Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Михайлов ТФКП практикум2013

.pdf
Скачиваний:
1614
Добавлен:
05.06.2015
Размер:
3.91 Mб
Скачать

 

eax ebx

dp

 

dp

 

p a

 

p b

 

 

 

 

 

7)

 

p

 

p

 

= ln

 

 

 

= ln

 

.

 

 

 

 

 

 

x

p a

 

p b

 

p b

 

p

p a

 

 

 

 

 

Пример 14.6 ([4], № 12). Пользуясь теоремой обращения, найти оригиналы, соответствующие изображениям:

1)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

; 2)

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

; 3)

 

 

 

 

1

; 4)

 

 

 

 

p

 

.

 

( p 1)( p 2)

 

 

p2 ( p +1)3

 

p( p2 +1)

(

p

2 +1 ( p2

+ 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

Решение.

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) F(p) =

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 ( p +1)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x+i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

res[epx F( p), pk ] =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) =

 

 

·

 

 

epx F ( p)dp =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

epx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

epx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= res

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,0 + res

 

 

 

 

 

 

 

, 1

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

( p +1)

3

 

 

2

( p +

1)

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

d

 

 

 

 

 

epx

 

 

 

 

 

+

1

 

d 2

 

 

 

e px

 

 

 

 

 

 

= x 3 +

ex

 

(x2 + 4x + 6).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( p +1)3

 

 

 

 

 

dp2

 

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dp

 

 

p=0

 

 

2

 

 

 

 

 

 

p=−1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) F(p) =

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

. Можно разложить на дроби:

 

 

(

 

p2 +1 ( p2

+ 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

=

1

 

 

 

 

p

 

 

 

p

 

 

1

cosx

1

cos2x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( p

2

 

+1)( p

2

+ 4)

3

 

p

2

+1

p

2

+

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тот же результат можно получить с помощью вычетов:

 

 

 

 

 

 

2

p

 

2

 

 

 

 

 

 

F ( p) =

 

 

 

 

 

 

 

 

res[epx F ( p); p = ±i;±2i] =

(

p

 

 

)

 

 

+4)

 

 

 

 

 

 

 

+1 ( p

 

 

 

 

 

 

=

1

 

2eix

 

 

 

+ eix

1

 

2e2ix

1 e2ix

=

1 cosx

1 cos2x.

2

(i2 + 4)

3 2

3 2

 

 

2·3

 

 

 

 

3

3

Пример 14.7 ([4], № 13). Используя разложение дробей на простейшие, найти оригиналы:

1)

p2 +1

;

2)

p +1

; 3)

1

;

p( p +1)( p +2)

p2 ( p 1)( p + 2)

( p 1)2·( p 2)3

221

4)

1

;

5)

 

 

 

 

5 p +3

 

 

; 6)

 

 

p2 +14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

( p +1)3·( p +3)

(

p 1

p2 + 2 p +5

)

(

p2

+ 4

)

( p2 +9)

 

 

 

 

 

 

)(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

A

 

B

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

p2 +1

=

+

 

+

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p( p +1)( p + 2)

 

p

 

p +1

p + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 +1 = A( p +1)( p + 2)

 

+ Bp ( p + 2) +Cp( p +1) A =

1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 f

(x) =1

 

 

 

5 e2 x

 

2

 

 

 

B = −2 ; C =

2ex +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

(по таблице изображений).

3)

1

=

A

+

B

 

+

C

+

D

+

E

;

( p 1)2·( p 2)3

( p 1)2

p 1

( p 2)3

( p 2)2

p 2

 

 

 

 

 

 

 

1 = A( p 2)3 + B( p 1)( p 2)3 +C( p 1)2 + D( p 1)2 ( p 2) + +E( p 1)2 ( p 2)2 .

Полагая p = 1, получим А = –1; полагая p = 2, получим С = 1. Далее приравниваем показатели при одинаковых степенях p

слева и справа:

при р4: 0 = B+E;

при р3: 0

= A + B (7)

+ D + E (4 2) .

 

 

 

 

 

Свободные члены:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 = B + E,

 

 

1 = −8A +8B +C

2D + 4E

 

 

 

 

 

 

 

 

1 = −7B + D 6E,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 8B - 2D + 4E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

B = −3; D = −2; E = 3.

 

 

 

 

 

f (x) =−xe

x

 

3e

x

 

 

x2e2 x

2xe

2 x

+3e

2 x

 

Оригинал

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

5 p +3

 

 

=

A

 

 

+

 

Bp +C

 

;

 

 

 

( p 1)( p2 + 2 p +5)

 

p 1

 

p2 + 2 p +5

 

 

 

5p +3 = A( p2 +2 p +5) +(Bp +C)( p 1)

A =1, B = −1, C = 2;

222

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 p +3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

1

 

p

+

2

 

 

 

 

( p 1)( p2 +2 p +5)

 

 

 

p 1

 

( p +1)2 + 4

( p +1)2 +4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex

ex cos 2x +ex sin 2x.

