
Михайлов ТФКП практикум2013
.pdf
|
eax −ebx |
∞ |
dp |
|
∞ |
dp |
|
p −a |
|
∞ |
p −b |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7) |
|
∫p |
|
− |
∫p |
|
= ln |
|
|
|
= ln |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
p −a |
|
p −b |
|
p −b |
|
p |
p −a |
|
|||
|
|
|
|
Пример 14.6 ([4], № 12). Пользуясь теоремой обращения, найти оригиналы, соответствующие изображениям:
1) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
; 2) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; 3) |
|
|
|
|
1 |
; 4) |
|
|
|
|
p |
|
. |
||||||||||||||||
|
( p −1)( p − 2) |
|
|
p2 ( p +1)3 |
|
p( p2 +1) |
( |
p |
2 +1 ( p2 |
+ 4) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
||
Решение. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2) F(p) = |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
p2 ( p +1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x+i∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑res[epx F( p), pk ] = |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
|
· |
|
|
epx F ( p)dp = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πi |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x−∫i∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
epx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
epx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,0 + res |
|
|
|
|
|
|
|
, −1 |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( p +1) |
3 |
|
|
2 |
( p + |
1) |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
= |
d |
|
|
|
|
|
epx |
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
d 2 |
|
|
|
e px |
|
|
|
|
|
|
= x −3 + |
e−x |
|
(x2 + 4x + 6). |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( p +1)3 |
|
|
|
|
|
dp2 |
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dp |
|
|
p=0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
p=−1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4) F(p) = |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
. Можно разложить на дроби: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
p2 +1 ( p2 |
+ 4) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
p |
− |
|
|
|
p |
|
|
1 |
cosx |
− |
1 |
cos2x. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
( p |
2 |
|
+1)( p |
2 |
+ 4) |
3 |
|
p |
2 |
+1 |
p |
2 |
+ |
|
3 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тот же результат можно получить с помощью вычетов:
|
|
|
|
|
|
2 |
p |
|
2 |
|
|
∑ |
|
|
|
|
||
F ( p) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
res[epx F ( p); p = ±i;±2i] = |
|||||||||
( |
p |
|
|
) |
|
|
+4) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+1 ( p |
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
1 |
|
2eix |
|
|
|
+ e−ix |
− |
1 |
|
2e2ix − |
1 e−2ix |
= |
1 cosx − |
1 cos2x. |
|||
2 |
(i2 + 4) |
3 2 |
3 2 |
|||||||||||||||
|
|
2·3 |
|
|
|
|
3 |
3 |
Пример 14.7 ([4], № 13). Используя разложение дробей на простейшие, найти оригиналы:
1) |
p2 +1 |
; |
2) |
p +1 |
; 3) |
1 |
; |
p( p +1)( p +2) |
p2 ( p −1)( p + 2) |
( p −1)2·( p −2)3 |
221
4) |
1 |
; |
5) |
|
|
|
|
5 p +3 |
|
|
; 6) |
|
|
p2 +14 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
( p +1)3·( p +3) |
( |
p −1 |
p2 + 2 p +5 |
) |
( |
p2 |
+ 4 |
) |
( p2 +9) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
)( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
|
A |
|
B |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
|
p2 +1 |
= |
+ |
|
+ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
p( p +1)( p + 2) |
|
p |
|
p +1 |
p + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
p2 +1 = A( p +1)( p + 2) |
|
+ Bp ( p + 2) +Cp( p +1) A = |
1 ; |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 f |
(x) =1 |
|
|
|
5 e−2 x |
|
2 |
|
||||||
|
|
B = −2 ; C = |
−2e−x + |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(по таблице изображений).
3) |
1 |
= |
A |
+ |
B |
|
+ |
C |
+ |
D |
+ |
E |
; |
|
( p −1)2·( p −2)3 |
( p −1)2 |
p −1 |
( p −2)3 |
( p −2)2 |
p −2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 = A( p −2)3 + B( p −1)( p −2)3 +C( p −1)2 + D( p −1)2 ( p −2) + +E( p −1)2 ( p −2)2 .
