
Михайлов ТФКП практикум2013
.pdf
мая особая точка и вычет равен нулю). При нечетном п функция
tg z четная, поэтому в ряде Лорана в нуле |
c |
= 0 и res[ f (z),0] = 0 . |
||||||||
zn |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При четном п вычет вычисляем как c−1 |
в ряде Лорана. Возьмем |
|||||||||
известное разложение tg z |
в нуле: |
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
22k (22k −1)B |
|
|||
tgz = z + |
|
z3 +... + |
|
|
k |
z2k−1 +... |
||||
3 |
(2k)! |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( Bk – числа Бернулли). После деления на zn находим, что |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2n (2n −1)Bn |
|
|||
|
|
c |
−1 |
= |
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кроме того, знаменатель функции f (z) = tgznz обращается в нуль в точках zk = π2 +πk (k =0, ±1, ±2…) . В этих точках функция имеет полюс первого порядка. Вычет найдем по формуле ψφ' (10.3), при-
няв за φ(z) функцию |
sin z |
|
и за ψ(z) |
функцию cos z : |
|
|
|
||||||
zn |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
sin π |
+ πk |
|
|
|
|
|
||||
|
φ(zk ) |
|
|
|
|
1 |
|
||||||
res[ f (z), zk ] = |
|
2 |
|
|
|
|
. |
||||||
|
= − |
|
|
|
|
= − |
|
|
|||||
ψ'(zk ) |
π |
+ πk n |
sin π |
+ πk |
π |
+ πk n |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
Пример 10.16 ([3] № 4.100–4.107). Найти вычеты каждой из однозначных ветвей соответствующих многозначных функций относительно указанных точек.
Решение.
№ 4.100. |
|
f (z) = |
|
z |
|
относительно точки |
z =1. Так как точка |
|||||
|
1− z |
|||||||||||
z =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
полюс |
первого порядка, то найдем |
вычет по формуле |
||||||||||
res[ f |
(z), z |
|
] |
= |
φ(z0 ) |
|
: res[ |
z |
,1] = ±1. |
|
||
0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ψ'(z0 ) |
|
|
|
1− z |
|
151

№ 4.101. |
f (z) = |
1 |
относительно точки |
z =1. Предста- |
|||||||||
|
2 − z +1 |
||||||||||||
вим функцию |
f (z) |
в виде: |
|
|
|
|
|
|
|||||
f (z) = |
|
1 |
|
= |
|
2 −z −1 |
= |
2 −z −1 |
= |
2 − z −1 |
, |
||
|
|
|
|
( 2 −z +1)( 2 −z −1) |
2 −z −1 |
1−z |
|
||||||
2 |
−z +1 |
|
|
|
|
z =1 – полюс первого порядка для той ветви, для которой 1 =−1, для этой ветви
res[ f (z),1] = lim f (z)(z −1) =[1− 2 − z ]z=1 = 2 .
z→1
Для другой ветви точка z =1 не является особой и вычет в ней равен 0.
№ 4.102. f (z) = |
|
za |
|
, (za = eaLn z ) |
относительно точки z =1. |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
1− |
z |
|
|
|
|
|
||||
Запишем функцию в виде: |
|
|
|
|
|
||||||
f (z) = |
ea(ln|z|+iφ+i 2πk ) |
(1+ |
z ) |
= |
(1+ z )ea(ln|z|+iφ+i 2πk ) |
. |
|||||
(1 |
− |
z )(1 |
+ |
z ) |
1− z |
||||||
|
|
|
|||||||||
Для ветвей, у которых |
1 =1, точка z =1 – полюс первого по- |
рядка и вычет равен (−2) 1a = −2 , если а – целое число; если а – нецелое число, то вычет равен (−2) 1a , где 1а имеет различные значения для различных ветвей логарифма (Ln 1) . Для остальных ветвей точка z =1 не является особой, и вычет в ней равен 0.
№ 4.103. f (z) = (z −a)(z −b) относительно точки z = ∞. Точ-
ка z = ∞ является изолированной особой точкой – полюсом первого порядка. Разложение в ряд Лорана в бесконечности получим,
заменив z = |
1 |
и разложив функцию в точке ζ = 0 : |
|||||
|
ζ |
|
|
|
|
|
|
f (z) = f (1) = |
(1 |
−a)(1 −b) = |
1 (1−aζ)(1−bζ) = |
||||
|
|
ζ |
|
ζ |
ζ |
|
ζ |
|
= ±1[1− |
1 (a +b)ζ+ ab ζ2 |
− 1 |
(a +b)2 ζ2 +...] = |
|||
|
|
ζ |
2 |
|
2 |
8 |
|
152

