Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Михайлов ТФКП практикум2013

.pdf
Скачиваний:
1614
Добавлен:
05.06.2015
Размер:
3.91 Mб
Скачать

12. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

+∞

Рассмотрим интегралы вида f (x)dx . Если функция f (x) , за-

−∞

данная на всей действительной оси, может быть аналитически продолжена на верхнюю полуплоскость Im z > 0 и ее аналитическое продолжение, функция f (z) , удовлетворяет следующим условиям:

f (z) аналитична всюду в полуплоскости Im z > 0 , за исключением

конечного числа изолированных особых точек; существуют такие положительные числа R, M и δ , что для всех точек верхней полуплоскости, удовлетворяющих условию | z |> R , имеет место оценка

 

| f (z) |<

M

,

(12.1)

 

1+δ

 

 

| z |

 

 

 

 

+∞

 

Тогда несобственный интеграл первого рода f (x)dx

сущест-

 

 

 

−∞

 

вует и равен:

 

 

 

 

+∞

 

N

 

f (x)dx = ires[ f (z), zk ] ,

(12.2)

−∞

 

k =1

 

где zk – особые точки функции f (z) в верхней полуплоскости.

В следующих примерах вычислить интегралы по бесконечному промежутку.

Пример 12.1 ([3], № 4.140).

+∞

 

 

xdx

 

 

 

 

 

.

(x

2

+ 4x +13)

2

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Обратим внимание на то, что данный интеграл легко вычисляется и без применения методов ТФКП, а именно: выделив в скобках в знаменателе полный квадрат и сделав замену перемен-

ной (x + 2)2 = t , получим

−∞

 

 

xdx

 

 

1

 

dt

+∞

 

 

dx

 

 

 

 

 

=

2

 

 

 

=

(x

2

+4x +13)

2

2

t +9

(x

2

+4x +13)

2

+∞

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

171

 

 

=

1 ln( x2

+ 4x +

13)

 

+∞ 2

 

dt

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t

2

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

+ 9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t= x+2)

+∞

 

 

 

 

 

 

+∞

 

t

 

 

1

 

 

t

 

 

 

 

x +2

 

 

 

1

 

 

x +2

 

= −

 

 

 

 

arctg

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

 

 

=

9(t2

+9)

27

3

 

9(x2 +4x +13)

 

 

27

3

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

−∞

= − 27π .

Получим этот результат с помощью вычетов (формула (12.2)). Указанная формула применима, так как подынтегральная функция удовлетворяет всем перечисленным выше условиям. Найдем ее особые точки, приравняв нулю знаменатель

z2 + 4z +13 = 0 z1,2 = −2 ± 4 13 = −2 ±3i .

В верхней полуплоскости находится одна из этих точек z1 = −2 +3i (полюс второго порядка).

res[ f (z), z

] = lim

 

d

[ f (z)(z z )2 ] = lim

 

d

[

 

z

] =

 

 

 

 

 

 

 

 

1

zz1 dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

zz1 dz (z z2 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

z1 + z2

 

 

 

=

 

 

 

4

 

= −

1

 

.

 

 

 

 

Откуда

(z2 z1)3

(6i)3

54i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

f (x)dx = i res[ f (z), z1] = −

.

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 12.2 ([3], № 4.142).

 

 

 

 

 

 

 

 

(n – натуральное число).

 

(x

2

+

1)

n

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Так как подынтегральная функция четная, то

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

1

+∞

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

(x

2

 

 

n

2

 

(x

2

 

n

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

+1)

 

 

 

 

 

−∞

+

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

Убедившись в применимости формулы (12.2), имеем

+∞

 

 

+∞

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

= i res[ f (z),i] ,

 

(x

2

+1)

n

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

172

где f (z) =

1

– аналитическое продолжение подынтеграль-

(z2 +1)n

 

 

ной функции на верхнюю полуплоскость, а точка i – единственная особая точка этой функции в верхней полуплоскости (полюс п-го порядка). Тогда

res[ f (z),i] =

 

 

1

 

 

lim

 

d n1

[ f (z)(z i)n ] =

 

1

 

 

lim

 

d n1

×

 

 

 

 

 

 

dzn1

(n

1)!

 

dzn1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n 1)! zi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

(z i)n

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

(1)

n1

n(n +1)...(2n

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

(z i)n (z +i)n

 

 

(n

1)!