Полагая p = 1, получим А = –1; полагая p = 2, получим С = 1. Далее приравниваем показатели при одинаковых степенях p
слева и справа:
при р4: 0 = B+E;
при р3: 0 |
= A + B (−7) |
+ D + E (−4 − 2) . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Свободные члены: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = B + E, |
|
|||||
|
1 = −8A +8B +C − |
2D + 4E |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 = −7B + D −6E, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 8B - 2D + 4E |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−8 |
|||||||
|
|
B = −3; D = −2; E = 3. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
f (x) =−xe |
x |
|
3e |
x |
|
|
x2e2 x |
2xe |
2 x |
+3e |
2 x |
|
|||||
Оригинал |
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5) |
|
5 p +3 |
|
|
= |
A |
|
|
+ |
|
Bp +C |
|
; |
|
|
|
|||
( p −1)( p2 + 2 p +5) |
|
p −1 |
|
p2 + 2 p +5 |
|
|
|
5p +3 = A( p2 +2 p +5) +(Bp +C)( p −1)
A =1, B = −1, C = 2;
222
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 p +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
− |
p |
+ |
2 |
|||||||
|
|
|
|
( p −1)( p2 +2 p +5) |
|
|
|
p −1 |
|
( p +1)2 + 4 |
( p +1)2 +4 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
−e−x cos 2x +e−x sin 2x. |
|
||||||||||||||
Пример 14.8 ([4] №14). |
Найти оригиналы: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
3 p |
|
|
|
|
|
= − |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
3 |
·sinx ; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( p |
2 |
+1) |
2 |
|
2 |
|
p |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3) |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
= − |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
' |
|
1 |
1 shax ; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
( p |
2 |
−a |
2 |
) |
2 |
2 |
|
p |
2 |
|
−a |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
p2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
' |
|
|
|
|
x·cosx . |
|
|
|||||||||||||||
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
( p |
2 |
+1) |
2 |
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 14.9 ([4], № 15). Пользуясь теоремой умножения (теоремой о свертке), найти оригиналы:
2) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
; 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
; 6) |
|
1 |
|
. |
|
|
||||||||
( p +1)( p + 2)2 |
( p2 + 4)( p2 +9) |
p2 ( p2 −1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2) Так как |
|
|
|
e−x |
|
и |
|
|
|
|
|
|
xe−2 x , то по теореме о свертке |
||||||||||||||||||||||
p +1 |
|
|
|
( p + |
2)2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫x f1 (τ)· f2 (x −τ)·dτ = F1 ( p)·F2 ( p) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∫xτe−2 τ·e−( x−τ)dτ = |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p +1 |
( p |
+ |
2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= e |
−x |
·∫τ·e |
−τ |
dτ |
= e |
−x |
−τe |
−x |
|
|
|
|
+ ∫e |
−τ |
= e |
−x |
−xe |
−x |
−e |
−x |
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dτ |
|
|
|
|
+1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −xe−2 x −e−2 x +e−x .
|
p2 |
p |
|
p |
|
4) |
|
= |
|
|
|
( p2 + 4)( p2 +9) |
( p2 + 4) |
( p2 +9) |
223
|
x |
cos 3τ·cos 2( x − τ)dτ = |
1 x |
cos(2x + τ) |
+cos(5τ−2x) dτ = |
||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
sin (2x + τ) + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
sin(5τ |
−2x) |
= |
|
sin 3x − |
|
sin 2x + |
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
10 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
sin 3x + |
|
1 |
|
sin 2x = |
3 sin 3x − |
2 sin 2x. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||
6) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
Так как |
1 |
|
|
x , |
а |
|
1 |
|
|
|
shx , |
то |
|
|||||||||
|
p2 ( p2 − |
1) |
|
p2 |
|
p2 −1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
∫sh τ ·( x −τ)dτ= ( x −τ) ch τ |
|
+ ∫ch τ·dτ =−x +sh x . |
||||||||||||||||||||||||||
|
p2 ( p2 −1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пример 14.10 ([4], № 36). |
1) Пусть φ( p) |
|
|
f (x) иψ( p) |
g(x). |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , 0 < x < a |
|
|
|
|
||||||
Показать, |
|
|
что |
|
|
|
|
|
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a < x < b, |
|
то |
ϕ( p) = |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = g(x), |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
x > b, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= e−apψa ( p) |
|
−e−bpψb ( p), |
|
|
где |
ψa ( p) |
– |
|
изображение функции |
||||||||||||||||||||||||
g ( x + a ) |
|
и a > 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Решение. |
Воспользуемся |
теоремой |
запаздывания: |
если |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0, |
(τ > x) |
, |
то fτ |
(x) |
|
e− pτF( p) , где F(p) |
– изображе- |
||||||||||||||||||||||
fτ (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
f ( x − τ), (τ ≤ x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ние функции f (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Представим функцию |
|
f (x) с помощью единичной функции Хе- |
||||||||||||||||||||||||||||||
висайда |
σ0 (x) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = σ0 (x −a)·g(x) − σ0 (x −b)·g(x) . |
|
|
Преобразуем это выражение с целью применения теоремы запаздывания:
f (x) = σ0 ((x − a)·g((x + a) − a) − σ0 (x −b)·g((x +b) −b)
e− pa·ψa ( p) −e− pb ψb ( p) ,
что и требовалось доказать.
