
Михайлов ТФКП практикум2013
.pdf
|
|
|
|
J −e2πpi J = −2πipeπpi |
|
a p−1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(a |
|
+1)p+1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
J = − |
|
a p−1 |
|
|
|
|
|
|
2πpieπpi |
= − |
|
|
|
a p−1 |
|
|
|
2πpi 2isin πp |
= |
|||||||||||||||||
|
|
(a +1) p+1 |
|
1−e2πpi |
(a +1) p+1 |
|
4sin2 πp |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
a p−1 |
|
|
|
|
|
|
|
πp |
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a +1) p+1 |
|
sin πp |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Пример 13.15 ([3], № 4.185). Вычислить интеграл |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 (1+ x)1−p (1− x) p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx (−1 < p < 2). |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Решение. |
|
Рассмотрим |
интеграл |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
∫ |
(1+ z)1−p (1− z) p |
|
dz, где |
|
|
контур |
С пред- |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1+ z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ставлен на рис. 13.8. Выделим ветви, яв- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ляющиеся |
аналитическим |
продолжением |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
подынтегральной функции с верхнего бе- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
рега разреза. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Как видно из рисунка, на верхнем бере- |
|
|
|
|
Рис. 13.8 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
гу разреза arg(1 + z) = 0, |
|
|
arg(1 − z) = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
(1+ z)1−p |
= e(1−p)Ln (1+z) |
= e(1−p)(ln |
|
|
1+z |
|
+i arg(1+z)+i2πk ) |
|
z=x |
= (1+ x)1−p k = 0, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
выделенная ветвь имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
(1+ z)1−p =e(1−p)(ln |
|
1+z |
|
+i arg(1+z)) ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
(1−z)p =epLn(1−z) |
=ep(ln |
|
1−z |
|
+i arg(1−z)+i2πk) |
z=x |
|
=(1−x)p k =0, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
выделенная ветвь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(1− z) p = ep(ln |
|
1−z |
|
+i arg(1−z)) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Внутри контура интегрирования подынтегральная функция имеет две особые точки z = ±i – полюсы первого порядка. Вычислим вычеты в них.
В точке z = i |
|
z +1 |
|
= |
2 (рис 13.9): |
Рис. 13.9 |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
1− z |
|
= |
2 |
; |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
201

|
|
arg(z +1) = φ = |
π |
, |
|
|
|
|
|
|
arg(1− z) = φ |
|
|
|
= − |
|
π |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e(1−p)(ln |
|
2 +i |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ep(ln |
2 −i |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
(1+ z)1−p |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
, |
|
|
|
|
|
|
(1− z)p |
|
|
|
|
|
|
|
4 ) , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
res[ f (z),i] = |
|
φ |
= |
|
(1+ z)1−p (1− z) p |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
1−p |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
e(1−p)(ln 2 +i |
|
|
) |
e p(ln 2 −i |
|
|
|
) |
|
|
2 2 |
|
|
|
|
ei |
|
|
(1−p) |
2 |
|
e−i |
|
|
|
p |
|
22 |
|
ei |
|
e−i |
|
|
p |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
4 |
|
4 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
В точке z = −i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
z +1 |
|
= |
|
1− z |
|
= 2 ; |
|
|
|
|
|
|
φ = − |
π |
, |
|
|
φ |
2 |
|
|
= − |
7π |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7π |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
(1+ z)1−p |
|
|
|
|
|
|
|
|
= e(1−p)(ln |
|
|
2 −i 4 ) |
, |
|
|
|
|
|
(1− z) p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ep(ln |
|
2 −i |
4 ) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z=−i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=−i |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
7 π |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
φ |
|
|
|
(1+ z)1−p (1− z) p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e(1−p)(ln |
2 −i |
|
|
) ep(ln |
|
2 −i |
|
|
) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
res[ f (z), −i] = |
|
= |
|
|
|
|
= |
|
4 |
|
4 |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ψ′ |
|
|
|
|
|
|
|