 

Пример 14.8 ([4] №14).

Найти оригиналы:

 

 

1)

 

 

3 p

 

 

 

 

 

= −

3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

'

 

 

 

 

 

3

·sinx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( p

2

+1)

2

 

2

 

p

2

+1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

= −

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

'

 

1

1 shax ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( p

2

a

2

)

2

2

 

p

2

 

a

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

p2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

'

 

 

 

 

x·cosx .

 

 

5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( p

2

+1)

2

 

 

p

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 14.9 ([4], № 15). Пользуясь теоремой умножения (теоремой о свертке), найти оригиналы:

2)

 

 

1

 

 

 

 

 

; 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

; 6)

 

1

 

.

 

 

( p +1)( p + 2)2

( p2 + 4)( p2 +9)

p2 ( p2 1)

 

 

Решение.

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Так как

 

 

 

ex

 

и

 

 

 

 

 

 

xe2 x , то по теореме о свертке

p +1

 

 

 

( p +

2)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x f1 (τ)· f2 (x τ)·dτ = F1 ( pF2 ( p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

xτe2 τ·e( xτ)dτ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p +1

( p

+

2)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= e

x

·τ·e

τ

dτ

= e

x

τe

x

 

 

 

 

+ e

τ

= e

x

xe

x

e

x

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dτ

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −xe2 x e2 x +ex .

 

p2

p

 

p

4)

 

=

 

 

( p2 + 4)( p2 +9)

( p2 + 4)

( p2 +9)

223

 

x

cos 3τ·cos 2( x τ)dτ =

1 x

cos(2x + τ)

+cos(5τ2x) dτ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

sin (2x + τ) +

1

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

sin(5τ

2x)

=

 

sin 3x

 

sin 2x +

 

 

2

10

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

1

 

 

sin 3x +

 

1

 

sin 2x =

3 sin 3x

2 sin 2x.

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

5

 

 

 

5

 

 

 

 

6)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

.

Так как

1

 

 

x ,

а

 

1

 

 

 

shx ,

то

 

 

p2 ( p2

1)

 

p2

 

p2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh τ ·( x τ)dτ= ( x τ) ch τ

 

+ ch τ·dτ =−x +sh x .

 

p2 ( p2 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 14.10 ([4], № 36).

1) Пусть φ( p)

 

 

f (x) иψ( p)

g(x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 , 0 < x < a

 

 

 

 

Показать,

 

 

что

 

 

 

 

 

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a < x < b,

 

то

ϕ( p) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) = g(x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

x > b,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= eapψa ( p)

 

ebpψb ( p),

 

 

где

ψa ( p)

 

изображение функции

g ( x + a )

 

и a > 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Воспользуемся

теоремой

запаздывания:

если

 

 

 

 

0,

> x)

,

то fτ

(x)

 

epτF( p) , где F(p)

изображе-

fτ (x) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( x τ), (τ x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ние функции f (x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Представим функцию

 

f (x) с помощью единичной функции Хе-

висайда

σ0 (x) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) = σ0 (x ag(x) σ0 (x bg(x) .

 

 

Преобразуем это выражение с целью применения теоремы запаздывания:

f (x) = σ0 ((x ag((x + a) a) σ0 (x bg((x +b) b)

epa·ψa ( p) epb ψb ( p) ,

что и требовалось доказать.

224

Пример 14.11 ([4], № 37).

0 , x < 0,

b

4)f (x) = a,

x> a;x +b, 0< x <a 0 ,

Найти изображения функций:

 

 

0 ,

x < 0,

 

 

1

 

 

 

x, 0< x < 2a,

5) f (x) = 1

a

 

 

 

x > 2a.

 

 

0 ,

 

 

 

 

 

Решение. Представив функцию f (x)

в виде:

 

f (x) = σ0 (x)·(b x +b) σ0

(x a)·(b (x + a a) +b) ,

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

по доказанному в предыдущем примере получим

 

 

f (x)

 

b

 

+

b

eap (

b

+

2b) .

 

 

ap2

 

p

ap2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

(так как

b x +b

a

b2

 

+

b

=

 

b

+

b

) . Можно этот результат

p2a2

 

ap2

 

 

a

b

 

 

p

 

 

 

p

 

 

 

получить, используя непосредственно интеграл Лапласа.

5) Делается аналогично или непосредственно через интеграл

Лапласа.

