44

1

 

1

 

1

< 1 ;

 

1

 

 

 

 

 

3) w = z

;

w

= −

 

; сжатие при

 

 

 

 

<1;

z

>1

– внеш-

z2

z2

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ность единичного круга с центром в начале координат. Растяжение

– вне этого круга;

4) w =ez ; w′=ez =ex eiy ; k = w′ = ex . Сжатие в области ex <1;

то есть в полуплоскости x < 0 ; растяжение в полуплоскости x > 0 . Пример 4.3 ([3], № 1.189). Область G отображается с помощью

функции w = f (z) конформно на область G.

1.Указать формулы для вычисления площади S области Gи длины L дуги, на которую отображается некоторая дуга l , принадлежащая области G .

2. Найти длину L спирали, на которую с помощью функции w =ez отображается отрезок y = x ; 0 ≤ x ≤ 2π .

Решение.

1. Пусть w = f (z) = u( x, y) + iυ( x, y) , что соответствует переходу от плоскости двух действительных переменных (x, y) к плоскости двух действительных переменных (u,υ) , где u и υ заданные функ-

ции переменных х и у. Конформность отображения предполагает его взаимоднозначность, при которой площадь

 

 

 

 

S = ∫∫dudυ =∫∫

D(u,υ)

 

dxdy ,

 

 

 

 

D(x, y)

 

 

 

 

 

G

 

 

G

 

 

 

 

 

u υ

 

 

 

 

 

 

 

 

D(u,υ)

 

 

u

υ

 

υ

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

=

x x

=

– якобиан преобразования

D(x, y)

u υ

y

y

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

y y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при переходе от переменных (x, y) к переменным (u,υ) . Так как отображение конформно, то функция w = f (z) аналитична, и вы-

полняются условия Коши–Римана:

ux = yυ ; uy = −υx ,

откуда получаем

45

 

∫∫

u 2

υ 2

 

∫∫

 

 

2

 

 

 

 

 

 

S =

 

 

x

 

x

 

dxdy =

f

(z)

 

 

dxdy .

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично вычисляется длина дуги l , заданной параметриче-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ски, например: x = x(t) ,

y = y(t),

 

l = x(t)2 + y(t)2 dt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При переходе к переменным u = u(x, y) , υ = υ(x, y) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L = u(t)2 +υ'(t)2 dt =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β

 

u

x(t) +

u

 

 

 

 

 

2

 

υ

x(t)

+

υ

y(t)

 

2

dt =

=

 

x

y

y(t)

 

+

x

y

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β

 

u 2

 

 

2

+

2

u

 

u

 

 

 

 

 

u

2

 

 

 

2

+

 

=

 

 

x(t)

 

 

x

y

x(t) y(t) +

y

 

y(t)

 

 

 

 

α

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 2

 

2

2

u

 

 

y

 

 

 

 

 

u 2

 

2

dt

=

 

+

 

 

x(t)

 

y

 

x

x(t) y(t) +

 

y(t)

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

=

β

 

u 2

 

υ 2

 

 

 

2

 

 

u 2

υ 2

 

 

2

dt =

 

 

 

+

 

 

 

 

x (t)

 

 

+

 

+

 

 

y (t)

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

f (z)

 

 

 

x(t)2 + y(t)2 dt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

2. Так как отрезок целиком лежит в полосе однолистности функции, то применима формула для L , полученная выше:

f (z) = ez = ex eiy ; f (z) = ex .

Примем за параметр переменную x. Тогда

2π

x′ =1; y′ =1 L = ex 2dx = 2(e2π 1) ,

0

46

y = x отображается в спираль (рис. 4.3):

ρ = ex ;

ϕ = y ρ = eϕ (логарифмическая

 

спираль).

 

 

 

 

Пр имер 4.4

([3],

№ 1.191). Найти пло-

 

щадь области,

на

которую с пом ощью

 

функ ции

ez отображ ается прямоугольник

Рис. 4.3

1 x 2;

0 y 4 (ри с. 4.4).

 

Рис. 4.4

Рис. 4.5

 

Решение.

w = u +iυ = ez = ex eiy = ex (cos y +i sin y)

 

u = ex cos y ; υ = ex sin y .

Граница прямоугольника отображается в границу области в плоскости w :

1) {y = 0,1≤ x ≤ 2} {υ= 0;1≤ ue2} ;

2)

{x = 2, 0 ≤ y ≤ 4} {u = e2 cos y; υ= e2 sin y} u2 +υ2 = e4

окруж ность;

– отрезок луча u = ctg 4 ;

3)

{y = 4; 1 x 2}

 

{x =1; 0 y 4} ; u = e cos y ;

 

υ

4)

 

υ = esin y ; u2 +υ2 = e2 , окруж-

ность радиуса e (рис.

4.5).

 

 

 

 

Искомая площадь равна

 

 

 

S = ∫∫ dudυ = ∫∫

 

f (z)

 

2 dxdy = ∫∫e2xdxdy =

 

 

 

 

 

 

 

G

G

 

G

47

2

4

2

1 e2x

 

2

(e4 e2 ) .