2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=−i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1−p |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
7 π |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 2 |
e−i |
|
(1−p) 2 |
|
|
e−i 4 |
|
p |
|
22 e |
−i |
|
|
|
e−i |
|
|
2 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Интеграл равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2πi ∑ res[ f (z), zk ] = 2πi[ 2 |
|
|
ei |
|
|
e−i |
|
p |
|
|
2 |
|
e−i |
|
|
e−i |
|
p |
] = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
4 |
2 |
|
− |
2 |
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k =1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
πp |
|
|
|
|
π |
3πp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= π 2 (ei |
|
|
−i |
|
−e−i |
|
−i |
|
|
2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажем, что интегралы по малым окружностям при стремлении их радиуса ρ к нулю, обращаются в 0. Рассмотрим интеграл по
окружности |
с |
центром |
в |
точке |
z = −1 . |
Обозначим |
|
z +1 =ρ eiφ1 |
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
z = −1+ρ eiφ1 |
; |
dz =ρieiφ1 dφ |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−p |
(1 |
− z) |
p |
|
|
2π ρ1−p |
|
2 −ρ eiφ1 |
|
p |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∫ |
(1+ z) |
|
|
dz |
≤ |
∫ |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
ρ dφ |
= |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1+ z2 |
|
|
|
|
|
|
|
1+ρ 2ei2φ1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
||||||
|
Cρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
202
|
2π |
|
2 −ρ eiφ1 |
|
p |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
= ρ 2−p |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dφ |
→ 0, |
∫ |
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
1+ρ 2ei2φ1 |
1 |
|
||||||
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
при ρ1 → 0 , так как p < 2 .
Аналогично доказывается обращение в 0 интеграла по малой окружности с центром в точке z =1 .
Вычислим интеграл по большой окружности радиуса R:
∫ |
(1+ z)1−p (1− z)p |
dz = −2πi res[ f (z),∞]. |
|
|
|||
1 |
+ z2 |
||
CR |
|
|
|
Выделим главный |
член подынтегральной функции f ( z) при |
||
z →∞ . Так как |
z = ∞ есть правильная точка этой функции, то |
можно рассмотреть поведение этой функции при z →∞ , например, на действительной положительной полуоси. Здесь (см. рис. 13.8)
|
|
|
|
|
|
1−p |
|
|
|
(1−p)(ln |
|
1+z |
|
+iφ1 ) |
|
|
|
|
1−p |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
(1+ z) |
|
= e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=x = |
(1+ x) |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ep(ln |
|
1−z |
|
+iφ2 ) |
|
|
φ1 |
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
(1− z)p |
|
|
|
z=x |
= (x −1)p e−iπp . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ2 =−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, при |
z →∞ главный |
член |
подынтегральной |
|||||||||||||||||||||||||||||||
функции имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
f (z) = |
|
(1+ z)1−p (1− z) p |
|
~ |
e−iπp |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ z |
2 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
разложение функции |
f ( z) в ряд Лорана в точке z = ∞ начинается |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
с члена |
e−iπp |
|
c |
−1 |
= e−iπp |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
(1+ z)1−p |
(1− z) p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−iπp |
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1+ z |
2 |
|
|
|
dz = −2πi (−c−1) = 2πie |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
CR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Интеграл по верхнему берегу разреза есть искомый интеграл J. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдем интеграл по нижнему берегу разреза: |
|
1+ z |
|
=1+ x ; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
arg(1 + z) = 0 ; |
|
1− z |
|
=1− x ; arg(1 − z) = −2π |
|
(см. |
|
рис. 13.8); |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
(1+ z)1−p = (1+ x)1−p ; (1− z) p = (1− x) p e−2πpi |
и, следовательно, инте- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
грал по нижнему берегу равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
203

−1 |
(1+ x)1−p (1− x) p e−2πpi |
|
−2πpi |
|
|
∫ |
|
|
dx = −e |
|
J . |
1+ x |
2 |
|
|||
1 |
|
|
|
|
