
Михайлов ТФКП практикум2013
.pdf12. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
+∞
Рассмотрим интегралы вида ∫ f (x)dx . Если функция f (x) , за-
−∞
данная на всей действительной оси, может быть аналитически продолжена на верхнюю полуплоскость Im z > 0 и ее аналитическое продолжение, функция f (z) , удовлетворяет следующим условиям:
f (z) аналитична всюду в полуплоскости Im z > 0 , за исключением
конечного числа изолированных особых точек; существуют такие положительные числа R, M и δ , что для всех точек верхней полуплоскости, удовлетворяющих условию | z |> R , имеет место оценка
|
| f (z) |< |
M |
, |
(12.1) |
|
1+δ |
|||
|
|
| z | |
|
|
|
|
|
+∞ |
|
Тогда несобственный интеграл первого рода ∫ f (x)dx |
сущест- |
|||
|
|
|
−∞ |
|
вует и равен: |
|
|
|
|
+∞ |
|
N |
|
|
∫ |
f (x)dx = 2πi∑res[ f (z), zk ] , |
(12.2) |
||
−∞ |
|
k =1 |
|
где zk – особые точки функции f (z) в верхней полуплоскости.
В следующих примерах вычислить интегралы по бесконечному промежутку.
Пример 12.1 ([3], № 4.140).
+∞ |
|
|
xdx |
|
|
∫ |
|
|
|
. |
|
(x |
2 |
+ 4x +13) |
2 |
||
−∞ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Решение. Обратим внимание на то, что данный интеграл легко вычисляется и без применения методов ТФКП, а именно: выделив в скобках в знаменателе полный квадрат и сделав замену перемен-
ной (x + 2)2 = t , получим
−∞ |
|
|
xdx |
|
|
1 |
|
dt |
+∞ |
|
|
dx |
|
|
∫ |
|
|
|
= |
∫ |
−2 ∫ |
|
|
|
= |
||||
(x |
2 |
+4x +13) |
2 |
2 |
t +9 |
(x |
2 |
+4x +13) |
2 |
|||||
+∞ |
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
171

|
|
= |
1 ln( x2 |
+ 4x + |
13) |
|
+∞ − 2 |
∫ |
|
dt |
|
= |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
(t |
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
+ 9) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t= x+2) |
+∞ |
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|||
|
t |
|
|
1 |
|
|
t |
|
|
|
|
x +2 |
|
|
|
1 |
|
|
x +2 |
|
|||||
= − |
|
|
− |
|
|
arctg |
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
arctg |
|
|
= |
||
9(t2 |
+9) |
27 |
3 |
|
9(x2 +4x +13) |
|
|
27 |
3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
−∞ |
= − 27π .
Получим этот результат с помощью вычетов (формула (12.2)). Указанная формула применима, так как подынтегральная функция удовлетворяет всем перечисленным выше условиям. Найдем ее особые точки, приравняв нулю знаменатель
z2 + 4z +13 = 0 z1,2 = −2 ± 4 −13 = −2 ±3i .
В верхней полуплоскости находится одна из этих точек z1 = −2 +3i (полюс второго порядка).
