пособие

Рис. 1.6. Схематическое изображение продольного разреза стержневого тепловыделяющего элемента с керамическим ядерным топливом (1 - топливный сердечник; 2 - оболочка; 3 - газовый зазор) и распределение температуры в поперечном сечении твэла

Существенный недостаток любого керамического топлива, в том числе и двуокиси урана, - его низкая теплопроводность. Вследствие этого в условиях высокой энергонапряженности активной зоны реактора внутри топлива возникают большие температурные градиенты, а температура в центре твэлов часто превышает 2000 0С, иногда приближаясь к температуре плавления UO2 (около 2880 0С). Чтобы снизить максимальную температуру топлива и исключить возможность его расплавления, в некоторых случаях в центре топливных таблеток из UO2 делают сквозное отверстие диаметром 1,4-1,8 мм. Это одновременно уменьшает общее линейное удлинение столба топливных таблеток при их нагревании, а также приводит к некоторому дополнительному увеличению компенсационного объема для выхода газообразных продуктов деления.

Повышение температуры керамических топливных таблеток в твэлах с двуокисью урана связано также с наличием технологического зазора между оболочкой твэла и топливным сердечником. Чтобы снизить термическое сопротивление этого зазора, при изготовлении твэлов их внутреннюю полость обычно заполняют теплопроводным газом (гелием). Однако при работе реактора на мощности по мере выгорания ядерного топлива под оболочкой накапливаются газообразные продукты деления (ксенон, криптон и др.), в результате чего тепловая проводимость газового зазора может измениться. Кроме того, вследствие неодинакового теплового расширения сердечника и оболочки, а также радиационного распухания и растрескивания топлива может происходить изменение первоначальной толщины и,

31

1.Систему уравнений, описывающую поле температуры в поперечном сечении тепловыделяющего элемента заданного типа.

2.Результаты расчета на ЭВМ распределения температуры в поперечном

сечении твэла с учетом заданных и выбранных параметров топливного сердечника, оболочки, газового зазора, а также условий охлаждения тепловыделяющего элемента.

3.Примеры, иллюстрирующие сравнение данных численных расчетов с результатами аналитического решения задачи.

1.6. Двухмерное температурное поле

Необходимость расчета двухмерных температурных полей возникает в тех случаях, когда температура тела зависит от двух пространственных координат. Решать подобные задачи значительно труднее, чем одномерные, поскольку двухмерное описание процесса стационарной теплопроводности включает дифференциальное уравнение в частных производных.

Для решения двухмерных стационарных задач теплопроводности используются различные методы, в том числе и аналитические. Из хорошо известных методов, применяемых для построения точных аналитических решений уравнения теплопроводности, можно отметить метод разделения переменных, а также метод интегральных преобразований. Однако точные аналитические методы позволяют найти двухмерное распределение температуры только в телах простой конфигурации при не очень сложных граничных условиях. Существуют также приближенные аналитические методы, которые хотя и дают возможность решать некоторые многомерные задачи теплопроводности для областей сравнительно сложной формы, но далеко не всегда могут обеспечить требуемую степень точности расчета.

Недостаток большинства аналитических методов состоит также в том, что полученные с их помощью решения пространственных задач обычно записываются в виде рядов или интегралов, первообразные которых не выражаются через элементарные или табулированные специальные функции. Поэтому расчеты по таким аналитическим решениям могут быть выполнены только на ЭВМ.

В тех случаях, когда невозможно получить аналитическое решение задачи теплопроводности или когда оно слишком громоздко и неудобно для практического применения, используют численные методы или методы аналогий. В последнее время в связи с развитием ЭВМ именно численные методы получили наиболее широкое распространение и преимущественно применяются для решения большого круга многомерных задач

34

теплопроводности в областях сложной геометрии с любыми граничными условиями, пространственно неоднородным изменением внутренних и внешних тепловых воздействий, при переменных теплофизических свойствах материалов.

Вкачестве примера рассмотрим математическую формулировку

стационарной задачи теплопроводности в однородном и изотропном двухмерном твердом теле в виде квадрата со сторонами Lx=Ly=L (рис.1.7). В теле действуют внутренние источники тепла мощностью qv=const. Пусть

верхняя B (y=Ly) и нижняя D (y=0) границы тела поддерживаются при постоянных температурах tB и tD, на левой границе A (x=0) происходит теплообмен с окружающей средой, имеющей температуру tж , коэффициент теплоотдачи равен α, правая граница C (x=Lx) теплоизолирована.

Рис. 1.7. Двухмерное твердое тело с внутренними источниками тепла и смешанными граничными условиями (1, 2 и 3-го рода)

Если коэффициент теплопроводности материала тела не зависит от температуры (λ=const), то уравнение теплопроводности для рассматриваемой задачи запишется как

а граничные условия будут иметь вид:

35

Продемонстрируем применение метода конечных разностей для решения поставленной выше задачи. Для этого нанесем на рассматриваемую область квадратную сетку с девятью узлами, из которых одинцентральныйявляется внутренним, а остальные восемьграничными (рис.1.8). Согласно условиям задачи температура тела в граничных узлах 11, 12, 13 верхнего горизонтального ряда сетки и в граничных узлах 31, 32, 33 нижнего горизонтального ряда задана и равна tB и tD соответственно. Таким образом, остается определить температуру только в граничных узлах 21, 23 и во внутреннем узле 22.

Рис. 1.8. Пример расчетной сетки с девятью узлами для двухмерного тела,

изображенного на рис. 1.7 (к выводу конечно разностных уравнений (1.82)- (1.87))

Конечно-разностная аппроксимация дифференциального уравнения

где h = L/(N - 1) = L/(M - 1) - размер ячейки квадратной сетки (N и M - число узлов в каждом ее горизонтальном и вертикальном ряду; в данном случае N=M=3). В соответствии с граничными условиями задачи уравнения в конечных разностях для граничных узлов 21 и 23 записываются следующим образом:

37

1.Построить конечно-разностную схему для решения задачи теплопроводности в двухмерной области, используя квадратную сетку с произвольным количеством узлов N×M.

2.Для заданных условий (см. таблицу) рассчитать на ЭВМ поле температур в двухмерном теле и тепловые потоки через его границы. Расчеты выполнить для N=M=3, 5, 9 и 17.

3.Проанализировать результаты выполненных расчетов.

Исходные данные

В отчете необходимо представить:

1.Математическую формулировку задачи теплопроводности в двухмерном теле и конечно-разностную схему для ее решения на ЭВМ.

2.Результаты расчетов температурного поля и тепловых потоков на единицу толщины тела.

39