Приравнивая интегралы, вычисленные обоими способами, получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
πp |
|
|
π |
|
|
3πp |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
J −e−2πpi J + 2πie−iπp = 2π(ei |
|
|
−i |
|
|
|
−e−i |
|
|
−i |
2 ) , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
πp |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
3πp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π(ei |
|
|
−i |
|
|
|
|
|
|
−e−i |
|
−i |
|
|
|
) −2πie−iπp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = |
|
|
|
|
4 |
2 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−e−2πpi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
πp |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
3πp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
[ 2π(ei |
|
|
|
−i |
|
|
|
|
−e−i |
|
|
−i |
|
2 ) −2πie−iπp ] (1−e2πpi ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
4 |
|
|
2 |
4 |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1−e−2πpi )(1−e2πpi ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
π πp |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
3πp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
3πp |
|
|
|
|
|
|
|
π |
πp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2π(ei |
|
−i |
|
|
|
|
−e−i |
|
|
−i |
|
|
|
−ei |
|
|
+i |
|
|
|
+e−i |
|
+i |
|
|
) +2πi(eπpi −e−πpi ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
4 |
2 |
4 |
2 |
|
|
4 |
2 |
|
|
4 |
|
2 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −2cos 2πp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
πp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
3πp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2π |
|
2cos( |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
) −2cos( |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
) +2πi 2isin πp |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4sin2 |
πp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2πsin( |
π |
+ |
|
πp |
)sin πp −πsin πp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin( |
π |
|
+ |
πp |
) −1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= π |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 πp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin πp |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
[ |
|
|
|
|
2( |
|
|
|
|
2 |
sin |
πp + |
|
|
|
2 |
cos |
πp ) −1] = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin πp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
(sin |
πp |
|
+cos πp |
|
−1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin πp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Пример |
13.16 |
|
|
|
|
|
|
|
([3], |
|
|
|
|
|
№ |
|
|
|
4.186). |
|
|
|
|
|
Вычислить |
|
интеграл |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(x +1) 3 x2 (1− x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Решение. |
Рассмотрим |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
где |
|
контур |
|
С пред- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
(z +1) 3 z2 (1 − z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ставлен на рис. 13.10.
204

Точки ветвления подынтегральной функции z = 0 и z = 1. Они удалены внутренним контуром. Поэтому разделение
функции 3 |
z2 (1− z) на однозначные ана- |
|
||||||||||
литические |
|
функции в |
рассматриваемой |
|
||||||||
области (внутри контура интегрирования |
|
|||||||||||
C) возможно. Выделим ветвь, являющую- |
|
|||||||||||
ся аналитическим продолжением с дейст- |
Рис. 13.10 |
|||||||||||
вительной оси (с верхнего берега разреза). |
||||||||||||
|
||||||||||||
Пусть z = |
|
z |
|
ei arg z =ρ eiφ1 ; |
1− z = ρ |
eiφ2 |
. Тогда |
|
||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 z2 (1 − z) = |
3 ρ |
2ρ |
|
ei |
2φ1 +φ2 +2 πk |
|||
|
|
|
|
2 |
|
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(k = 0,1, 2) (по определению корня). На верхнем берегу разреза:
φ1 = 0, φ2 = 0, ρ1 = x,
ρ2 =1 − x 3 x2 (1− x)ei |
2πk |
|
|
|
|
|
|
3 = 3 x2 (1 − x) k = 0 . |
|||||
|
|
|
|
ei |
2φ1 +φ2 |
|
Интегрируется ветвь 3 z2 (1 − z) = |
3 ρ 2ρ |
2 |
3 |
. |
||
|
|
1 |
|
|
|
Внутри контура C подынтегральная функция имеет одну особую точку z = –1 – полюс первого порядка. Вычислим вычет в этой точ-
ке. В ней ρ1 =1, |
φ1 =π, |
ρ2 =2, |
φ2 |
= 0 . Следовательно, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 3 2 ei |
2π |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 z2 (1− z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z=−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
