
Михайлов ТФКП практикум2013
.pdf
13. ИНТЕГРИРОВ АНИЕ МНОГ ОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ1
При вычислении и нтегралов от многозначных функций необходимо убедиться, что в области, охватываемой контуром интегрирования, возможно выделение однозначных аналитических ветвей подынтегральной функции. Далее вы деляется и интегрируется та ветвь этой функции, которая является аналитическим продолжением с действительной оси.
В следующих прим ерах вычислить интегралы.
Пр имер 13.1 ([3], № 4.165).
∞ |
(a > 0; 0 < p <1) |
∞ |
(a > 0; −1 < p <1). |
∫ x p−1 cos axdx |
и ∫ x p−1 sin axdx |
||
0 |
|
0 |
|
Решение. Воспользуемся интегралом: ∫ z p−1 e−az , где С – кон-
C
тур, изображенный на рис. 13.1. У многозначной функции z p−1 = e( p−1)Lnz выделим однозначную ветвь, являющуюся аналити-
ческим продолжением с действительной оси функции x p−1 e−ax :
z p−1 e−az = e( p−1)Lnz e−az = = e( p−1)(ln z +iφ+i2πk ) e−az
(k = 0, ±1, ±2...).
На |
действительной |
положительной |
|
|||||
полуоси z = x > 0 , ln |
|
z |
|
= ln x , φ = 0 , от- |
|
|||
|
|
|
||||||
куда следует, что интегрировать надо |
|
|||||||
ветвь при k = 0 : |
e( p−1)lnz e−az . Точки ветв- |
Рис. 13.1 |
||||||
ления |
функции |
z p−1 e−az |
– это z = 0 и |
z = ∞ , что позволяет внутри данного контура выделить эту ветвь и использовать для ее интегрирования основную теорему теории вычетов:
∫ f (z)dz = 2πi∑res[ f (z), zk ],
C k
1 При н едостатке часов это занятие можно рассматривать как факультативное.
181

где zk – изолированные особые точки функции f(z), находящиеся внутри контура C. Так как внутри контура в нашем случае таких точек нет, то интеграл равен 0.
Рассмотрим этот интеграл как сумму интегралов по составным частям контура. Интеграл по отрезку действительной оси (z = x;
dz = dx) :
I1 = ∫R x p−1e−axdx .
ρ
При ρ→0 и R →∞ этот интеграл превращается в несобственный интеграл
∞∫x p−1e−axdx .
0
Интеграл по мнимой положительной полуоси (z = iy; dz = idy )
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
π |
|
|
|
|
I2 = ∫e( |
p−1 ln |
iy |
|
|
|
|
|
(p−1) ln y+i |
|
e−aiydy = |
|
|
|
) ( |
|
) e−aiyidy = i∫e |
|
2 |
|||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
π |
ρ |
|
|
|
π |
|
π |
ρ |
|
|
|
|
= iei |
|
(p−1)∫y p−1 e−iay dy = i e−i |
|
ei |
|
p ∫y p−1 (cos ay −isin ay)dy = |
|||||||
2 |
2 |
2 |
|||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
πR
=ei 2 p ∫y p−1 (cos ay −i sin ay)dy .
ρ
Обозначим стоящие здесь интегралы при ρ→0 и R →∞ :
∞∫y p−1 cos aydy = |
∞∫x p−1 cos axdx = J1 , |
0 |
0 |
∞ |
∞ |
∫y p−1 sin aydy = ∫x p−1 sin axdx = J2 .
0 0
Докажем, что интегралы по малой и большой дугам при ρ→0 и R →∞ обращаются в ноль (на малой дуге z = ρeiϕ , на большой дуге z = Reiφ ).