 

 

 

 

 

 

 

(z +i)2n1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z=i

 

 

=

 

(1)n1n(n +1)...(2n 2)

=

n(n +1)...(2n 2)

 

 

( n >1 ),

 

 

 

 

 

(n 1)!22n1i2n1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22n1i(n 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

1

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πn(n +1)...(2n 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

2

+1)

n

2

 

(x

2

+

1)

n

 

 

 

 

 

 

2

2n1

(n 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1 3 5...(2n 3)

 

 

 

 

 

π

 

( n >1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 4 6...(2n 2)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(так как 2n1 (n 1)! = (2n 2)!! = 2 4 6 8...2n 2 ). При n =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 12.3 ([3], № 4.144).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

+∞

2

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

dx =

 

 

 

 

x

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

+1

2

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

0

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞ x

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Корни

 

знаменателя

 

 

 

 

 

подынтегральной

 

функции

z = 4 1 = ±

1

 

 

(1±i) .

 

Из

 

четырех

корней

 

 

два:

z

=

 

 

 

1

(1+i) и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 =

 

1

(1+i)

 

(полюсы первого порядка) находятся в верхней по-

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

луплоскости:

173

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zk2 +1

 

 

 

 

 

 

 

res[ f (z), z

 

] =

 

 

φ

 

=

= −

1

(z2

+1)z

 

;

 

 

 

 

 

4zk2

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

ψ'

z=zk

 

4

k

 

 

 

k

 

+∞ x2 +1

 

 

1

i{res[ f (z), z ] + res[ f (z), z

 

 

]} =

 

 

dx =

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x4 +1

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

πi

 

[(1+i)2

+(1+i)(1i)] =

π

.

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисление интегралов вида eiax f (x)dx

основывается на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

применении леммы Жордана:

если функция

f (x) ,

заданная на

всей действительной оси, может быть продолжена на верхнюю полуплоскость Im z > 0 , и ее аналитическое продолжение f (z) имеет

в верхней полуплоскости лишь конечное число изолированных

особых точек, равномерно относительно arg z (0 arg z π)

стре-

мится к нулю при | z |→ ∞, тогда при a > 0

 

+∞

n

 

eiax f (x)dx = ires[eiaz f (z), zk ] ,

(12.3)

−∞

k =1

 

где zk – особые точки функции

f (z) в верхней полуплоскости.

Если к тому же функция f (z) имеет полюсы первого порядка

на действительной оси, то интеграл существует в смысле главного значения и равен

 

+∞

 

 

eiax f (x)dx =

 

 

−∞

(12.4)

n

N

 

= ires[eiaz f (z), zk ] + πi res[eiaz f (z), zm ],

 

k=1

m=1

 

где zk (k =1, 2,...,n) – особые точки в верхней полуплоскости, zm ( m =1, 2,..., N ) – особые точки на действительной оси. Интегралы типа

+∞

+∞

sin ax f (x)dx и

cos ax f (x)dx ,

−∞

−∞

174

где f (x) удовлетворяет перечисленным требованиям, сводятся к

предыдущим, так как

+∞ +∞

sin ax f (x)dx = Im eiax f (x)dx ,

−∞

−∞

+∞

+∞

cos ax f (x)dx = Re eiax f (x)dx .

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В следующих примерах вычислить интегралы.

 

 

 

 

Пример 12.4 ([3], № 4.149).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

x cos xdx

 

 

 

 

+∞

 

 

xsin xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

2x +10

 

 

−∞

 

2x +10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Представим данные интегралы в виде

 

 

 

 

 

 

I

 

 

=

 

+∞

 

 

 

x cos xdx

 

 

 

= Re

+∞

 

 

 

xeixdx

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 2x +10

 

 

 

x2

2x +10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

x sin xdx

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

 

xeixdx

 

 

 

 

 

 

I2

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Im

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 2x +

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 2x +10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

xeixdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

Условия леммы Жордана выпол-

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

2x +10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zeiz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нены. Особые точки функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– полюсы первого по-

z2 2z +10

 

рядка:

z1,2 =1±3i . Одна из них

 

 

z1 =1+3i

лежит в верхней полу-

плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно формуле (12.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

xeixdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zeiz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2πi(1+3i)ei(1+3i)

 

 

 

 

= ires[

 

 

 

, z1] =

 

 

 

 

 

 

=

x2 2x +10

 

z2 2z +10

2(1+3i) 2

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

i(1+3i)e3ei

e

3

(1+3i)(cos1+i sin1) =

 

2

 

+6i

2

=

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

πe3

 

[cos13sin1+i(sin1+3cos1)] .

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

175

Здесь мы применили формулу Эйлера eiφ = cos φ + i sin φ . Отсюда получаем искомые интегралы:

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

xeixdx

 

 

 

 

 

 

 

πe3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Re

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

(cos13sin1) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x2

2x +10

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

xeixdx

 

 

 

 

 

 

 

πe3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I2

= Im

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

(sin1 +3cos1) .