res[ f (z), z |
] = lim |
|
d |
[ f (z)(z − z )2 ] = lim |
|
d |
[ |
|
z |
] = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
z→z1 dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
z→z1 dz (z − z2 )2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= |
|
z1 + z2 |
|
|
|
= |
|
|
|
−4 |
|
= − |
1 |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
Откуда |
(z2 − z1)3 |
(−6i)3 |
54i |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
||
|
∫ f (x)dx = 2πi res[ f (z), z1] = − |
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 12.2 ([3], № 4.142). |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(n – натуральное число). |
||||||||||||||||||||
|
(x |
2 |
+ |
1) |
n |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Так как подынтегральная функция четная, то |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
+∞ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∫ |
|
|
|
= |
|
∫ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
(x |
2 |
|
|
n |
2 |
|
(x |
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
+1) |
|
|
|
|
|
−∞ |
+ |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Убедившись в применимости формулы (12.2), имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||
+∞ |
|
|
+∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ |
f (x)dx = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2πi res[ f (z),i] , |
||||||||||||||||||||
|
(x |
2 |
+1) |
n |
|
|||||||||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
172

где f (z) = |
1 |
– аналитическое продолжение подынтеграль- |
|
(z2 +1)n |
|||
|
|
ной функции на верхнюю полуплоскость, а точка i – единственная особая точка этой функции в верхней полуплоскости (полюс п-го порядка). Тогда
res[ f (z),i] = |
|
|
1 |
|
|
lim |
|
d n−1 |
[ f (z)(z −i)n ] = |
|
1 |
|
|
lim |
|
d n−1 |
× |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dzn−1 |
(n |
−1)! |
|
dzn−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n −1)! z→i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(z −i)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
n−1 |
n(n +1)...(2n |
−2) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
× |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(z −i)n (z +i)n |
|
|
(n |
−1)! |
|
|
|
|
|
|
|
(z +i)2n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
(−1)n−1n(n +1)...(2n −2) |
= |
n(n +1)...(2n −2) |
|
|
( n >1 ), |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(n −1)!22n−1i2n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22n−1i(n −1)! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
dx |
|
|
|
1 |
∞ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πn(n +1)...(2n −2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
(x |
2 |
+1) |
n |
2 |
|
(x |
2 |
+ |
1) |
n |
|
|
|
|
|
|
2 |
2n−1 |
(n −1)! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 3 5...(2n −3) |
|
|
|
|
|
π |
|
( n >1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 6...(2n −2) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
(так как 2n−1 (n −1)! = (2n − 2)!! = 2 4 6 8...2n − 2 ). При n =1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 12.3 ([3], № 4.144). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+∞ |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
x |
dx = |
|
|
∫ |
|
|
x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
+1 |
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ x |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Корни |
|
знаменателя |
|
|
|
|
|
подынтегральной |
|
функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = 4 −1 = ± |
1 |
|
|
(1±i) . |
|
Из |
|
четырех |
корней |
|
|
два: |
z |
= |
|
|
|
1 |
(1+i) и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z2 = |
|
1 |
(−1+i) |
|
(полюсы первого порядка) находятся в верхней по- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
луплоскости:
173

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zk2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
res[ f (z), z |
|
] = |
|
|
φ |
|
= |
= − |
1 |
(z2 |
+1)z |
|
; |
||||||||
|
|
|
|
|
4zk2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
ψ' |
z=zk |
|
4 |
k |
|
|
|
k |
|
||||
+∞ x2 +1 |
|
|
1 |
2πi{res[ f (z), z ] + res[ f (z), z |
|
|
]} = |
||||||||||||||
|
|
dx = |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∫ x4 +1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
πi |
|
[(1+i)2 |
+(−1+i)(1−i)] = |
π |
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление интегралов вида ∫ eiax f (x)dx |
основывается на |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
применении леммы Жордана: |
если функция |
f (x) , |
заданная на |
всей действительной оси, может быть продолжена на верхнюю полуплоскость Im z > 0 , и ее аналитическое продолжение f (z) имеет
в верхней полуплоскости лишь конечное число изолированных
особых точек, равномерно относительно arg z (0 ≤ arg z ≤ π) |
стре- |
|
мится к нулю при | z |→ ∞, тогда при a > 0 |
|
|
+∞ |
n |
|
∫ eiax f (x)dx = 2πi∑res[eiaz f (z), zk ] , |
(12.3) |
|
−∞ |
k =1 |
|
где zk – особые точки функции |
f (z) в верхней полуплоскости. |
Если к тому же функция f (z) имеет полюсы первого порядка
на действительной оси, то интеграл существует в смысле главного значения и равен
|
+∞ |
|
|
|
∫ eiax f (x)dx = |
|
|
|
−∞ |
(12.4) |
|
n |
N |
||
|
|||
= 2πi∑res[eiaz f (z), zk ] + πi ∑ res[eiaz f (z), zm ], |
|
||
k=1 |
m=1 |
|
где zk (k =1, 2,...,n) – особые точки в верхней полуплоскости, zm ( m =1, 2,..., N ) – особые точки на действительной оси. Интегралы типа
+∞ |
+∞ |
∫ sin ax f (x)dx и |
∫ cos ax f (x)dx , |
−∞ |
−∞ |
174
где f (x) удовлетворяет перечисленным требованиям, сводятся к
предыдущим, так как
+∞ +∞
∫ sin ax f (x)dx = Im ∫ eiax f (x)dx ,
−∞ |
−∞ |
+∞ |
+∞ |
∫ cos ax f (x)dx = Re ∫ eiax f (x)dx .
