пособие

постоянную температуру tж. Коэффициент теплоотдачи на поверхности оболочки равен α. Пусть сначала внутреннее тепловыделение в топливном сердечнике отсутствует (мощность внутренних источников тепла qv=0) и весь твэл имеет одинаковую температуру, равную tж. В некоторый момент времени, который в дальнейшем примем за начало отсчета, осуществляется мгновенный (ступенчатый) наброс мощности qv=const.

На основе рассмотренных выше условий имеем следующую задачу одномерной нестационарной теплопроводности в многослойной системе с внутренними источниками тепла:

50

Здесь индексами обозначено: 0 - центральная полость, т - ядерное топливо, гз - газовый зазор, об - оболочка. Уравнения (2.23)-(2.26) представляют собой нестационарные уравнения теплопроводности соответственно для центральной полости, ядерного топлива, газового зазора и оболочки. Уравнение (2.27) является начальным условием задачи. Уравнение (2.28) отражает условие ограниченности температуры на оси твэла. Соотношение (2.29) представляет собой закон конвективного теплообмена (закон Ньютона) и является граничным условием на поверхности оболочки тепловыделяющего элемента. Наконец, уравнения (2.30)-(2.35) являются условиями сопряжения температурных полей и тепловых потоков на границах отдельных составляющих твэла.

Решая задачу (2.23)-(2.35) каким-либо численным методом, можно получить распределение температуры в поперечном сечении твэла в заданные моменты времени и оценить время его разогрева под действием внутренних источников тепла при ступенчатом набросе мощности.

Задание

1.Составить систему уравнений, определяющих стационарное температурное поле стержневого тепловыделяющего элемента с оксидным топливом. Используя исходные данные, найти значения температуры в центре и на поверхности твэла, а также перепады температур в топливе, газовом зазоре и оболочке для установившегося после наброса мощности состояния.

2.Для заданных условий рассчитать на ЭВМ нестационарное поле температур в твэле при ступенчатом набросе мощности тепловыделения. Построить графики, показывающие распределение температур в поперечном сечении твэла, а также их изменение со временем в характерных точках.

3.Оценить время разогрева отдельных составляющих твэла.

Исходные данные

51

В отчете необходимо представить:

1.Систему уравнений и численные значения характеристик, определяющих стационарный температурный режим работы твэла.

2.Результаты расчета на ЭВМ нестационарного поля температур в твэле в виде таблиц и графиков.

2.4.Теплопередача тел при пренебрежимо малом внутреннем термическом сопротивлении

Существует довольно обширный класс задач нестационарной теплопроводности, в которых можно пренебречь изменением температуры по пространству и охарактеризовать тепловое состояние тела одинаковым для всех его точек значением температуры как функции времени. При передаче

52

тепла от твердого тела к жидкости градиенты температуры внутри тела будут существенно меньше, чем в окружающей среде в том случае, если внутреннее термическое сопротивление мало по сравнению с внешним термическим сопротивлением, или сопротивлением теплоотдачи. Таким образом, количественной характеристикой процесса теплопередачи при малом изменении температуры по пространству можно считать условие

так как именно число Био Bi представляет собой отношение внутреннего термического сопротивления L/λ к внешнему 1/α. В выражении числа Био L - характерный линейный размер твердого тела. Для тел неправильной формы характерный линейный размер часто определяется как отношение объема тела V к площади его поверхности F, т.е. L=V/F.

Если число Био значительно меньше единицы, то уравнение теплопроводности в частных производных заменяется обыкновенным дифференциальным уравнением, решить которое обычно не представляет особого труда. Для того чтобы получить это уравнение, рассмотрим тело произвольной формы (рис.2.4), погруженное в жидкость.