 

=

e2xdydx = 4 e2xdx = 4

 

= 2

1

0

1

2

 

1

 

 

 

 

Пример 4.5 ([3], № 2.1). Найти целую линейную функцию (т.е. функцию вида w = az +b , где a и b комплексные постоянные), отображающую треугольник с вершинами в точках 0 , 1, i на подобный ему треугольник с вершинами 0 , 2 , 1 + i (рис. 4.6 и 4.7).

Решение. В соответствии с геометрическим смыслом преобразования, осуществляемого линейной функцией, точка z = 0 (вершина прямого угла треугольника в плоскости z ) переходит в точку w =1 + i (вершина прямого угла образа этого треугольника в плоскости w ): 1 + i = a 0 +b b =1 +i .

Вершина z = i переходит в вершину w = 2 2 = a i +1 + i ; ai =1 i ; a = −i 1 w = (1+i)(1z) .

Рис. 4.6 Рис. 4.7

Пример 4.6 ([3], № 2.6). Найти целую линейную функцию w (z), отображающую полосу, заключенную между прямыми х = а

и x = a + h на полосу 0 < u <1 при указанной нормировке: w (a) = 0 .

Решение. В силу принципа соответствия границ при конформном отображении, граница исходной области переходит в границу отображения этой области. Чтобы внутренность исходной области переходила во внутренность отображения, дается условие, в данном случае w (a) = 0 .

Общий вид целой линейной функции w = cz + d . Пусть прямая х = а переходит в прямую u = 0 , тогда iυ = c (a +iy) + d .

48

Прямая x = a + h переходит в прямую u =1 , тогда

1 +iυ = c (a + h +iy) + d 1 = ch c = h1 w = h1 z + d .

Используем условие w (a) = 0 :

0 = h1 a + d d = − ah w = h1 (z a ) .

Пример 4.7 ([3], № 2.7). Найти целую линейную функцию, отображающую круг z < 1 на круг w w0 < R так, чтобы центры

кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр переходил в диаметр, образующий с направлением действительной оси угол α.

Решение. По смыслу линейного преобразования, изменим диаметр круга с 1 на R преобразованием w1 = Rzeiα, сохранив центр

круга в начале координат и повернув горизонтальный диаметр на угол α против часовой стрелки. Затем осуществим преобразование параллельного переноса так, чтобы центр круга z = 0 перешел в

центр круга w = w0 : w2 = w1 + w0 . Окончательно: w = eiαRz + w0 .

Пример 4.8 ([3], № 2.8). Для функции w = 1z найти образы сле-

дующих линий: 1) семейства окружностей x2 + y2 = ax ; 3) пучка параллельных прямых y = x +b ; 6) параболы y = x2 .

Решение.

1) Найдем образ семейства окружностей x2 + y2 = ax : w = 1z = x +1iy = xx2 +iyy2 = xaxiy = 1a axiy .

Так как точка z = 0 принадлежит всем окружностям семейства, а она переходит в точку w = ∞ , то все окружности этого семейства переходят в прямые, параллельные мнимой оси в плоскости w , то

есть u = 1a (сама мнимая ось не входит в это семейство). 3) Найдем образ пучка параллельных прямых y = x +b :

49

функцией w =

 

w =

 

 

1

 

 

=

 

 

 

x i(x +b)

 

;

 

 

 

x +i(x +b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 +(x +b)2

 

u =

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; υ

= −

 

 

 

 

 

 

x2 +(x +b)2

x2 +(x +b)2

 

u2 +υ2 =

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

(x +b)2

,

x2 +(x +b)2

2

 

 

x2 +(x

+b)2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

2 +υ2 =

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

+

 

(x +b)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в то же время

 

 

 

 

b

 

 

u2 +υ2 = −u +υ

 

u +υ = −

 

 

 

 

 

 

 

x2 +(x +b)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

или

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

u

+

 

 

+

υ

+

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2b

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2b

 

 

 

 

2b

 

 

 

 

 

 

 

 

– семейство окружностей с центром в точке

u = −

1

,

υ= −

1

ра-

2b

2b

 

1

 

 

 

 

 

диуса

(b 0) . При b = 0 прямая y = x

переходит в прямую

2 b

 

 

 

 

 

 

 

 

υ= −u .

6)Найдем образ параболы y = x2 :

w =

1

=

1

=

x ix2

; u =

 

x

=

1

;

z

x +ix2

x2

+ x4

x2

+ x4

x(1+ x2 )

 

 

 

 

 

 

υ= −

x2

= −

 

1

u2 =

1

= −

υ3

.

x2 + x4

 

+ x2

x2 (1+ x2 )2

 

 

1

 

 

1+υ

Пример 4.9 ([3], № 2.11). Во что преобразуется первая четверть

плоскости z при отображении, осуществляемом дробно-линейной

z i . z + i

Решение. По свойствам дробно-линейной функции ни одна точка первой четверти и ее границы не переходит в точку w = ∞ (так

50