e−i |
2π |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
res[ f (z),−1] = lim f (z) (z +1) = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||
3 z2 (1−z) |
|
|
|
3 2 |
|||||||||||||||||||
|
|
z→−1 |
|
|
|
|
|
z=−1 |
|
|
|
|
|||||||||||
Интеграл равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫ |
|
dz |
|
|
= 2πi res[ f (z), −1] = |
2πi |
e |
−i |
2π |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 . |
|
|
|||||||||||||
|
3 z |
2 |
|
|
3 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||
C (z +1) |
|
(1− z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим интеграл по составным частям контура С. Покажем, что интегралы по малым окружностям радиуса ρ и по большой окружности радиуса R стремятся к нулю при ρ → 0 и R → ∞ , соот-
ветственно. По окружности с центром в z = 0 :
205

|
dz |
|
|
|
2π |
|
|
|
|
iρeiφdφ |
|
|
|
||
∫ |
|
|
|
|
≤ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
(z +1) 3 z2 (1− z) |
(ρeiφ +1) 3 ρ2e2iφ(1−ρeiφ) |
||||||||||||||
Cρ |
|
0 |
|
|
|||||||||||
|
1 |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
dφ |
|
|
|
||
|
= ρ3 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
→0 |
|
|
|||
|
ρeiφ +1 |
|
|
|
3 e2iφ(1−ρeiφ) |
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при ρ → 0 . По малой окружности радиуса ρ с центром в точке z = 1
обозначим 1− z = ρeiφ, |
z =1−ρeiφ, dz = −ρieiφdφ: |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
2π |
|
|
ρdφ |
|
|
||||
|
∫ |
|
|
≤ ∫ |
|
|
|
= |
||||||||
|
(z +1) 3 z2 (1− z) |
|
(2 − |
ρeiφ) 3 ρeiφ(1−ρeiφ)2 |
|
|||||||||||
|
Cρ |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
dφ |
|
|
|
|
|
|
= ρ3 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ 0 |
|
|
|
|
|
2 −ρeiφ |
|
|
|
3 |
eiφ(1−ρeiφ)2 eiφ |
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при ρ → 0 . Интеграл |
|
по |
|
большой |
окружности, на которой |
|||||||||||||
z = Reiφ , |
dz = Rieiφdφ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
dz |
|
2π |
|
|
|
Rieiφdφ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
≤ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
(z +1) 3 z2 (1− z) |
(R eiφ +1) |
3 R2e2iφ(1− R eiφ) |
||||||||||||||||
|
CR |
|
0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
= |
1 |
2∫π |
|
|
|
|
|
|
dφ |
|
→0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
R 0 |
|
eiφ + R−1 |
|
|
3 e2iφ(R−1 −eiφ) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при R → ∞ . Интеграл по верхнему берегу разреза есть искомый интеграл J.
Найдем интеграл по нижнему берегу разреза. Здесь: z = х,
|
1− z |
|
=1− х , |
arg z = φ = 2π, |
arg(1− z) = φ |
2 |
= 0 |
, |
3 |
z2 (1− z) = |
|||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 x2 (1− x) ei |
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 интеграл по нижнему берегу равен |
|
|
||||||||||||||
0 |
|
|
−i |
4π |
|
|
4π 1 |
|
|
|
|
|
|
4π |
|||
|
dx e 3 |
= −e−i |
dx |
|
|
|
= −e−i |
||||||||||
|
|
|
∫ |
|
3 ∫ |
|
|
|
3 J . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 (x +1) 3 x2 (1− x) |
|
0 |
(x +1) 3 x2 (1− x) |
|
|
|
206

Приравнивая интеграл, вычисленный через вычет, интегралу по составным частям контура, получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J −e−i |
4π |
|
2πi |
|
e−i |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
J = |
|
|
|
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
2πie−i |
2π |
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πi(e−i |
2π |
2π |
|
|
|||||||||||||
J = |
2πi |
|
|
e−i 3 |
|
= |
|
|
3 (1−ei 3 ) |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
3 −ei |
3 ) |
= |
|
||||||||||||||||||||||||
3 2 |
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
3 2(2 −2cos 4π) |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1−e−i |
3 |
|
|
3 2(1−e−i 3 )(1−ei |
3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2πi 2isin |
|
|
|
π |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 2 2sin2 2π |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
Пример 13.17 ([3], № 4.190). |
Вычислить интеграл |
∫0 |
ln xdx |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 +a2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(a > 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
|
|
Рассмотрим |
C∫ |
|
ln zdz |
, |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
z2 +a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
