пособие
.pdf
В качестве одного из примеров задачи данного типа рассмотрим одномерное поле температуры в плоской стенке толщиной δ с равномерно распределенными источниками тепла (рис.1.4,а).
Предположим, что поверхности стенки охлаждаются жидкостью, имеющей с обеих сторон пластины одинаковую и постоянную температуру tж, на одной из поверхностей коэффициент теплоотдачи равен α1, на другой - α2. Математическая формулировка рассматриваемой задачи состоит из
уравнения теплопроводности |
|
|
|
|
|
|
d2 t |
+ |
qv |
= 0 |
(1.39) |
|
d x 2 |
λ |
|||
|
|
|
|
||
Рис. 1.4. Распределение температуры в стенке с внутренними источниками тепла и граничными условиями 3-го рода для плоской (а) и цилиндрической (б) стенок
и двух граничных условий 3-го рода |
|
||||||||||||
λ |
d t |
|
|
|
x = 0 = α1(t |
|
x = 0 − tж ), |
(1.40) |
|||||
|
|
|
|||||||||||
d x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
− λ |
d t |
|
|
|
x =δ = α2 (t |
|
x =δ − t ж) . |
(1.41) |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
d x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вводя безразмерные переменные
21
Θ = t −t ж , |
X = |
x |
, |
A = |
α2 |
, |
Bi = |
α1δ |
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
qv δ2 |
|
|
|
|
δ |
|
α1 |
|
|
1 |
2λ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
преобразуем систему уравнений (1.39)-(1.41) к следующей форме: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
d2 Θ |
, |
|
|
|
|
|
(1.42) |
||||||
|
|
|
|
|
d X 2 + 2 = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
d Θ |
|
X = 0 |
= 2 Bi1 Θ |
|
X = 0 , |
|
|
(1.43) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
d X |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− d Θ |
|
X =1 |
= 2A Bi |
Θ |
|
X =1 |
. |
|
(1.44) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
d X |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Двукратно интегрируя уравнение (1.42), после определения двух констант с помощью граничных условий (1.43), (1.44) найдем распределение температуры
Θ = |
|
1+ A Bi1 |
(2X + Bi−1) − X 2 . |
(1.45) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
1+ A(1+2 Bi ) |
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Полученное распределение температуры по x подчиняется |
|||||||||||
параболическому закону с максимумом температуры в точке |
|
||||||||||
|
|
X m = |
|
1+ A Bi1 |
|
, |
(1.46) |
||||
|
|
1+ A(1+2 Bi ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
где удовлетворяется условие |
d Θ |
|
X = X m |
= 0 . Следовательно, |
максимальная |
||||||
|
|||||||||||
|
|
d X |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
температура стенки определяется соотношением |
|
|
|||||||||
|
Θm = X m (X m + Bi−1) . |
(1.47) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Найденное значение координаты максимальной температуры стенки позволяет записать решение (1.45) в более компактной форме:
22
Θ = X m (2X + Bi1-1) − X 2 . |
(1.48) |
Через это же значение могут быть выражены также безразмерные температуры охлаждаемых поверхностей стенки и передаваемые через эти поверхности в жидкость плотности тепловых потоков:
|
Θc1 = X m Bi−1 |
, |
|
|
|
(1.49) |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Θc2 |
= ( |
|
) |
A |
−1 |
Bi |
−1 |
, |
(1.50) |
|
1− X |
m |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
Qc1 = Xm , |
|
|
|
|
(1.51) |
||||
|
Qc2 = 1 - Xm . |
|
|
|
(1.52) |
|||||
В последних двух формулах безразмерная плотность теплового потока
определяется как Qc = qc . Если A=0, то Xm=1, Qc2=0, а Θc2=Θm. qv δ
Аналогично можно сформулировать задачу теплопроводности для бесконечно длинного полого цилиндра с внутренними источниками тепла (рис.1.4,б). В этом случае дифференциальное уравнение и граничные условия записываются следующим образом:
1 d |
|
d t |
q |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
+ |
|
|
v |
= 0 , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
r d r |
|
d r |
|
|
λ |
|||||||||
d t |
|
|
|
|
= α1(t |
|
r = r1 − t ж), |
|||||||
|
|
|||||||||||||
λ d r |
|
|
r = r1 |
|
||||||||||
|
|
|||||||||||||
d t |
|
|
|
= α2 (t |
|
r = r2 − t ж). |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
− λ d r |
|
r = r2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
После введения безразмерных переменных
|
t −t ж |
|
|
r |
|
|
α |
2 |
|
|
|
α r |
||
Θ = |
, |
R = |
|
, |
A = |
|
, |
Bi |
= |
1 1 |
||||
2 |
|
|
|
r |
|
|
α |
1 |
|
2λ |
||||
|
|
q r |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
v 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4λ
система (1.53)-(1.55) будет иметь вид:
(1.53)
(1.54)
(1.55)
23
|
1 d |
|
d Θ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
R |
+ 4 = 0 , |
|
(1.56) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
