Михайлов ТФКП практикум2013

+ 4!1 (z + z2 + z3 +... + zk +...)4 +... =

=1+ z + z2 (1+ 2!1 ) + z3 (1+ 2!2 + 3!1 ) + z4 (1+ 2!3 + 3!3 + 4!1 ) +...

∞k +1 zn

=1+∑∑k =0 n=1 n!(n −1)!k(k −1)...(k −n +2)zk −n+1 =

101

Рекомендуемый перечень задач для решения в аудитории:

7.1 ([3], № 1.95); 7.2 ([3], № 1.96); 7.5 ([3], № 1.103), 7.7 ([3], № 3.40); 7.8 ([3], № 3.41); 7.9 ([3], № 3.42);

7.10([3], № 3.44); 7.11 ([3], № 3.45); 7.13 ([3], № 3.67);

7.14([3], № 3.69); 7.16 ([3], № 3.72); 7.18 ([3], № 3.75);

7.19([3], № 3.83).

Резерв:

7.3([3], № 1.97); [3], № 3.47, 3.49, 3.71, 3.84, 3.88, 3.94.

Для самостоятельной работы дома:

7.4([3], № 1.100); 7.6 ([3], 1.104); [3] № 3.43, 3.46, 3.48, 3.68;

7.17([3], № 3.74); [3], № 3.82.

102

8. РЯД ЛОРАНА

Рядом Лорана называется функциональный ряд вида

+∞

∑ cn (z − z0 )n ,

n=−∞

где z – комплексная переменная, z0 – фиксированное комплексное число, а сп – комплексные числа, постоянные, называемые коэффициентами ряда. Обратим внимание на отличие ряда Лорана от сте-

+∞

пенного ряда. Как известно, последний имеет вид ∑cn (z − z0 )n

n=0

и, следовательно, отличается от ряда Лорана отсутствием в нем членов (z −z0 )n с отрицательными показателями п. Отсюда следует, что степенной ряд является частным случаем ряда Лорана.

ставляет собой степенной ряд, областью сходимости которого, как известно, является круг с центром в точке z0 (обозначим его радиус

сходимости R1), а главная часть преобразуется заменой ζ = z −1z0 к

+∞

степенному ряду ∑c−nζn , который сходится в круге сходимости

це R2 < z − z0 < R1 с центром в точке z0 . В кольце сходимости ряд Лорана сходится к аналитической в этом кольце функции f (z).

Имеет место и обратное утверждение: аналитическая в кольце функция единственным образом представляется в нем рядом Лорана:

+∞

f (z) = ∑ cn ( z − z0 )n ,

n=−∞

103

причем коэффициенты этого представления имеют вид

R1 < z −z0 < R2 и охватывающий точку z0 . Направление обхода – против часовой стрелки. В частности, коэффициент c−1 имеет вид

c−1 = 21πi ∫γ f (z)dz.

Если внутренний радиус кольца R1 = 0 , то говорят о разложении функции f (z) в ряд Лорана в точке z0 (или в окрестности точки z0 ). Разложение функции в ряд Лорана в окрестности бесконечности ( z > R) производится, по определению, путем замены

Из теоремы Лорана следует, что если функция f (z) аналитична во всей комплексной плоскости, кроме изолированных особых точек z1, z2 ,..., zn ( z1 < z2 <... < zn ) , то она имеет различные разложения в ряд Лорана по степеням z : в окрестности z0 = 0 с радиу-

Пример 8.1 ([3], № 4.3). Разложить в ряд Лорана по степеням z функцию f (z) = z(11− z) .

Решение. Поскольку функция аналитична всюду, кроме точек z1 = 0 и z2 =1, то таких разложений будет два: а) в окрестности

точки z = 0 (0 < z <1) ; б) в окрестности бесконечности: ( z >1) .

Чтобы найти коэффициенты сп этих разложений, мы не будем пользоваться формулой (8.1), а поступим проще. Представим функцию f (z) в виде суммы элементарных дробей

104

В случае а): первое слагаемое есть функция, аналитическая в окрестности z = 0 , поэтому в этой окрестности она единственным образом разлагается в степенной ряд (ряд Тейлора):

Таким образом, искомое разложение f (z) в ряд Лорана приобретает вид

Разложение справедливо в области 0 < z <1 (проколотая окрестность точки z = 0) .

В случае б): разложение в окрестности бесконечности. По оп-

и разлагать полученную функцию по переменной ζ в точке ζ0 = 0 . А это разложение нам уже известно (8.2):

105

Обратим внимание, что для ряда Лорана в бесконечности названия главной и правильной частей меняются местами. Разложение

справедливо в области ζ <1 или z >1. Теперь произведем разло-

жение заданной функции в ряд Лорана по степеням z −1, т.е. в окрестности точки z0 = 1:

+∞

f (z) = ∑ cn (z −1)n .

n=−∞

Для этого опять воспользуемся представлением функции элементарными дробями:

1

вательно, воспользуемся опять разложением (8.2) функции 1 −t в

имеет вид

106

Разложение справедливо в области 0 < z −1 <1 (кольцо с цен-

тром в точке z0 = 1, внутренним радиусом R1 = 0 и внешним радиусом R2 = 1, иначе говоря, проколотая окрестность точки z0 =1) .

Пример 8.2. Найти все разложения в ряд Лорана функции

Решение. Так как требуется разложить функцию по степеням z ,

+∞

то искомые разложения должны иметь вид ∑ cn zn , т.е. z0 = 0.

n=−∞

Это будут разложения в кольцах с центром в точке z0 = 0. Функция f (z) аналитична всюду, кроме точек z1 = 0 , z2 =1, z3 = −2 (так

как корни квадратного трехчлена z2 + z − 2 по теореме Виета равны 1 и –2, и его можно разложить на множители

z2 + z −2 = (z −1)(z +2). Поэтому она имеет три кольца аналитичности с центром в точке z = 0 : а) 0 < z <1, б) 1 < z < 2, в) | z |> 2 .

Разложения в них получим, как и в предыдущем примере, представив вначале f (z) в виде суммы элементарных дробей:

Коэффициенты А, В и С найдем, приведя правую часть к общему знаменателю и приравняв числители слева и справа:

z2 +1 = A(z −1)(z + 2) + Bz (z + 2) +Cz (z −1).

Можно затем приравнять коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях z, а можно воспользоваться следующим приемом (он хорошо работает при отсутствии комплексных корней у знаменателя) : положим слева и справа z = 0 :

107

В случае а): первое слагаемое есть уже готовая степень z. Во

108

Разложение справедливо в области 0 < z <1 (т.е. в проколотой окрестности точки z = 0) .

В случае б): в кольце 1 < z < 2 второе слагаемое представим в виде

Обозначив 1z =t , опять можем применить разложение (8.2) (так как теперь 1 < z и, следовательно, | t |< 1 ):

Третье слагаемое в (8.3) представляем так же, как в случае а), т.е. z < 2. Поэтому