224
Пример 14.11 ([4], № 37).
0 , x < 0,
b
4)f (x) = a,
x> a;x +b, 0< x <a 0 ,
Найти изображения функций:
|
|
0 , |
x < 0, |
|
|
|
1 |
|
|
|
− |
x, 0< x < 2a, |
||
5) f (x) = 1 |
a |
|||
|
|
|
x > 2a. |
|
|
|
0 , |
||
|
|
|
|
|
Решение. Представив функцию f (x) |
в виде: |
|||||||||||||||||
|
f (x) = σ0 (x)·(b x +b) − σ0 |
(x −a)·(b (x + a −a) +b) , |
||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
по доказанному в предыдущем примере получим |
||||||||||||||||||
|
|
f (x) |
|
b |
|
+ |
b |
−e−ap ( |
b |
+ |
2b) . |
|||||||
|
|
ap2 |
|
p |
ap2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
||||||
(так как |
b x +b |
a |
b2 |
|
+ |
b |
= |
|
b |
+ |
b |
) . Можно этот результат |
||||||
p2a2 |
|
ap2 |
|
|||||||||||||||
|
a |
b |
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
|
получить, используя непосредственно интеграл Лапласа.
5) Делается аналогично или непосредственно через интеграл
Лапласа. |
Представив |
f (x) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
f |
( |
x |
) |
= σ |
0 ( |
x ·(1− |
|
x |
)−σ |
0 ( |
x −2a ·(1− |
x −2a +2a |
) = |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
a |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
= σ0 (x)·(1− |
x |
)− |
σ0 |
(x −2a)·(−1 |
− |
x −2a |
), |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
F( p) = |
|
− |
|
−e−2ap (− |
− |
). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
ap2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
ap2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 14.12 ([4] №36). |
|
2) Доказать, что, если f (x) – периоди- |
||||||||||||||||||||||||||||||
ческая функция с периодом |
|
2ω |
и |
g (x)= |
f (x), 0 < x < 2ω, |
то |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
0, x > 2ω, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
изображением функции |
f (x) |
|
является функция |
φ( p) = |
|
|
ψ( p) |
|
, |
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
−e−2ωp |
||||||||||||||||||||||||||||||
где ψ( p) |
g (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Доказательство. |
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
g (x)= σ0 (x)· f (x) − σ0 (x − 2ω)· f (x) = |
|
|
|
|
|
225

= σ0 (x)· f (x) −σ0 (x −2ω)· f ((x + 2ω) − 2ω) ,
то ψ( p) = φ( p) −e−2ωp·φ2ω( p) , где φ2ω( p) f (x + 2ω).
Так как для пер иодической функции f (x + 2ω) = f (x) , то φ2ω( p ) = φ( p) , отсюда следует равенство
ψ( p) = φ( p) −e −2ωp φ( p)
и далее |
|
|
ψ( p) |
|
|
φ( p) = |
|
|
. |
||
1 |
−e−2ωp |
||||
|
|
Что и требовалось доказать.
Пр имер 14.13 ([4] № 39 (2, 4)). Найти изображения периодических функций y = f (x) , заданных графиками.