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В следующих примерах вычислить интегралы. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 12.4 ([3], № 4.149). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
x cos xdx |
|
|
|
|
+∞ |
|
|
xsin xdx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
и |
∫ |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
−2x +10 |
|
|
−∞ |
|
−2x +10 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. Представим данные интегралы в виде |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
I |
|
|
= |
|
+∞ |
|
|
|
x cos xdx |
|
|
|
= Re |
+∞ |
|
|
|
xeixdx |
|
, |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −2x +10 |
|
|
|
x2 |
−2x +10 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
x sin xdx |
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
xeixdx |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
I2 |
|
= |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Im |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −2x + |
10 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 2x +10 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
xeixdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Рассмотрим |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
Условия леммы Жордана выпол- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
−2x +10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zeiz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
нены. Особые точки функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– полюсы первого по- |
||||||||||||||||||||||||||||
z2 −2z +10 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рядка: |
z1,2 =1±3i . Одна из них |
|
|
z1 =1+3i |
лежит в верхней полу- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно формуле (12.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
+∞ |
xeixdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zeiz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πi(1+3i)ei(1+3i) |
|||||||||||
∫ |
|
|
|
|
= 2πires[ |
|
|
|
, z1] = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 −2x +10 |
|
z2 −2z +10 |
2(1+3i) −2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2πi(1+3i)e−3ei |
2π |
e |
−3 |
(1+3i)(cos1+i sin1) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
+6i − |
2 |
= |
6 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
= |
|
πe−3 |
|
[cos1−3sin1+i(sin1+3cos1)] . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
175

Здесь мы применили формулу Эйлера eiφ = cos φ + i sin φ . Отсюда получаем искомые интегралы:
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
xeixdx |
|
|
|
|
|
|
|
πe−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
I |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
= Re |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
(cos1−3sin1) ; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x2 |
−2x +10 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
xeixdx |
|
|
|
|
|
|
|
πe−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
I2 |
= Im |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
(sin1 +3cos1) . |
|
||||||||||||||||
|
|
x2 |
− 2x + |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
cos |
ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 12.5 ([3], № 4.151). |
|
|
∫ |
|
|
dx |
(a и b – положитель- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x +b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ные числа). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Так как подынтегральная функция четная, то |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
cos ax |
|
|
|
|
1 |
|
+∞ |
cos |
|
ax |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+∞ |
|
iax |
dx |
|
|
|
|||||||||||||||
∫ |
|
dx |
= |
|
∫ |
|
dx = |
|
Re ∫ |
|
e |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 2 |
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
x +b |
|
|
|
2 |
|
−∞ x +b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ x |
|
+b |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
В верхней полуплоскости одна особая точка z0 =ib |
(полюс пер- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вого порядка): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eiaz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
res[ f (z), z ] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2z |
|
|
z=ib |
2bi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
+∞ |
|
e |
iax |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
−ab |
|
|
|
+∞ |
|
e |
iax |
dx |
|
||||
∫ |
|
|
= 2πires[ f (z), z0 ] = |
e |
= Re |
|
∫ |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x2 +b2 |
b |
|
|
|
|
|
x2 |
+b2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому искомый интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
cos ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
e−ab . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+b |
2 |
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ eitx
Пример 12.6 ([3], № 4.154). −∫∞ x dx .
eitz
Решение. У функции z в верхней полуплоскости особых то-
чек нет, на действительной оси – одна особая точка z0 = 0 – полюс первого порядка. Согласно формуле (12.4) при t > 0 имеем
176

+∞ eitx |
eitz |
|
|
|
|||
|
|
dx = πires |
|
, z0 |
|
= πi |
|
−∞∫ x |
z |
||||||
|
|
|
|
(так как вычет равен 1). При t < 0 сделаем замену t → −t . Тогда
+∞ |
e |
itx |
−∞ |
e |
−itx |
+∞ |
e |
i|t|x |
|
∫ |
|
dx = ∫ |
|
dx = − ∫ |
|
dx = −πi . |
|||
|
x |
|
x |
|
x |
||||
−∞ |
|
+∞ |
|
−∞ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(Можно и сразу использовать лемму Жордана применительно к нижней полуплоскости.)