= ±[z − a +2 b +( ab2 − (a +8b)2 ) 1z +...]
Отсюда
res[ f (z),∞] = −c−1 = ± (a −8b)2 .
№ 4.104.
1) Ln zz −−βα относительно точки z = ∞. Точка z = ∞ является
правильной для этой функции. Разложение в ряд Лорана в этой точке имеет вид
|
z −α |
|
1 |
−α |
β−α |
|
1) |
|
Ln |
= Ln |
ζ |
|
= 2πki +(β−α)ζ+o(ζ) = 2πki + |
+o( |
|||
z −β |
1 |
|
z |
|||||
|
|
−β |
|
z |
||||
|
|
|
ζ |
|
|
|
|
res[ f (z), ∞] = −c1 = α−β |
|
для всех ветвей функции. |
||
2) f (z) = ez Ln |
z −α |
относительно точки z = ∞. Точка z = ∞– |
|
||
|
z −β |
существенно особая точка функции f ( z) . Разложим функцию в точке z = ∞ в ряд Лорана, сделав замену z = 1ζ и разлагая получен-
ную функцию по ζ в нуле:
|
|
|
f (z) = f |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
−αζ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
( |
) =e |
ζ |
|
Ln |
= |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1−βζ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ζ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∞ |
1 |
|
∞ |
|
(αζ) |
n |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||
= ∑ |
|
[−∑ |
+ |
∑(βζ) |
+2πki] = |
||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||||||
n=0 n!ζ |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
= − 1 |
+ |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
+... + |
|
|
|
|
|
+... |
× |
|||||||||||
ζ |
2!ζ |
2 |
3!ζ |
3 |
|
n!ζ |
n |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(αζ)n+1 |
|
|
∞ |
(βζ)n+1 |
|
|
|||||||||||||||
|
× 2πki +∑ |
|
|
n +1 |
|
|
|
−∑ |
|
n + |
1 |
; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
153

c−1 – коэффициент при z−1 = ζ , т.е. коэффициент при ζ. Он, очевидно, равен коэффициенту, который получается от перемножения
члена |
1 |
|
из первой скобки на член |
|
(αζ)n+1 |
− |
(βζ)n+1 |
из второй |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
n!ζn |
|
n +1 |
n +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
скобки. Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
res[ f (z),∞] = −c−1 |
|
|
|
∞ |
|
αn+1 |
|
|
|
|
|
|
|
βn+1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)! |
|
(n +1)! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑n=0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
n |
− β |
n |
|
|
|
∞ |
|
n |
|
|
∞ |
|
n |
= eα −1−(eβ |
−1) = eα −eβ. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
= ∑ |
α |
|
|
|
= ∑ α |
|
−∑β |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n=1 |
|
n! |
n! n=1 |
n! |
|
n=1 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
№ 4.105. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) f (z) = Lnz sin |
|
|
|
|
|
относительно точки z |
= |
|
1. Разложим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
− |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
функцию f (z) в ряд Лорана в точке z = 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = Ln 1+ |
( |
z −1 |
|
sin |
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
)) |
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1)n+1 ( z −1)n |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
= 2πki + ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) ( |
) |
2n+1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 2n +1 ! z −1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент с–1 берется от членов, полученных перемножением членов степени 2п из первой суммы и членов степени 2п + 1 (в знаменателе) из второй суммы. Учитывая, что многозначная функция Ln z в своем разложении имеет нулевой член 2πki , получаем
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n+1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
res[ f (z),1] = 2πki + ∑ |
|
|
. |
|||||
|
|
2n(2n + |
|
|||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
1)! |
||||
2) f (z) = Ln z cos |
1 |
|
. Делается аналогично. |
|
|
|||||
z −1 |
|
|
||||||||
№ 4.106. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (z) = |
Arctgz |
относительно точек z = 0 и z =∞ . В точке z = 0 |
||||||||
z |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
для ветви, |
у которой Arctg0 = 0 , вычет равен 0, так как точка z = 0 |
– устранимая особая точка. Для остальных ветвей точка z = 0 – по-
154
люс первого порядка и вычет равен πk (k = ±1,±2...) . Таким обра-
зом, можно сказать, что для всех ветвей |
вычет |
равен |
||
πk (k = ±1,±2...) . В точке z =∞ : так как lim Arctgz = |
π |
+ πk |
, то раз- |
|
2 |
||||
z→∞ |
|
|
ложение в ряд Лорана в бесконечности имеет вид:
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|||
Arctgz = |
|
|
+ πk |
+o |
1 |
|
|
= |
π(2k +1) |
|
|||
2 |
c |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
z |
|
|
|
z |
z |
|
|
2 |
|
|||
и |
|
|
|
|
|
|
|
(2k +1)π . |
|||||
|
|
res[ f (z),∞] = − |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
№ 4.107. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (z) = zn Ln |
z −α |
(п – целое число) относительно точек z = 0 и |
|||||||||||
z −β |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z =∞ (при вычислении вычета относительно точки z = 0 предполагается, что α ≠ 0, β ≠ 0 ).
В точке z = 0 , так как разложение логарифма не содержит отри-
цательных степеней z, то вычет равен нулю при всех |
|
n ≥ 0 . При |
|||||||||||||
n = −1 , res[ f (z),0] = Ln |
α . Если |
n < −1 , то разложение в нуле вы- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
глядит так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
1 z k |
|
∞ 1 |
z |
k |
|||||
f (z) = |
|
|
|
Ln (α) −∑ |
−Lnβ+ ∑ |
|
|
||||||||
|
|
−n |
|||||||||||||
|
z |
|
|
|
k =1 k α |
|
k =1 k β |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
и с–1 получим, если в суммах брать только члены с |
|
|
|
|
|||||||||||
k = −n −1 |
res[ f (z),0] = c−1 |
= βn+1 −αn+1 . |
|
|
|||||||||||
В точке z =∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
∞ |
αm+1 |
|
|
∞ |
βm+1 |
|
|
|
||
f (z) = z |
|
2πki −∑ |
|
|
|
+ ∑ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
m+1 |
(m +1) z |
m+1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
m=0 (m +1) z |
|
|
m=0 |
|
|
|
155