 

 

 

x2

2x +

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

ax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 12.5 ([3], № 4.151).

 

 

 

 

dx

(a и b – положитель-

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

x +b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ные числа).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Так как подынтегральная функция четная, то

 

 

cos ax

 

 

 

 

1

 

+∞

cos

 

ax

 

 

 

 

 

 

1

 

+∞

 

iax

dx

 

 

 

 

dx

=

 

 

dx =

 

Re

 

e

 

.

 

 

 

2 2

 

 

2

2

 

2

 

2

 

2

 

 

0

 

x +b

 

 

 

2

 

−∞ x +b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞ x

 

+b

 

 

 

 

В верхней полуплоскости одна особая точка z0 =ib

(полюс пер-

вого порядка):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eiaz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eab

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

res[ f (z), z ] =

 

 

 

 

 

 

 

 

=

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

2z

 

 

z=ib

2bi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

e

iax

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

ab

 

 

 

+∞

 

e

iax

dx

 

 

 

= ires[ f (z), z0 ] =

e

= Re

 

 

 

 

.

x2 +b2

b

 

 

 

 

 

x2

+b2

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

Поэтому искомый интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos ax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

 

 

 

 

 

eab .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+b

2

 

 

2b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞ eitx

Пример 12.6 ([3], № 4.154). x dx .

eitz

Решение. У функции z в верхней полуплоскости особых то-

чек нет, на действительной оси – одна особая точка z0 = 0 – полюс первого порядка. Согласно формуле (12.4) при t > 0 имеем

176

+∞ eitx

eitz

 

 

 

 

 

dx = πires

 

, z0

 

= πi

−∞x

z

 

 

 

 

(так как вычет равен 1). При t < 0 сделаем замену t → −t . Тогда

+∞

e

itx

−∞

e

itx

+∞

e

i|t|x

 

 

dx =

 

dx = −

 

dx = −πi .

 

x

 

x

 

x

−∞

 

+∞

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Можно и сразу использовать лемму Жордана применительно к нижней полуплоскости.)

+∞ dx

Наконец, при t = 0 получаем x . Подынтегральная функция нечетная, и поэтому главное значение интеграла равно нулю.

Пример 12.7 ([3], № 4.156).

+∞

 

 

sin xdx

 

+∞

 

 

eixdx

 

 

 

 

= Im

 

 

.

(x

2

+4)(x

1)

(x

2

+4)(x 1)

−∞

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eiz

Решение. Функция (z2 +4)(z 1) имеет в верхней полуплоско-

сти полюс первого порядка в точке z = 2i и на действительной оси полюс первого порядка в точке z = 1 .

 

 

 

res[ f (z),2i] =

 

φ

 

 

 

 

 

=

 

e2

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ψ'

z=2i

2 2i(2i 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

e2 (2i 1)

 

 

=

(2i 1)e2

 

 

 

 

 

 

 

 

4i(2i 1)(2i

1)

 

20i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(здесь в качестве φ(z)

мы взяли функцию

 

eiz

 

 

, а в качестве ψ(z)

 

z

1

функцию z2 +4 );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eiz

 

 

 

ei

 

 

 

res[ f (z),1] = lim f (z)(z 1) = lim

 

 

 

=

=

cos1+i sin1

;

 

 

 

5

5

 

 

 

 

 

z1

 

 

 

 

 

z1 z2 +4

 

 

+∞

 

 

sin xdx

 

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

eixdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Im

 

 

 

 

 

 

 

=Im{2πires[ f (z),2i] +

(x

2

+4)(x

1)

(x

2

+4)(x 1)

−∞

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

177

 

i

e2

(2i 1)

+ πi

cos1 +i sin1

 

=

+πires[ f (z),1]} = Im

 

20i

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

πe2

+

πcos1

= π(cos1e2 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 12.8 ([3], № 4.157).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

costxdx

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

| x

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

e

i|t|x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

cos | t

dx = Re

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1 + x

3

 

 

1 + x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

1 + x

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Особые точки функции

 

 

ei|t|z

 

 

 

:

 

 

 

z

= −1 – на действи-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ z3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тельной

 

оси

(полюс

первого порядка). Далее

 

 

z2 z +1 = 0

z

2,3

=

1

 

±i

 

3

. Из двух точек одна

z

2

= 1

 

+i

 

 

3

 

 

находится в верх-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ней полуплоскости (полюс первого порядка):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ei|t|z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

i|t|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, z1

 

 

φ

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

res

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + z3

 

ψ'

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1=−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

i|t|

1

 

+i

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|t| 3

 

i|t|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i|t|z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

4e

 

2

e

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

res

 

 

 

 

 

, z2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3(2 +2 3i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ z3

 

 

 

 

 

 

 

+i

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|t| 3

 

 

 

 

| t |

 

 

 

 

| t |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|t| 3

 

 

 

 

| t |

 

 

 

 

 

 

 

| t |

 

 

 

 

 

2e

 

2

 

cos

 

 

 

 

+i sin

 

 

 

 

 

 

2e

 

 

2

 

cos

 

 

 

 

 

+i sin

 

 

 

 

(1

i 3)

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

.