+∞ dx
Наконец, при t = 0 получаем −∫∞ x . Подынтегральная функция нечетная, и поэтому главное значение интеграла равно нулю.
Пример 12.7 ([3], № 4.156).
+∞ |
|
|
sin xdx |
|
+∞ |
|
|
eixdx |
|
∫ |
|
|
|
= Im ∫ |
|
|
. |
||
(x |
2 |
+4)(x |
−1) |
(x |
2 |
+4)(x −1) |
|||
−∞ |
|
−∞ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
eiz
Решение. Функция (z2 +4)(z −1) имеет в верхней полуплоско-
сти полюс первого порядка в точке z = 2i и на действительной оси полюс первого порядка в точке z = 1 .
|
|
|
res[ f (z),2i] = |
|
φ |
|
|
|
|
|
= |
|
e−2 |
|
|
|
= |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
ψ' |
z=2i |
2 2i(2i −1) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
e−2 (−2i −1) |
|
|
= |
(−2i −1)e−2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
4i(2i −1)(−2i |
−1) |
|
20i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(здесь в качестве φ(z) |
мы взяли функцию |
|
eiz |
|
|
, а в качестве ψ(z) |
|||||||||||||||||||||
|
z − |
1 |
|||||||||||||||||||||||||
функцию z2 +4 ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eiz |
|
|
|
ei |
|
|
|
||||||
res[ f (z),1] = lim f (z)(z −1) = lim |
|
|
|
= |
= |
cos1+i sin1 |
; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
5 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z→1 |
|
|
|
|
|
z→1 z2 +4 |
|
|
||||||||||||||
+∞ |
|
|
sin xdx |
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
eixdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
|
|
|
|
|
|
= Im ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
=Im{2πires[ f (z),2i] + |
||||||||||||
(x |
2 |
+4)(x |
−1) |
(x |
2 |
+4)(x −1) |
|||||||||||||||||||||
−∞ |
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
177

|
2πi |
e−2 |
(−2i −1) |
+ πi |
cos1 +i sin1 |
|
= |
+πires[ f (z),1]} = Im |
|
20i |
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
πe−2 |
+ |
πcos1 |
= π(cos1−e−2 ) . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пример 12.8 ([3], № 4.157). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
costxdx |
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
| x |
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
e |
i|t|x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
= ∫ |
|
cos | t |
dx = Re ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 + x |
3 |
|
|
1 + x |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
1 + x |
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. Особые точки функции |
|
|
ei|t|z |
|
|
|
: |
|
|
|
z |
= −1 – на действи- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ z3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
тельной |
|
оси |
(полюс |
первого порядка). Далее |
|
|
z2 − z +1 = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
2,3 |
= |
1 |
|
±i |
|
3 |
. Из двух точек одна |
z |
2 |
= 1 |
|
+i |
|
|
3 |
|
|
находится в верх- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ней полуплоскости (полюс первого порядка): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ei|t|z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
−i|t| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, z1 |
|
|
φ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
res |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + z3 |
|
ψ' |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1=−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
i|t| |
1 |
|
+i |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|t| 3 |
|
i|t| |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i|t|z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
4e |
|
2 |
e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
res |
|
|
|
|
|
, z2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3(−2 +2 3i) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ z3 |
|
|
|
|
|
|
|
+i |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
−|t| 3 |
|
|
|
|
| t | |
|
|
|
|
| t | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−|t| 3 |
|
|
|
|
| t | |
|
|
|
|
|
|
|
| t | |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2e |
|
2 |
|
cos |
|
|
|
|
+i sin |
|
|
|
|
|
|
2e |
|
|
2 |
|
cos |
|
|
|
|
|
+i sin |
|
|
|
|
(−1 |
−i 3) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3(−1+i |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
costx |
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
e |
i|t|x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
dx = Re ∫ |
|
|
= Re(2πires |
z2 +πires |
z1 ) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + x3 |
1+ x3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
