пособие

Для того чтобы максимально упростить решение задачи численным методом, нанесем на рассматриваемое тело крупную сетку, содержащую всего 9 узлов (рис.2.6).

Рис. 2.6. Пример расчетной сетки с девятью узлами для квадратного бруса, изображенного на рис.2.5 (к выводу конечно-разностных уравнений (2.51), (2.52))

Центральный узел, имеющий номер 22, является внутренним, остальные восемь узлов - граничные. В семи узлах, расположенных на нижней, верхней и левой границах тела, температура задана условиями однозначности и, таким образом, чтобы определить температуру в узлах 22 и 23, необходимо составить только два конечно-разностных уравнения. Используя абсолютно устойчивую неявную схему представления уравнений теплового баланса в конечных разностях, получим для узла 22

В уравнениях (2.51), (2.52) верхний индекс у температур в узлах 22 и 23 выражает момент времени τk= kΔτ, к которому относятся значения этих температур; Δτ - величина временных интервалов (временных шагов), на которые разбивается интересующий промежуток времени τн; Bi=αh/λ, Fo=aΔτ/h2 - так называемые сеточные числа Био и Фурье; h - размер квадратных ячеек, образованных сеткой при разбиении тела на отдельные элементы (пространственный шаг).

60

На каждом временном шаге k значения температур во всех узлах сетки в предшествующий (k-1)-й момент времени известны и, таким образом, при заданных условиями однозначности параметрах и выбранном временном шаге Δτ из системы уравнений (2.51), (2.52) легко определить две

неизвестные величины t22k и t23k . На первом шаге вычислений (k=1) температуры в узлах 22, 23 в предшествующий момент времени должны быть равны начальному значению температур в этих точках, т.е. в данном случае

число шагов по времени достигнет такой величины, при которой kΔτ будет равно заданному времени нагрева τн.

Пусть, например, L=0,1 м, λ=25 Вт/(м К), a=2,5 10-5 м2/с, t0=30 0C, tн=300

0С, tж=30 0С, α=75 Вт/(м2 К), τн=90 с. Разобьем время нагрева на три интервала, тогда Δτ=30 с и с учетом выбранного ранее пространственного шага h=0,05 м получим Bi=0,15, Fo=0,3. Подставив необходимые величины в уравнения (2.51), (2.52), для времени τн=30 с найдем t22=154,6 0C и t23=133,4

0C. Повторив дважды вычисления, в конце нагрева (τн=90 с) окончательно получим t22=254,2 0C и t23=231,8 0C.

Очевидно, что полученные значения температур обладают определенной погрешностью, связанной с приближенным представлением дифференциальных уравнений в конечных разностях. Результаты вычислений можно уточнить, выбрав более мелкую сетку и уменьшив величину временного шага. Так, при h=0,0125 м (сетка с 81 узлом) и Δτ=3 с (30 шагов по времени) получим t22=274,3 0C и t23=248,0 0C.

Задание

Необходимо решить следующую задачу. Длинный прямоугольный брус со сторонами Lx, Ly, первоначально имевший постоянную температуру, предполагается нагревать плотно прижатыми к его смежным боковым сторонам нагревателями с заданной температурой, при этом некоторые стороны бруса могут охлаждаться окружающей средой или быть теплоизолированы. Требуется определить промежуток времени, который необходим для того, чтобы минимальная температура бруса в процессе нагрева составила 150 0С. Исходные данные и возможные варианты граничных условий приведены в таблице.

Исходные данные и варианты граничных условий

61

При выполнении задания необходимо:

1.Используя неявную схему представления частных производных в конечных разностях, записать систему алгебраических уравнений, описывающих нестационарное температурное поле в поперечном сечении бруса с выбранными граничными условиями при произвольном количестве узлов квадратной сетки N×M.

2.Рассчитать на ЭВМ изменение температур в поперечном сечении бруса в процессе его нагрева.

3.Определить время нагрева бруса до заданной температуры.

4.Проанализировать результаты выполненных расчетов.

В отчете необходимо представить:

1.Математическую формулировку поставленной задачи в частных производных и конечных разностях.

2.Результаты выполненных расчетов в виде таблиц и графиков.

62