контур С представлен на рис. 13.11. Ин- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
тегрируется |
|
|
|
ветвь |
|
|
|
|
|
логарифма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Lnz = ln |
|
z |
|
+iφ |
(k = 0) . Внутри контура С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
одна особая точка z = ia |
– полюс первого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 13.11 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
порядка. Вычет равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lnia |
|
|
|
|
ln a +i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
res[ f (z),ia] |
= |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ia |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Интеграл равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ia |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln zdz |
|
|
|
|
ln a +i |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2πi |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
ln a +i |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C∫z |
2 |
+ a |
2 |
|
2ia |
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим интегралы по составным частям контура С. Интегралы по малой радиуса ρ и большой радиуса R окружностям обращаются в 0 при ρ → 0 и R → ∞ соответственно. Оценим интеграл по
малой полуокружности, где z =ρeiφ, ln z = ln ρ + iφ :
207
|
|
|
|
|
ln zdz |
|
|
0 |
|
(ln ρ+iφ)ρieiφdφ |
|
|
|
π |
|
ln ρ+iφ |
|
ρdφ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
||||||||
|
|
|
z |
2 |
+ a |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
e |
2iφ |
+a |
2 |
|
|
|
|
|
|
ρ |
2 |
e |
2iφ |
+a |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
dφ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ ρln ρ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
e |
2iφ |
+ a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
при ρ → 0, так как limρln ρ = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Интеграл по большой полуокружности при z = R eiφ : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ln zdz |
|
|
|
0 |
|
(ln R +iφ)Rdφ |
|
|
|
R ln R |
π |
|
|
|
dφ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
∫ |
|
|
|
2 |
|
2iφ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→0 |
|||||||||
z |
2 |
+a |
2 |
|
|
|
e |
+a |
|
|
|
|
R |
2 |
|
e |
2iφ |
+a |
2 |
R |
−2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
CR |
|
|
|
|
|
π |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
при R → ∞, так как lim ln R = |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R→∞ |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл по положительной действительной полуоси при ρ → 0
и R → ∞ даст искомый интеграл J. |
Интеграл по отрицательной |
|||||||||||||||
действительной полуоси: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
(ln |
|
x |
|
+iπ)dx |
∞ |
(ln x +iπ)dx |
|
||||||||
|
|
|
||||||||||||||
ln z = ln |
x |
+iπ, ∫ |
= ∫ |
. |
||||||||||||
x |
2 |
+ a |
2 |
x |
2 |
+ a |
2 |
|||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
0 |
|
|
|
Приравниваем интегралы, вычисленные обоими способами:
J + J +∞∫ |
|
iπdx |
|
= |
πln a + |
π |
i |
π |
. |
x |
2 |
2 |
a |
2 |
|||||
0 |
+a |
|
|
a |
|
|
Приравниваем действительные части слева и справа:
2J = |
π |
ln a , |
J = |
πln a |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
|
2a |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∞ |
|
2 |
xdx2 , |
Пример 13.18 ([3], № 4.191). Вычислить интеграл ∫ln2 |
|
|||||||
(a > 0). |
|
|
|
0 |
x |
+a |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Рассмотрим ∫ln2 |
2 zdz2 , контур С тот же, что и в приме- |
||||
C z |
+a |
||||
ре 13.17. Выделяется та же |
ветвь логарифма ln z = ln |
|
z |
|
+i arg z . |
|
|
Внутри контура точка z = ia – полюс первого порядка.
208

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
2 |
|
|
|
ln |
2 |
zdz |
|
|
|
2πi ln a +i |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
∫ |
|
= 2πi res[ f (z),ia] = |
|
|
|
|
|
= |
||||||||
z |
2 |
+a |
2 |
|
|
|
|
2ia |
|
|
||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
ln2 a + πi ln a − |
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
a |
4 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегралы по составным частям контура С. Аналогично предыдущему примеру показывается, что интегралы по малой полуокружности радиуса ρ и по большой полуокружности радиуса R обращаются в 0 при ρ → 0 и R → ∞ соответственно.