Решение. |
|
|
2) y = f (x) |
(рис. 14.1). Требуется найти изображение φ( p) |
|
функ ции f (x) , |
если найдем изображение ψ( p) функции |
|
|
f ( x), 0 < x < 4a, |
|
|
g ( x) = |
0, x > 4a. |
|
|
Рис. 14.1
Изображение
2a |
4a |
1 |
|
|
ψ( p) = ∫e− pxdx − ∫e− pxdx = |
(e−ap −e−2ap −e−3ap − e−4ap ). |
|||
p |
||||
a |
3a |
|
Искомое изображение периодической функции f (x) по формуле предыдущего примера:
226

f ( x) |
φ( p) = |
|
|
ψ( p) |
= |
|
1 |
−e−4ap |
|||||
|
|
|
=1 (e−ap −e−3ap ) −(e−2ap ) =
p (1−e−4ap )
=1 e−2ap (eap −e−ap ) −e−3ap (eap −e−ap ) = p (e2ap −e−2ap )e−2ap −e−4ap
|
= |
(eap −e−ap )(e−2ap −e−3ap ) = |
|
|||
|
|
pe−2ap 2sh 2ap |
|
|
||
= |
e−2ap 2sh ap·(1 −e−ap ) |
= |
1−e−ap |
. |
||
pe−2ap 4sh ap ch ap |
2 p ch ap |
|||||
|
|
|
4) y = f (x) (рис 14.2). Требуется найти изображение φ( p) периодической функции f (x) с периодом 2а.
|
|
|
|
|
Рис. 14.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем сначала изображение ψ( p) |
функции |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
, |
0 < x < |
a |
, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
||||||||||
g ( x) = f ( x), 0 < x < |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 a |
|
|||||||||
2a, = |
1 |
|
, |
|
< x < |
, |
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||
|
0, |
x > 2a |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
− |
x |
|
+ 2, |
|
3a < x < 2a. |
||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
Непосредственным вычислением получаем: |
|
|
|
|||||||||||||||||
a/2 |
x |
·e− pxdx + 1 |
3a/2 |
|
|
|
|
2a |
x |
|
|
|
|
|
||||||
ψ( p) = ∫ |
|
∫ e− pxdx − |
∫ |
( |
|
−2)e− pxdx = |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
a |
2 a/2 |
|
|
3a/2 |
a |
|
|
|
|
227
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
−px |
a |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
3a |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
−px |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
|
e |
−px |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
a |
|
ap |
2 |
|
|
2 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
e |
−px |
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
e |
−px |
2a |
|
2 |
e |
−px |
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
ap |
2 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3a |
|
|
|
|
|
|
|
|
3a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
−ap |
1 |
|
|
|
|
|
−ap |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
−3ap |
|
|
|
1 |
|
−ap |
|
|
|
2 |
|
−2ap |
|
||||||||||||||||||||
= |
|
e |
2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
e |
2 |
+ |
|
|
|
|
|
e |
2 + |
|
|
|
e |
+ |
||||||||||||||||
2p |
ap2 |
|
|
|
|
ap2 |
|
|
|
2p |
|
2p |
p |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
+ |
|
1 |
e−2ap − |
|
3 |
|
|
|
e−3ap/2 |
|
− |
|
|
|
1 |
|
|
e−3ap/2 − |
|
2 |
e−2ap + |
|
2 |
e−3ap/2 = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ap2 |
2 p |
|
|
ap2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(1 −e− |
ap |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + e−2ap −e−3ap/2 ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ap2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 − e−ap/2 )(1−e−3ap/2 ) . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
φ( p) = |
|
|
|
ψ( p) |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1−e−2ap |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ap2 (1−e−2ap ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рекомендуемый перечень задач для решения в аудитории:
14.1([4], № 3 (2,4,6,8)); 14.2 ([4], № 5 (1,7)); 14.3 ([4], № 6 (1,5));
14.4([4], № 7 (1,3)); 14.5 ([4], № 8 (1,5)); 14.6 ([4], № 12 (1,2));
14.7([4], № 13 (1,5)); 14.8 ([4], № 14 (1)); 14.11 ([4], № 37 (4)).
Резерв:
14.2(3,5), 14.3 (4), 14.4 (4), 14.7 (4), 14.9, 14.10, 14.12, 14.13.
Для самостоятельной работы дома:
14.1([4], №3 (нечетные)); 14.2 ([4], №5 (2,8)); 14.3 ([4], №6 (2,6));
14.4([4], №7 (2)); 14.5 ([4], №8 (2)); 14.6 ([4], №12 (4));
14.7([4], №13 (2)); 14.8 ([4], №14 (3)); 14.11 ([4], №37 (5)).
На дом, на усмотрение преподавателя:
14.5([4], № 8 (6,8)); 14.6 ([4], № 12 (2)); 14.7 ([4], № 13 (6)).