|
∫z p−1 e−az dz |
|
= |
∫0 |
(ρeiφ )p−1 e−aρ(cos φ+i sin φ) ρieiφdφ |
≤ |
|
|
|
||||||
|
Cρ |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
182

ππ
≤∫2 ρp−1e−aρcos φ ρdφ≤ρp ∫2 dφ→0
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
при ρ→0 , так как 0 < p <1. |
Интеграл по большой дуге |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∫ z p−1 e−az dz |
= |
∫2 (Reiφ )p−1 e−aR(cos φ+i sin φ) Rieiφdφ |
≤ |
||||||||||||
|
CR |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
2φ |
|
π |
|
aR2φ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
−aR 1− |
|
|
||||||||
≤ Rp ∫e−aR cos φ dϕ≤ Rp |
∫e |
|
π dφ = Rp e−aR ∫e |
π dφ→0 |
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
(так как cos φ ≥1− |
2φ |
) при R →∞ |
(за счет экспоненты). |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма интегралов по всем четырем частям контура равна нулю, поэтому получаем равенство
∞π ∞
∫x p−1 e−axdx −ei 2 p ∫y p−1 (cos ay −isin ay)dy = 0 ;
|
0 |
|
|
0 |
||
|
π |
π |
|
π |
|
|
здесь ei |
2 p = cos |
p +i sin |
p ; первый интеграл заменой ax = t сво- |
|||
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
дится к гамма-функции Эйлера:
|
|
∞ |
|
p−1 |
|
dt |
|
|
Г(p) |
|
|||
|
|
∫ |
t |
e−t |
= |
|
, |
||||||
|
|
|
p−1 |
|
a |
|
p |
||||||
Г(p) |
0 |
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|||
|
π |
|
|
|
π |
|
(J1 −iJ2 )= 0 . |
||||||
|
|
− cos |
|
|
p |
+isin |
|
|
|
p |
|||
a |
p |
|
2 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Приравнивая нулю отдельно действительную и мнимую части выражения, стоящего в левой части, получаем
Г(p) |
−cos |
π |
|
p J1 −sin |
π |
p J2 |
= 0, |
||||
|
a p |
2 |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
||
|
|
−sin |
|
p J1 +cos |
p J2 |
= 0. |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
183
Из этой системы получаем
|
|
Г(p) cos |
π |
p |
|
|
Г(p) sin |
π |
p |
||
|
J1 = |
2 |
|
J2 = |
2 |
||||||
|
|
|
|
; |
|
|
. |
||||
|
|
a p |
|
|
a p |
|
|
||||
Второй |
интеграл |
сходится в более широких пределах по р: |
|||||||||
p (−1;1), |
так как |
подынтегральная |
функция |
|
в интеграле |
||||||
∞∫x p−1 sin axdx в нуле эквивалентна |
x p−1ax = ax p , что обеспечивает |
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходимость интеграла на нижнем пределе при p > −1 . |
|
|
|||||||||
Пример 13.2 ([3], № 4.166). |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
(p >1). |
|
|
|
|
|
|
|
∫cos x p dx |
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Заменой xp =t сводится к интегралу J1 предыдущего примера.
Пример 13.3 ([3], № 4.167).
Решение. Аналогично примеру 13.2.
∞ sin x p |
|
1 |
Пример 13.4 ([3], № 4.168). ∫0 x p |
dx , p > |
2 . |
Решение. Аналогично предыдущим примерам. Применим свой-
ство гамма-функции
Г (x)= (x −1) Г (x −1).
При p =1
∞∫sin xdx = |
π |
, |
|
|
|||
0 |
x |
2 |
|
вычислялся ранее как интеграл от однозначной функции по лемме Жордана (см. (12.3)):
∞ sin x |
|
1 |
+∞ eix |
|
|
1 |
|
|
|
eiz |
|
|
π |
|
||
∫ |
|
dx = |
|
Im ∫ |
dx = |
|
Im |
πires |
|
|
,0 |
= |
|
. |
||
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
x |
|
2 |
−∞ x |
|
|
2 |
|
|
|