Интеграл по отрицательной действительной полуоси
0 |
(ln |
|
x |
|
+iπ)2 dx |
|
|
0 |
ln2 |
|
x |
|
dx |
|
|
0 |
ln |
|
x |
|
dx |
|
0 |
|
|
dx |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2πi ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− π2 ∫ |
|
|
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
+ a |
2 |
|
|
x |
2 |
+ a |
2 |
|
|
x |
2 |
|
+ a |
2 |
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
−∞ x |
+ a |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
ln |
|
x |
|
dx |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ ln2 |
|
xdx2 +2πi ∫ |
|
|
|
|
−π2 ∫ |
|
|
dx |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
|
+a |
|
|
|
|
|
−∞ x |
|
+a |
|
|
|
|
|
|
−∞ x |
+a |
|
|
|
Приравниваем интеграл, вычисленный через вычет, интегралам по составным частям контура:
0 |
ln |
|
x |
|
dx |
0 |
dx |
|
π |
|
π |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
2J + 2πi |
|
|
|
|
|
− π2 |
= |
ln2 a + πi ln a − |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
−∞∫ x2 + a2 |
−∞∫ |
x2 + a2 |
|
a |
|
4 |
|
Приравниваем действительные части слева и справа, имея в виду, что
0 |
|
dx |
|
|
|
π |
3 |
|
|
|
|
|
π |
|
π |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
−π2 ∫ |
|
|
|
= − |
|
, J = |
|
ln2 a + |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
2 |
|
2a |
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
−∞ x |
+ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8a |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
ln xdx |
|
|
|
||
Пример 13.19 ([3], № 4.192). Вычислить интеграл ∫ |
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x(x |
|
+a |
) |
|
|
|
Решение. Рассмотрим |
∫ |
|
ln zdz |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z (z |
2 |
+a |
2 |
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где контур С представлен на рис. 13.12. Выделяем ветвь, как обычно, аналитическим продолжением с действительной оси
( x > 0) :
Рис. 13.12
Lnz = ln z +i arg z +i2πk .
209

На положительной действительной полуоси
|
z |
|
= x, |
arg z = 0, |
Ln z |
|
|
z=x>0 =ln x +i2πk = ln x k = 0 . |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ветвь ln z = ln |
|
z |
|
+iφ; |
|
|
|
|
|
|
|
ei |
φ+2πk |
|||||||||
|
|
z = |
|
z |
|
2 (k = 0,1) . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
На действительной положительной полуоси |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x eiπk = x k = 0 . |
|||||||||||
|
|
|
|
z |
|
= x, φ = 0, |
z |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iφ |
|
|
|
z=x>0 |
|
|||||||
Ветвь z = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ρe |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окружностью радиуса ρ с центром в начале координат выводим точку ветвления z = 0 из внутренности контура интегрирования, поэтому выделение однозначной ветви возможно.
Внутри контура одна особая точка подынтегральной функции
z = ia (a > 0) – полюс второго порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ia + |
5 |
z |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
ln z |
|
|
|
|
z +ia −ln z |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
res[ f (z),ia] = lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||
dz |
|
z (z +ia)2 |
|
|
|
|
|
|
|
z z (z +ia)3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z→ia |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=ia |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
||||||||
|
2ia −3ia ln a +i |
|
|
|
2 |
−3ln a −i |
|
π |
2 −3ln a −i |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
=ie |
−i 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|||||
ia aei |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aei |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8a3 |
a |
|
||||||||||||
|
4 |
|
(2ia)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 8i3a3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Интеграл по контуру С равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
π |
|
2 −3ln a −i |
3π |
−πe−i |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
−2πe |
−i |
|
2 |
|
2 −3ln a −i |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
8a |
3 |
a |
|
|
4a |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим интегралы по составным частям контура С. Интеграл по действительной положительной полуоси при ρ → 0
и при R → ∞ превращается в искомый интеграл J. Интеграл по отрицательной действительной полуоси равен
0 |
|
(ln |
|
x |
|
+iπ)dx |
∞ |
(ln x +iπ)dx |
∞ |
dx |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
= −i J + π∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
ei |
π |
i x(x |
2 |
+ a |
2 |
) |
2 |
x(x |
2 |
+ a |
2 |
) |
2 |
|||||||||
−∞ |
x |
2 |
(x2 + a2 )2 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
210