 

 

 

 

 

 

3(1+i

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

costx

 

 

 

 

 

 

+∞

 

e

i|t|x

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx = Re

 

 

= Re(2πires

z2 ires

z1 ) =

 

 

 

 

 

 

 

1 + x3

1+ x3

 

 

 

 

 

 

−∞

 

|t| 3

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Re[

πi

 

 

(cos

| t |

+i sin

| t |

)(1i

3)

+

πi

 

(cos | t | i sin | t |)] =

 

3

e

2

 

2

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

178

 

π

|t| 3

 

| t |

 

 

t

 

 

π

 

=

 

e

2

 

(sin

 

+

3 cos

 

)

+

 

sin | t | .

3

 

2

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 12.9 ([3], № 4.160).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin axdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a > 0,b

> 0) .

 

 

 

x(x2 +b2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Так как подынтегральная функция четная, то

 

 

 

 

 

sin axdx

 

 

 

 

1

+∞ sin axdx

 

 

 

 

1

 

 

+∞

 

 

eiaxdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

Im

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

x(x

2

+b

2

)

 

 

2

 

 

 

2

+b

2

)

2

 

 

 

 

 

2

+b

2

)

 

Далее

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

−∞ x(x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞ x(x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

eiaxdx

 

 

= ires

 

 

 

eiaz

 

 

 

 

 

 

,ib + πires

 

 

 

eiaz

 

 

 

 

,0 =

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(x2 +b2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z(z2 +b2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z(z2 +b2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= i

eab

+πi

 

1

 

= −

πeab i +

 

πi

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b2

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ib 2ib

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin axdx

 

=

1

Im

πeab

i +

πi

 

=

 

π

 

 

(1 eab ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x(x

+b

)

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

b

2

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

2b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 12.10 ([3], № 4.162).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2ax cos 2bx dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2ax cos 2bx

 

 

 

 

 

 

1

+∞ cos 2ax cos 2bx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

+∞

e

i2ax

e

i2bx

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

e

i2az

 

e

i2bz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

Re

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

=

 

 

 

Re πires

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,0

 

=

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

 

 

 

 

πi lim

ei2az ei2bz

 

 

 

 

=

1

Re πi (i2a i2b) = π(b a) .

2

Re

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

z

 

2

 

 

 

 

 

 

 

z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

179

Пример 12.11 ([3], № 4.164).

3

xdx =

 

+∞

3

xdx .

sin3

1

sin3

0

x

 

2

−∞

x

 

Решение. Воспользуемся тригонометрической формулой sin3 x = 14 (3sin x sin 3x) .

Тогда

 

1

sin

3

x

 

 

 

1

+∞

3sin x sin 3x

 

 

 

1

+∞

3e

ix

e

i3x

 

 

 

 

 

 

dx

=

dx =

Im

 

 

dx

=

 

 

 

2

 

x

3

 

 

8

 

 

 

x

3

 

 

 

8

 

 

x

3

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

ix

 

 

i3x

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iz

 

 

i3z

 

 

 

 

 

1

 

 

3e

 

 

e

2

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

3e e 2

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

=

8 Im

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx +

 

=

8 Im πires

 

 

 

 

 

 

,0

=

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

x3

 

 

 

z3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

Im

 

πi lim

 

3eiz ei3z 2

 

=

1

Im (πi

3) =

3

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

z0

 

z

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞ 2

(предел можно взять, например, по правилу Лопиталя), x3 dx = 0

– главное значение интеграла.

Рекомендуемый перечень задач для решения в аудитории:

[3] № 4.149, 4.151, 4.154, 4.156, 4.157, 4.160, 4.162.

Резерв:

[3] № 4.140, 4.142, 4.163, 4.164.

Для самостоятельной работы дома:

[3] № 4.143, 4.144, 4.150, 4.152, 4.155, 4.158, 4.159.

На усмотрение преподавателя:

[3] № 4.141, 4.161, 4.163.

180