(см. № 4.104 (2)). При n ≤ −2 в разложении отсутствует член вида cz−1 , поэтому вычет равен 0. При n = −1
res[ f (z),∞] = −2πki
и при n ≥ 0
res[ f (z),∞] = −c−1 = αn+1 −βn+1 . n +1
Рекомендуемый перечень задач для решения в аудитории:
[3], № 4.79, 4.81 , 4.83, 4.84 , 4.87, 4.88, 4.90 (2), 4.95 .
Резерв:
[3], № 4.91, 4.94, 4.96, 4.97, 4.98, 4.99.
Для самостоятельной работы дома:
[3], № 4.80, 4.82, 4.85, 4.86, 4.90 (1), 4.92 (1), 4.93.
156

11.ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
СПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ОТ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Здесь рассматриваются два типа задач: вычисление интегралов по замкнутому контуру в комплексной плоскости с помощью основной теоремы о вычетах (см. предыдущую тему) и вычисление некоторых действительных определенных интегралов с помощью перехода к комплексной переменной.
Вычисление интегралов по замкнутому контуру
По основной теореме о вычетах
∫ f (z)dz = 2πi∑res[ f (z), zk ] ,
γ k
где zk – изолированные особые точки, находящиеся внутри конту-
ра γ, проходимого в положительном направлении.
В следующих примерах необходимо вычислить интеграл по заданному замкнутому контуру.
Пример 11.1 ([3], № 4.115). ∫ |
|
dz |
|
, где С – окружность |
z |
4 |
|||
C |
+1 |
|
||
|
|
|
|
|
x2 + y2 = 2x . |
|
|
|
|
Решение. Найдем особые точки подынтегральной функции,
приравняв нулю знаменатель: z4 +1 = 0 , z4 = −1 , z = 4 −1 .
Таких корней четвертой степени, как известно, четыре. Они находятся по формуле
n z = n | z | ei |
φ+2πk |
(k = 0,1,2,...,п–1). |
(11.1) |
n |
В нашем случае z = −1 , z =1, ϕ = π , n = 4 . Поэтому
iπ(2k +1)
4 −1 = e 4 |
(k = 0,1,2,3). |
При k = 0 имеем одно из четырех значений корня:
157

z =ei |
π |
=cos π |
+isin π = |
1 |
(1+i) . |
|
4 |
||||||
|
||||||
0 |
|
4 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
Поскольку все корни располагаются на одной окружности радиусом n z (в нашем случае радиус равен 1) с центром в начале
координат и отстоят друг от друга на угол 2nπ (в нашем случае на
угол π2 ), то остальные три значения корня могут быть сразу полу-
чены из геометрических соображений без вычислений:
z |
= |
1 |
(−1+i) , z |
2 |
= − |
1 |
(1+i) , |
z |
= |
1 |
(1−i). |
|
|
|
|||||||||
1 |
2 |
|
2 |
|
3 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Контур С представляет собой окружность ( x −1)2 + y2 =1 с центром в точке (1,0) и радиусом R =1 . Поэтому внутри контура находятся только две точки: z0 и z3 . В этих точках функция имеет
полюс первого порядка. Вычислим вычеты в точках zk по формуле |
|||||||||||||||||||||||||||
|
φ |
(10.3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
res[ f (z), z |
k |
] = |
φ(zk ) |
= |
1 |
= |
1 |
|
zk |
= |
|
zk |
= −1 z |
k |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4zk3 |
zk |
4zk4 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ψ| (zk ) 4zk3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||
(так как zk4 = −1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
∫ f (z)dz = 2πi∑res = 2πi{res[ f (z), z0 ]+res[ f (z), z3 ]} = |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2πi − |
1 |
(z + z ) = − πi |
|
1 |
|
(1+i) + |
|
1 |
|
(1−i) |
= − |
πi |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Пример 11.2 ([3] № 4.117). |
C∫ |
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
, |
где С – окружность |
|||||||||||||
|
|
( z −3)(z5 −1) |
z = 2 .
Решение. Особые точки: z = 3 – полюс первого порядка и пять точек zk , равных корню пятой степени из единицы.
158