Представив

f (x) в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

(

x

)

= σ

0 (

x ·(1

 

x

)σ

0 (

x 2a ·(1

x 2a +2a

) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

a

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= σ0 (x)·(1

x

)

σ0

(x 2a)·(1

x 2a

),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F( p) =

 

 

e2ap (

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

ap2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

ap2

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 14.12 ([4] №36).

 

2) Доказать, что, если f (x) периоди-

ческая функция с периодом

 

и

g (x)=

f (x), 0 < x < 2ω,

то

 

 

0, x > 2ω,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

изображением функции

f (x)

 

является функция

φ( p) =

 

 

ψ( p)

 

,

 

1

ep

где ψ( p)

g (x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g (x)= σ0 (xf (x) σ0 (x 2ωf (x) =

 

 

 

 

 

225

= σ0 (xf (x) −σ0 (x 2ω)· f ((x + 2ω) 2ω) ,

то ψ( p) = φ( p) ep·φ( p) , где φ( p) f (x + 2ω).

Так как для пер иодической функции f (x + 2ω) = f (x) , то φ( p ) = φ( p) , отсюда следует равенство

ψ( p) = φ( p) e p φ( p)

и далее

 

 

ψ( p)

 

φ( p) =

 

 

.

1

ep

 

 

Что и требовалось доказать.

Пр имер 14.13 ([4] № 39 (2, 4)). Найти изображения периодических функций y = f (x) , заданных графиками.

Решение.

 

 

2) y = f (x)

(рис. 14.1). Требуется найти изображение φ( p)

функ ции f (x) ,

если найдем изображение ψ( p) функции

 

f ( x), 0 < x < 4a,

 

g ( x) =

0, x > 4a.

 

 

Рис. 14.1

Изображение

2a

4a

1

 

ψ( p) = epxdx epxdx =

(eap e2ap e3ap e4ap ).

p

a

3a

 

Искомое изображение периодической функции f (x) по формуле предыдущего примера:

226

f ( x)

φ( p) =

 

 

ψ( p)

=

1

e4ap

 

 

 

=1 (eap e3ap ) (e2ap ) =

p (1e4ap )

=1 e2ap (eap eap ) e3ap (eap eap ) = p (e2ap e2ap )e2ap e4ap

 

=

(eap eap )(e2ap e3ap ) =

 

 

 

pe2ap 2sh 2ap

 

 

=

e2ap 2sh ap·(1 eap )

=

1eap

.

pe2ap 4sh ap ch ap

2 p ch ap

 

 

 

4) y = f (x) (рис 14.2). Требуется найти изображение φ( p) периодической функции f (x) с периодом 2а.

 

 

 

 

 

Рис. 14.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем сначала изображение ψ( p)

функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

,

0 < x <

a

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

g ( x) = f ( x), 0 < x <

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 a

 

2a, =

1

 

,

 

< x <

,

 

 

 

 

2

2

 

 

0,

x > 2a

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

+ 2,

 

3a < x < 2a.

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Непосредственным вычислением получаем:

 

 

 

a/2

x

·epxdx + 1

3a/2

 

 

 

 

2a

x

 

 

 

 

 

ψ( p) =

 

epxdx

(

 

2)epxdx =

 

 

 

0

a

2 a/2

 

 

3a/2

a

 

 

 

 

227

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

px

a

 

1 1

 

 

 

 

 

 

3a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

px

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

2

 

 

 

e

px

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

a

 

ap

2

 

 

2 p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

e

px

 

 

 

x

 

 

 

 

1

 

 

 

e

px

2a

 

2

e

px

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

ap

2

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3a

 

 

 

 

 

 

 

 

3a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

ap

1

 

 

 

 

 

ap

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3ap

 

 

 

1

 

ap

 

 

 

2

 

2ap

 

=

 

e

2

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

2 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

2

+

 

 

 

 

 

e

2 +

 

 

 

e

+

2p

ap2

 

 

 

 

ap2

 

 

 

2p

 

2p

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

1

e2ap

 

3

 

 

 

e3ap/2

 

 

 

 

1

 

 

e3ap/2

 

2

e2ap +

 

2

e3ap/2 =

ap2

2 p

 

 

ap2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

(1 e

ap

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 + e2ap e3ap/2 ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ap2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 eap/2 )(1e3ap/2 ) .

 

 

 

 

 

φ( p) =

 

 

 

ψ( p)

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

1e2ap

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ap2 (1e2ap )

 

 

 

 

 

 

 

 

Рекомендуемый перечень задач для решения в аудитории:

14.1([4], № 3 (2,4,6,8)); 14.2 ([4], № 5 (1,7)); 14.3 ([4], № 6 (1,5));

14.4([4], № 7 (1,3)); 14.5 ([4], № 8 (1,5)); 14.6 ([4], № 12 (1,2));

14.7([4], № 13 (1,5)); 14.8 ([4], № 14 (1)); 14.11 ([4], № 37 (4)).