−|t| 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= Re[ |
πi |
|
|
(cos |
| t | |
+i sin |
| t | |
)(−1−i |
3) |
+ |
πi |
|
(cos | t | −i sin | t |)] = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
e |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
178

|
π |
− |
|t| 3 |
|
| t | |
|
|
t |
|
|
π |
|
|
= |
|
e |
2 |
|
(sin |
|
+ |
3 cos |
|
) |
+ |
|
sin | t | . |
3 |
|
2 |
2 |
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 12.9 ([3], № 4.160). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
∞ |
|
sin axdx |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
(a > 0,b |
> 0) . |
||||
|
|
|
x(x2 +b2 ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Так как подынтегральная функция четная, то
|
|
|
|
|
∞ |
sin axdx |
|
|
|
|
1 |
+∞ sin axdx |
|
|
|
|
1 |
|
|
+∞ |
|
|
eiaxdx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
Im |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x(x |
2 |
+b |
2 |
) |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
+b |
2 |
) |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
+b |
2 |
) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Далее |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
−∞ x(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ x(x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+∞ |
|
|
eiaxdx |
|
|
= 2πires |
|
|
|
eiaz |
|
|
|
|
|
|
,ib + πires |
|
|
|
eiaz |
|
|
|
|
,0 = |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−∞∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x(x2 +b2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z(z2 +b2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z(z2 +b2 ) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2πi |
e−ab |
+πi |
|
1 |
|
= − |
πe−ab i + |
|
πi |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ib 2ib |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
sin axdx |
|
= |
1 |
Im − |
πe−ab |
i + |
πi |
|
= |
|
π |
|
|
(1 −e−ab ) . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x(x |
+b |
) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Пример 12.10 ([3], № 4.162). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ cos 2ax −cos 2bx dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ cos 2ax −cos 2bx |
|
|
|
|
|
|
1 |
+∞ cos 2ax −cos 2bx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+∞ |
e |
i2ax |
−e |
i2bx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
i2az |
|
−e |
i2bz |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
Re |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
Re πires |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,0 |
|
= |
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
1 |
|
|
|
|
πi lim |
ei2az −ei2bz |
|
|
|
|
= |
1 |
Re πi (i2a −i2b) = π(b − a) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
Re |
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
z |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
179

Пример 12.11 ([3], № 4.164).
∞ |
3 |
xdx = |
|
+∞ |
3 |
xdx . |
∫ sin3 |
1 |
∫ |
sin3 |
|||
0 |
x |
|
2 |
−∞ |
x |
|
Решение. Воспользуемся тригонометрической формулой sin3 x = 14 (3sin x −sin 3x) .
Тогда
|
1 |
∞ |
sin |
3 |
x |
|
|
|
1 |
+∞ |
3sin x −sin 3x |
|
|
|
1 |
+∞ |
3e |
ix |
−e |
i3x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∫ |
|
dx |
= |
∫ |
dx = |
Im ∫ |
|
|
dx |
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
x |
3 |
|
|
8 |
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
8 |
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
+∞ |
|
ix |
|
|
i3x |
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iz |
|
|
i3z |
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
3e |
|
|
−e − |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
3e −e −2 |
|
|||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= |
8 Im |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx + |
|
= |
8 Im πires |
|
|
|
|
|
|
,0 |
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
z3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= |
1 |
Im |
|
πi lim |
|
3eiz −ei3z −2 |
|
= |
1 |
Im (πi |
3) = |
3 |
π |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
z→0 |
|
z |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ 2
(предел можно взять, например, по правилу Лопиталя), −∫∞ x3 dx = 0
– главное значение интеграла.
Рекомендуемый перечень задач для решения в аудитории:
[3] № 4.149, 4.151, 4.154, 4.156, 4.157, 4.160, 4.162.
Резерв:
[3] № 4.140, 4.142, 4.163, 4.164.
Для самостоятельной работы дома:
[3] № 4.143, 4.144, 4.150, 4.152, 4.155, 4.158, 4.159.
На усмотрение преподавателя:
[3] № 4.141, 4.161, 4.163.
180