z |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 13.5 ([3], № 4.170). |
∫0 |
dx |
(0 < p <1). |
|
|
|
||||||||||
x p (x +1) |
|
|
|
184

Решение. Выберем контур интегрирования С, как показано на рис. 13.2. Точку z = 0 как точку ветвления обходим контуром радиуса ρ. Внутри контура у подынтегральной функции одна особая точка z = –1 (полюс первого порядка). Интегрируется та ветвь функции zр, которая является анали-
тическим продолжением функции хр с по- Рис. 13.2 ложительной действительной полуоси (по рисунку с верхнего берега разреза, где аргумент равен 0, на нижнем берегу этого же разреза аргумент равен 2π):
C∫ |
dz |
= 2πi res[f (z), −1]= |
2πi |
= |
2πi |
= |
2πi |
= 2πie |
−iπp |
. |
z p (z +1) |
(−1)p |
epln(−1) |
epiπ |
|
Этот же интеграл по составным частям контура: интегралы по больш ой и малой окружностям обращаются в 0 при ρ→0 и R →∞ :
|
|
|
|
dz |
|
|
= |
0 |
iρeiφdφ |
|
≤ |
|
|
1 2π |
|
|
dφ |
→ 0 , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
C∫ρ |
z p (z +1) |
|
|
2∫π (ρeiφ )p |
(ρeiφ +1) |
|
ρp−1 ∫0 |
|
ρeiφ +1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при ρ→0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
dz |
|
|
|
2π |
iReiφdφ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2π |
dφ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
→ 0 . |
||
z |
p |
(z +1) |
(Reiφ ) |
p |
(Reiφ +1) |
|
R |
p−1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
CR |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
R −1 при R→∞ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл по верхнему берегу разреза (искомый интеграл):
R |
|
|
∞ |
|||
∫ρ |
dx |
ρR→→→∞0 |
∫0 |
dx |
= J . |
|
xp (x +1) |
xp (x +1) |
|||||
Интеграл по нижнему |
берегу разреза, где z p = ep(ln x+2 πi) = |
= x p e2πip ,
ρ |
dx |
|
|
∫R |
= e |
−2πip |
|
x p e2πip (x +1) |
|
ρ |
dx |
→ −e−2πip |
∞ |
dx |
. |
|
∫R |
∫0 |
|||||
x p (x +1) |
ρR→→∞0 |
x p (x +1) |
|
Складывая интегралы по частям контура и приравнивая их сумму значению, полученному с помощью вычетов, получим
J −e−2πip J = 2πie−iπp ,
185

J = |
2πie−iπp |
|
2πie−iπp (1−e2πip ) |
|
|
2πi (e−iπp −eiπp ) |
||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|||||
1−e−2πip |
(1−e−2πip )(1−e2πip ) |
2 −e−2πip −e2πip |
||||||||||||||||
= |
|
−2πi 2isin πp |
= 2πsin πp = |
|
|
|
|
π |
. |
|
||||||||
|
|
|
2 −2cos 2πp |
|
|
2sin2 πp |
sin πp |
|
|
|||||||||
Пример 13.6 ([3], № 4.172). |
∞∫ |
x pdx |
|
(−1 < p <1). |
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Выберем контур С, показанный |
||||||||||||||
|
|
|
|
на рис. 13.3, и выделим однозначную ветвь |
||||||||||||||
|
|
|
|
функции |
z p = epLnz = ep(ln |
|
z |
|
+iφ+i2πk ) , взяв k = 0 , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
что соответствует аналитическому продол- |
||||||||||||||
Рис. 13.3 |
|
жению функции хр с действительной поло- |
||||||||||||||||
|
жительной полуоси. Внутрь контура попада- |
ет одна особая точка подынтегральной функции z = i – полис первого порядка.
∫ |
z pdz |
= 2πi res[f (z),i]= 2πi |
i p |
= |
|
2 |
2i |
||||
C 1+ z |
|
|
|
||
|
|
= πeplni = πepi |
π |
|
|
|
|
2 . |
|
|
Покажем, что интегралы по малой и большой полуокружностям обращаются в ноль при ρ→0 и R →∞ .