Резерв:

14.2(3,5), 14.3 (4), 14.4 (4), 14.7 (4), 14.9, 14.10, 14.12, 14.13.

Для самостоятельной работы дома:

14.1([4], №3 (нечетные)); 14.2 ([4], №5 (2,8)); 14.3 ([4], №6 (2,6));

14.4([4], №7 (2)); 14.5 ([4], №8 (2)); 14.6 ([4], №12 (4));

14.7([4], №13 (2)); 14.8 ([4], №14 (3)); 14.11 ([4], №37 (5)).

На дом, на усмотрение преподавателя:

14.5([4], № 8 (6,8)); 14.6 ([4], № 12 (2)); 14.7 ([4], № 13 (6)).

228

15.ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

КРЕШЕНИЮ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

a0 y(n) ( x) +a1 y(n1) ( x) +... + an y ( x) = f (x) y(0) = y0 ; y(0) = y1; ... ; y(n1) (0) = yn1.

Заранее будем предполагать, что решение y(x) может быть оригиналом для некоторой функции Y ( p) комплексного перемен-

ного р.

Также будем предполагать, что заданная правая часть уравнения

– функция f (x) имеет своим изображением некоторую функцию F( p) . Поскольку данная задача Коши является линейной, ее реше-

ние является суммой решений двух задач: однородной (при f (x) 0 ) с данными начальными условиями, и неоднородной, у

которой правая часть f (x) 0, а начальные условия все равны ну-

лю. Рассмотрим вначале однородную задачу:

a0 y(n) ( x) +a1 y(n1) ( x) +... +an y( x) = 0 , y(0) = y0 ; y(0) = y1; ... ; y(n1) (0) = yn1.

Для решения этой задачи требуется найти фундаментальную систему решений, состоящую из n линейно независимых решений, каждое из которых ψk (x) (k = 0,1, 2,..., n 1) удовлетворяет данному

уравнению и имеет равными нулю все начальные данные, кроме одного ψk (k ) (0) =1, а

ψk (0) = ψk (0) =.... = ψk (k1) (0) = ψk (k+1) (0) =... = ψk (n1) (0) = 0.

Пусть изображением функции ψk (x) будет функция Yk ( p) , ко-

торая может быть найдена операционным методом. Используя формулу для изображения производной любого порядка из таблицы свойств изображений, получим, умножив уравнение на epx и проинтегрировав по х от 0 до +∞ (т.е. переходя к изображениям по Лапласу):

229

a pn Y ( p)

 

1

 

 

+ a pn1

Y ( p)

1

+... + a

 

 

pk +1

×

 

 

k +1

 

 

 

k +1

n(k +1)

0

 

k

p

 

1

 

 

k

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×

Y ( p)

 

1

 

 

+ a

 

pk ·Y ( p) +... + a

·Y ( p)

= 0,

 

 

 

 

 

k +1

 

nk

 

 

 

 

k

 

 

p

 

 

k

 

 

 

n

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( p) =

 

 

a pn(k +1) + a pn1(k +1) +... + a

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

n(k +1)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a pn

+ a pn1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

+... + a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1

 

 

 

 

n

 

 

 

 

По этому изображению, с помощью обратного преобразования (преобразования Меллина), которое можно свести к вычислению вычетов в особых точках функции Yk ( p) , т.е. в нулях её знаменате-

ля, находим оригинал.

Таким образом, найдем всю фундаментальную систему, состоящую из функций ψ0 (х), ψ1 ( х) ,..., ψn1 ( х) . И решение исходной задачи Коши запишется в виде

n1

y(x) = yk ·ψk (x) ,

k=0

гдеψk (x) функции фундаментальной системы, а yk – постоянные,

являющиеся начальными данными в задаче Коши. Пример 15.1 ([4], № 49 (3)). Решить задачу Коши:

y ''+2 y '+2 y = 0; y(0) = A; y '(0) = B .

Решение. Фундаментальная система состоит из двух решений: y0 (x) , для которого y0 (0) =1; y0 '(0) = 0 , и y1 ( х) , для которого y1 (0) = 0; y1 '(0) =1 . Найдем каждое из них операционным методом.

Для

y

 

( х) :

p2

Y

( p)

1

+

2 p

Y

( p)

1

 

+ 2Y ( p) = 0;

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

p

 

 

0

 

p

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y ( p)

=

 

 

p + 2

 

;

y

(x) = ex (cosx sinx).

 

 

 

 

p2 + 2 p + 2

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

Для

y

 

( х)

: p2[Y ( p)

 

1

] + 2 p[Y ( p)] + 2Y ( p) = 0;

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

p2

 

 

1

1

 

 

230