Рис. 2.4. Математическая модель твердого тела с пренебрежимо малым внутренним термическим сопротивлением

Из баланса тепла для твердого тела следует, что изменение аккумулированной в теле энергии должно быть равно количеству тепла, выделяемого внутри тела или подводимого к нему извне, за вычетом теплового потока, отводимого в жидкость конвекцией:

53

Здесь cρV - полная теплоемкость тела; αF - тепловая проводимость на границе “твердое тело - жидкость”. В уравнении (2.37) мощность внутренних или внешних источников тепла Q и температура жидкости tж в общем случае могут быть функциями времени. Решение уравнения (2.37) вместе с начальным условием вида

позволяет определить мгновенную температуру тела t(τ) во всех точках, включая его поверхность, поскольку предполагается, что внутреннее термическое сопротивление пренебрежимо мало.

Среди задач, встречающихся на практике, можно выделить два типичных процесса нестационарной теплопередачи тел с малым числом Био:

1.На границе твердого тела, первоначально нагретого до некоторой температуры, происходит конвективный теплообмен с окружающей средой, температура которой есть заданная функция времени.

2.Подводимое по определенному во времени закону тепло отводится от твердого тела конвекцией в жидкость с постоянной температурой.

В более общих случаях в нестационарном процессе могут изменяться одновременно как температура окружающей среды, так и мощность источников тепла.

Рассмотрим сначала задачу первого типа. Тело произвольной формы объемом V с поверхностью F, имеющее температуру t0, помещается в среду с температурой tж. Требуется определить закон охлаждения (или нагревания) тела, если число Био для тела мало. Источники тепла отсутствуют,

коэффициент теплоотдачи от поверхности тела равен α, плотность ρ и удельная теплоемкость c материала тела известны. Сперва предположим, что tж = const. Введя избыточную температуру ϑ = t - tж и учитывая, что в рассматриваемом случае Q = 0, преобразуем уравнение (2.37) к следующему виду:

внешней границе тела к полной его теплоемкости. Решение уравнения (2.39) при начальном условии (2.38) приводит к экспоненциальной зависимости

54

если диаметр шарика увеличить в два раза? (В расчетах следует учесть, что коэффициент теплоотдачи от поверхности шарика к воздуху обратно пропорционален d0,4.) Какова будет зависимость температуры шарика от времени, если в процессе нестационарной теплопередачи: а) будет изменяться температура воздуха; б) к шарику будет подводиться тепло? (Законы изменения во времени температуры воздуха и подводимой тепловой мощности приведены ниже для каждого из вариантов задания.)

При выполнении задания следует:

1.Получить аналитические зависимости, описывающие изменение температуры твердого тела в процессе теплообмена с окружающей средой при заданном законе изменения температуры жидкости (в вариантах а)) или подводимой к телу тепловой мощности (в вариантах б)).

2.Провести численное решение задачи на ЭВМ с целью получения табличных данных и построения графиков, иллюстрирующих количественно характер изменения во времени температуры твердого тела в зависимости от заданных условий нестационарной теплопередачи.

3.Сравнить данные численных расчетов с результатами теоретического анализа задачи.

Варианты задания:

а)

1.tж = 20 + 0,1τ, 0C.

2.tж = 20 + 10 cos(0,025τ), 0C.

3.tж = 20 + 0,1 exp(0,007τ), 0C.

4.tж = 20 0C при τ < 500 с, tж = 100 0C при τ > 500 с.

Во всех вариантах а) расчеты проводятся для шариков диаметром d=10 и 20 мм при Q=0.

б)

1.Q = Q0 = const, Вт.

2.Q = Q0 [1 + 0,5 cos(0,015τ)], Вт.

3.Q = Q0 + Qb exp(0,01τ), Вт.

4. Q = mQ0 при τ < 500 с, Q = nQ0 при τ > 500 с.

Во всех вариантах б) температура воздуха принимается равной 20 0С. В вариантах 1-3 расчеты проводятся при Q0=0,4 Вт для шарика диаметром d=10 мм и при Q0=1,2 Вт - для шарика диаметром d=20 мм, а затем повторяются при значениях Q, равных 2Q0 и 4Q0. В варианте 3 Qb=10-4 Вт

56

для шарика диаметром d=10 мм и Qb=3 10-4 Вт для шарика диаметром d=20 мм. В варианте 4 расчеты выполняются для тех же значений d и Q0, что и в вариантах 1-3 при следующих четырех комбинациях m и n : 1 и 4; 4 и 1; 2 и 1; 2 и 4.