На малой полуокружности z = ρeiφ , dz = ρieiφdφ :
|
|
|
|
|
|
|
|
(ρeiφ )p ρieiφdφ |
|
|
|
|
p+1 |
π |
dφ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2iφ |
|
|
|
|
≤ ρ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
→ 0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
e |
2iφ |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
1+ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
+ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при ρ→0 , так как (−1 < p <1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(Reiφ )p Rieiφdφ |
|
|
|
R p+1 |
π |
|
|
|
|
|
p−1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
2 |
|
2iφ |
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
|
∫dφ = πR |
|
|
|
→ 0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
e |
|
|
|
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
CR |
|
|
+ R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
при R →∞ . Интегралы по промежуткам действительной оси |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R |
p |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
p |
|
|
|
|
|
−ρ |
|
p(ln |
|
x |
|
+iπ) |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
p |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∫ |
x |
|
dx |
→J |
= |
∫ |
x |
|
dx |
; |
∫ |
e |
|
|
|
|
|
|
2 dx |
→eiπp ∫ |
|
|
x |
|
dx |
= eiπp |
J . |
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
1+ x |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
ρ 1+ x |
|
|
|
0 |
1+ x |
|
|
|
−R |
|
|
|
|
|
|
0 |
1+ x |
|
186

Приравняем интегралы, полученные непосредственно и с помощью вычетов:
i π p
J = πe 2
1+eiπp
J +eiπp J
π
πei 2 p (1+e−iπp )
= (1+eiπp )(1+e−iπp )=
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= πei 2 p ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
i |
π |
p |
|
−i |
π |
p |
|
|
π |
|
|
|
π e 2 |
+e |
|
2 |
|
|
π2cos |
p |
|
||||
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|||
2 +eiπp +e−iπp |
|
2 +cos πp |
||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
||
= |
πcos |
2 p |
= |
π |
|
. |
||
|
|
|
|
|||||
|
2cos2 |
π |
p |
|
2cos |
π p |
||
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
Пример 13.7 ([3], № 4.176). Вычислить главное значение инте-
грала ∞∫ xdx4 .
0 x −1
Решение. Воспользуемся утверждением (см. [3], № 4.175), полезным и для решения других примеров: если рациональная функ-
ция f (z) |
имеет на положительной части действительной оси по- |
||||||||||||
люсы лишь первого порядка β1 |
, β2 ,..., βm , а среди других ее особых |
||||||||||||
точек α1, |
α2 ,..., αn нет равной нулю и |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
p+1 |
|
|
|
p+1 |
|
|
= 0 , |
||
|
|
|
limz→0 z |
|
|
f (z) |
= limz→∞ z |
|
f (z) |
||||
то, если р – целое число, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∞ |
x p f (x)dx = − n res z pLn z f (z) |
|
|
|
|
|||||||
|
∫ |
− |
|
|
|||||||||
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
k =1 |
|
|
|
|
|
z=αk |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∑βkp (ln βk + πi) res[f (z)]z=βk . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, взяв контур, представ- |
|
|||||||||||
ленный на рис. 13.4, и рассмотрев вспомога- |
|
||||||||||||
тельный интеграл ∫z pLn z f (z)dz , получим |
|
||||||||||||
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 13.4 |
z pLn z f (z)dz = 2πi |
∑ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
res z pLn z f (z) |
|
|
|
|||||||
С |
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
z=αk |
|
187

(для краткости записи на рисунке взята одна точка βk =β). Рас-
сматривая это же интеграл как состоящий из суммы интегралов по составным частям контура, получим:
интеграл по дуге большой окружности радиуса R, на которой
z = Reiφ, Ln z =ln R +iφ, |
dz = Rieiφdφ: |
|||||||
|
∫ z pLn z f ( z)dz |
|
≤ 2∫π R p |
|
ln R +iφ |
|
f (Reiφ ) Rdφ→0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
СR |
|
|
0 |
|
|
|
|
при R →∞ ;
интеграл по дуге малой окружности радиуса ρ с центром в начале координат:
∫ z p Ln z f ( z)dz ≤ 2∫πρp ln ρ+iφ f (ρeiφ )ρdφ → 0 |
|
Сρ |
0 |
при ρ→0 .
Интеграл по верхнему берегу разреза, где arg z = 0 , равен
+∞
∫ x p ln x f ( x)dx ,
0
интеграл по нижнему берегу разреза, где arg z = 2π, равен
0
∫ x p (ln x + 2πi) f ( x)dx
+∞
и, следовательно, сумма этих интегралов равна
0
2πi ∫ x p f ( x)dx .
+∞
Осталось вычислить интегралы по верхней и нижней дугам окружности радиуса ρ с центром в точке β. Так как по условию β – полюс первого порядка, то f ( z) в окрестности этой точки пред-
ставима в виде
f (z) = ψ'(β) (z −φz(0z))+o(z − z0 ) .