228
15.ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
КРЕШЕНИЮ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
a0 y(n) ( x) +a1 y(n−1) ( x) +... + an y ( x) = f (x) y(0) = y0 ; y′(0) = y1; ... ; y(n−1) (0) = yn−1.
Заранее будем предполагать, что решение y(x) может быть оригиналом для некоторой функции Y ( p) комплексного перемен-
ного р.
Также будем предполагать, что заданная правая часть уравнения
– функция f (x) – имеет своим изображением некоторую функцию F( p) . Поскольку данная задача Коши является линейной, ее реше-
ние является суммой решений двух задач: однородной (при f (x) ≡ 0 ) с данными начальными условиями, и неоднородной, у
которой правая часть f (x) 0, а начальные условия все равны ну-
лю. Рассмотрим вначале однородную задачу:
a0 y(n) ( x) +a1 y(n−1) ( x) +... +an y( x) = 0 , y(0) = y0 ; y′(0) = y1; ... ; y(n−1) (0) = yn−1.
Для решения этой задачи требуется найти фундаментальную систему решений, состоящую из n линейно независимых решений, каждое из которых ψk (x) (k = 0,1, 2,..., n −1) удовлетворяет данному
уравнению и имеет равными нулю все начальные данные, кроме одного ψk (k ) (0) =1, а
ψk (0) = ψ′k (0) =.... = ψk (k−1) (0) = ψk (k+1) (0) =... = ψk (n−1) (0) = 0.
Пусть изображением функции ψk (x) будет функция Yk ( p) , ко-
торая может быть найдена операционным методом. Используя формулу для изображения производной любого порядка из таблицы свойств изображений, получим, умножив уравнение на e− px и проинтегрировав по х от 0 до +∞ (т.е. переходя к изображениям по Лапласу):
229
a pn Y ( p) − |
|
1 |
|
|
+ a pn−1 |
Y ( p) − |
1 |
+... + a |
|
|
pk +1 |
× |
|||||||||||
|
|
k +1 |
|
|
|
k +1 |
n−(k +1) |
||||||||||||||||
0 |
|
k |
p |
|
1 |
|
|
k |
|
p |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
× |
Y ( p) − |
|
1 |
|
|
+ a |
|
pk ·Y ( p) +... + a |
·Y ( p) |
= 0, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
k +1 |
|
n−k |
|
||||||||||||||||
|
|
|
k |
|
|
p |
|
|
k |
|
|
|
n |
k |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p) = |
|
|
a pn−(k +1) + a pn−1−(k +1) +... + a |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Y |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n−(k +1) |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
a pn |
+ a pn−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
+... + a |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
По этому изображению, с помощью обратного преобразования (преобразования Меллина), которое можно свести к вычислению вычетов в особых точках функции Yk ( p) , т.е. в нулях её знаменате-
ля, находим оригинал.
Таким образом, найдем всю фундаментальную систему, состоящую из функций ψ0 (х), ψ1 ( х) ,..., ψn−1 ( х) . И решение исходной задачи Коши запишется в виде
n−1
y(x) = ∑yk ·ψk (x) ,
k=0
гдеψk (x) – функции фундаментальной системы, а yk – постоянные,
являющиеся начальными данными в задаче Коши. Пример 15.1 ([4], № 49 (3)). Решить задачу Коши:
y ''+2 y '+2 y = 0; y(0) = A; y '(0) = B .
Решение. Фундаментальная система состоит из двух решений: y0 (x) , для которого y0 (0) =1; y0 '(0) = 0 , и y1 ( х) , для которого y1 (0) = 0; y1 '(0) =1 . Найдем каждое из них операционным методом.
Для |
y |
|
( х) : |
p2 |
Y |
( p) |
− |
1 |
+ |
2 p |
Y |
( p) − |
1 |
|
+ 2Y ( p) = 0; |
||||
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
p |
|
|
0 |
|
p |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Y ( p) |
= |
|
|
p + 2 |
|
; |
y |
(x) = ex (cosx −sinx). |
||||||||
|
|
|
|
p2 + 2 p + 2 |
|||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
Для |
y |
|
( х) |
: p2[Y ( p) − |
|
1 |
] + 2 p[Y ( p)] + 2Y ( p) = 0; |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
p2 |
|
|
1 |
1 |
|
|
230