В отчете необходимо представить:

1.Результаты теоретического анализа задачи.

2.Таблицы и графики с данными численных расчетов, выполненных на ЭВМ.

3.Примеры, иллюстрирующие сравнение расчетных данных с полученными аналитическими зависимостями.

2.5.Многомерные задачи теплопроводности

Впрактике часто приходится рассматривать изменение температуры твердого тела вдоль двух или трех пространственных координат и поэтому нельзя ограничиться одномерной постановкой задачи нестационарной теплопроводности.

Для тел простой геометрии (например, бесконечно длинного прямоугольного бруса, параллелепипеда, цилиндра конечной длины) решения двухмерных и трехмерных задач об охлаждении или нагревании тела в среде с постоянной температурой можно найти с помощью номограмм, построенных для неограниченной пластины и бесконечно длинного цилиндра. Это можно сделать на том основании, что решения двухмерного или трехмерного уравнения теплопроводности для вышеупомянутых тел простой геометрии можно представить в виде произведения решений для тел неограниченных размеров. Так, например, безразмерный перепад температур в прямоугольном брусе или параллелепипеде, которые можно рассматривать как результат пересечения двух или трех взаимно перпендикулярных неограниченных пластин, равен произведению безразмерных перепадов температур в пластинах. Таким образом, для бруса

для параллелепипеда

57

где t0 - начальная температура тела, tж - температура жидкости, которая охлаждает или нагревает это тело. Аналогично для цилиндра конечной длины, который можно рассматривать как результат пересечения неограниченной пластины и бесконечно длинного цилиндра,

Подобным образом можно решить также задачи нестационарной теплопроводности для полубесконечной пластины, четверти бесконечного тела, полубесконечного цилиндра.

Наряду с использованием номограмм при решении многомерных задач нестационарной теплопроводности широкое применение нашли различные приближенные численные методы, значение которых особенно возросло в последнее время в связи с повсеместным внедрением современных быстродействующих ЭВМ в практику вычислительных работ. Среди численных методов наибольшее распространение получил метод конечных разностей, или метод сеток.

При решении задачи нестационарной теплопроводности методом конечных разностей исследуемая область непрерывного изменения аргументов (пространственные координаты, время), от которых зависит искомая функция (температура), заменяется расчетной сеткой, состоящей из дискретного множества точек (узлов). Частные производные, входящие в дифференциальное уравнение теплопроводности и граничные условия, аппроксимируются соответствующими конечно-разностными соотношениями. В результате этой процедуры получают систему линейных алгебраических уравнений, из которой определяют значения сеточной функции - температуры в узлах пространственно-временной сетки. Если решение системы разностных уравнений существует и при измельчении сетки стремится к решению поставленной задачи, то это решение и является искомым приближенным решением задачи теплопроводности. Несмотря на то, что число неизвестных в системе алгебраических уравнений может быть весьма значительно, решение ее не представляет принципиальных трудностей.

Рассмотрим применение метода конечных разностей к решению задачи нестационарной теплопроводности в декартовой системе координат на примере двухмерного тела. Длинный квадратный брус со сторонами Lx=Ly=L

58

(рис.2.5) нагревается плотно прижатыми к трем его сторонам нагревателями, имеющими постоянную температуру tн. Оставшаяся четвертая сторона бруса окружена воздухом с температурой tж, коэффициент теплоотдачи на поверхности этой стороны задан и равен α. До начала нагрева брус имел постоянную температуру, равную t0. Требуется определить температуру в центре поперечного сечения и середине охлаждаемой стороны бруса по истечении заданного промежутка времени нагрева τн.

Рис. 2.5. Поперечное сечение квадратного бруса с тремя боковыми нагревателями и одной охлаждаемой стороной

Математическая формулировка поставленной задачи состоит из

59