Интеграл по верхней дуге равен
188
∫ |
z p (ln |
|
|
z |
|
+iarg z)f (z)dz = |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сверх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=(z *)p (ln |
|
z * |
|
|
|
|
|
+i arg z *) |
∫ |
f (z)dz → |
|
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z*→β |
|
|||
(по теореме о среднем) |
Сверх |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
→ βp ln β lim |
∫ |
|
|
|
|
φ(z)dz |
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ψ'(β) (z |
− z0 ) |
+o(z − z0 ) |
||||||||||||||||||||||||
z*→β |
z*→β |
С |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
верх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= −βp lnβ πi res f (z) |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=β |
|
|
|
|
|
||
Интеграл по нижней дуге равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∫ |
z p (ln |
|
|
|
|
z |
|
+i arg z )f (z )dz = |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сниж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (z **)p (ln |
|
z ** |
|
+i arg z **) |
∫ |
f (z )dz → |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z**→β |
|||
(по теореме о среднем) |
Сниж |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
→ βp (ln β+2πi) πi res f |
(z) |
=β |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
z**→β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
Из этих соотношений и получаем заявленную формулу. В нашем примере:
|
|
|
p =1; |
|
f (x)= |
|
|
|
1 |
|
|
; |
β=1 . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x4 −1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
φ |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Далее: |
res |
f (z),1 = |
= |
|
|
Особые |
точки внутри контура: |
||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ψ' |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
α1 = i, α2 |
= −i, |
α3 |
= −1 – полюсы первого порядка. Вычеты в них: |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i ln1 |
+i |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
res z ln z f (z) |
= |
φ |
= |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
= −iπ |
, |
|||||||||||||||
|
ψ' |
|
|
|
4i3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
z=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−i |
|
|
+ |
3π |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln1 |
|
|
|
|
i |
|
|||||||||
|
res z ln z f (z) |
|
= |
φ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
= −3πi , |
||||||||||||
|
|
ψ' |
|
|
|
|
4(−i)3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
z=−i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
||||||||||||||||
|
res z ln z f (z) |
= |
|
φ |
= |
−1(ln1+iπ) |
= iπ |
, |
|||||||||||||||||||||
|
|
ψ' |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z=−1 |
|
|
|
|
|
4(−1)3 |
4 |
|
189
∑ |
res |
f |
(z) = − |
iπ |
. |
||||
|
|||||||||
|
|
|
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя в указанную формулу, получим: |
|||||||||
∞ xdx |
|
|
iπ |
|
iπ |
||||
∫0 |
|
= |
|
− |
4 = 0 . |
||||
x4 −1 |
4 |
Для сравнения вычислим главное значение интеграла непосред-
ственно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∞ |
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
1−ε |
xdx |
|
|
|
∞ |
|
xdx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
V.P. ∫ |
|
|
|
|
|
= lim |
∫ |
|
|
|
|
|
+ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||
x |
4 |
−1 |
x |
4 |
−1 |
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
ε→0 |
0 |
|
|
|
1+ε |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1−ε)2 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
= limε→0 12 |
∫0 |
|
|
dt |
|
+ |
|
∫ |
|
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
t2 −1 |
( |
) |
t2 −1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+t |
|
|
|
(1−ε)2 |
|
|
|
|
|
|
1+t |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
= lim −ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
ε→0 |
|
|
|
|
1−t |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−t |
|
|
|
|
1+ε |
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
||
|
1−(1 −ε)2 |
|
|
1+(1 +ε)2 |
|
|
|
|
|
(2ε−ε2 )( |
2+2ε+ε2 ) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
= lim ln |
|
|
|
|
= lim ln |
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 +(1−ε)2 |
|
|
|
|
|
(2 −2ε+ε2 )(−2ε−ε2 ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ε→0 |
|
|
1 −(1+ε)2 |
|
|
|
|
ε→0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(2 −ε)(2 + 2ε+ |
ε2 ) |
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= lim ln |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ε→0 |
|
|
|
(2 − 2ε+ ε2 )(2 + ε) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 13.8 ([3], № 4.177). Вычислить главное значение инте-
∞ x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
грала ∫0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x4 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
∞ x2dx |
|
1 +∞ |
x2dx |
|
||
Решение. |
|
|
∫0 |
|
= |
2 −∞∫ |
|
= |
|
|||
|
|
x4 −1 |
x4 −1 |
|
||||||||
= |
1 |
2πi res[f (z),i]+ πi res[f (z), −1]+ πi res[f (z),1] |
, |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где f (z) |
= |
z |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
z4 |
−1 |
|
|
f (z) имеет полюс первого поряд- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Во всех этих точках функция |
ка, и вычет можно вычислить по формуле φ/ψ́:
190