R d R |
|
d R |
|
|
|
|
|||||||
d Θ |
|
R =1 |
= 2 Bi1 Θ |
|
R =1 , |
|
(1.57) |
|||||||
|
|
|
||||||||||||
d R |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
− d Θ |
|
R = R 2 |
= 2A Bi Θ |
|
R = R 2 |
, |
(1.58) |
|||||||
|
|
|||||||||||||
d R |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где через R2 обозначено отношение наружного радиуса цилиндра к внутреннему: r2 / r1. Решение данной системы выражается соотношением:
Θ = 1 − Bi1−1 − R 2
d Θ
Из условия d R R =Rm
+ (Bi1−1 + 2 ln R ) |
R 2 |
{R 2 + A[1 + Bi1 (R 22 |
−1)]} |
. (1.59) |
|
1 + A R 2 (1 + 2Bi1 ln R 2 ) |
|||||
|
|
||||
= 0 найдем точку максимума температуры
|
|
R2 {R2 + A[1 + Bi1(R22 − 1)]} |
|
|
||
R m = |
|
|
. |
(1.60) |
||
1 + A R2 (1 + 2 Bi1ln R2 ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
С учетом выражения (1.60) более компактная форма записи решения |
||||||
(1.59) имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
Θ = 1 − R 2 + 2R m2 ln R + Bi1−1(R m2 |
− 1). |
(1.61) |
||||
Соответственно максимальная температура стенки Θm, температуры охлаждаемых жидкостью поверхностей полого цилиндра Θc1 , Θc2 и потоки
тепла в |
жидкость на единицу длины цилиндра |
Ql1 = |
ql1 |
|
, |
|||||
v ( 2 |
1 |
) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
πq r2 |
− r2 |
|
|
Ql2 = |
|
ql2 |
|
определяются как |
|
|
|
|
|
|
v ( 2 |
1 |
) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
πq |
r2 |
− r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Θm = 1 − R m2 + 2R m2 ln R m + Bi1−1(R m2 −1), |
|
(1.62) |
|||
24
Θс1 = Bi1−1(R m2 − 1), |
(1.63) |
||||||
Θс2 = 1 − R22 + 2R m2 ln R2 + Bi1−1(R m2 − 1), |
(1.64) |
||||||
Ql1 = |
R m2 |
−1 |
, |
|
(1.65) |
||
R22 |
−1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
R22 − R m2 |
|
|||||
Ql2 = |
|
|
|
|
|
. |
(1.66) |
|
R22 |
− 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
Задание
1.Для заданной геометрии тепловыделяющей стенки с несимметричным двухсторонним охлаждением (граничные условия 3-го рода) вывести аналитические выражения, описывающие распределение температуры в стенке и тепловые потоки в окружающую среду.
2.Выполнить расчеты на ЭВМ с целью исследования влияния соотношения
коэффициентов теплоотдачи от поверхностей стенки на поле температуры и тепловые потоки.
3.Сравнить результаты теоретического анализа процесса теплопроводности с данными численных расчетов.
Исходные данные
Вариант 1. Плоская стенка: Толщина стенки δ = 5 мм.
Коэффициент теплопроводности λ = 15 Вт/(м К). Мощность внутренних источников тепла qv = 1,5 108 Âт/м3. Температура жидкости tж = 20 0С.
Коэффициенты теплоотдачи -
на левой границе (x=0): α1 = 6 103 Вт/(м2 К),
на правой границе (x=δ ): α2 = 0 ÷ 6 104 Вт/(м2 К). Вариант 2. Цилиндрическая стенка:
Внутренний радиус r1 = 10 мм, наружный радиус r2 = 20 мм.
25
Коэффициент теплопроводности λ = 15 Вт/(м К). Мощность внутренних источников тепла qv = 2 107 Вт/м3. Температура жидкости tж = 20 0С.
Коэффициенты теплоотдачи -
на внутренней поверхности (r = r1): α1 = 3 103 Вт/(м2 К), на наружной поверхности (r = r2): α2 = 0 3 104 Вт/(м2 К).
В отчете необходимо представить:
1.Результаты теоретического анализа задачи.
2.Данные численных расчетов распределения температуры в стенке и тепловых потоков в виде таблиц и графиков.
3.Примеры, иллюстрирующие сравнение результатов численных расчетов с аналитическими зависимостями.
1.5.Распределение температуры в тепловыделяющих элементах ядерных реакторов
1.5.1. Твэлы с дисперсионным топливом
Дисперсионное ядерное топливо представляет собой композицию, в которой делящиеся материалы (233U, 235U, 239Pu) или их химические
соединения равномерно распределены в матрице из металлов, сплавов, керамики, графита и других неделящихся материалов, а также 238U, 232Th или их сплавов и соединений. Топливный сердечник твэла с дисперсионным топливом окружен оболочкой, которая обычно изготавливается из того же материала, что и матрица. Между оболочкой и топливным сердечником практически всегда создается диффузионное сцепление. Вследствие этого, а также благодаря использованию теплопроводной матрицы обеспечивается снижение температурного перепада и максимальной температуры твэла.
Твэлы с дисперсионным топливом нашли широкое применение в исследовательских ядерных реакторах, они применяются также и в некоторых энергетических реакторах. Дисперсионные твэлы отличаются большим разнообразием геометрических форм, размеров, технологии изготовления, условий работы. Они могут быть пластинчатыми, кольцевыми, трубчатыми, стержневыми, шаровыми и некоторых других форм. (рис. 1.5). Длина таких твэлов (исключая шаровые) обычно составляет 0,5 - 3 м, диаметр или поперечный размер в зависимости от формы может изменяться
26
от одного до нескольких десятков миллиметров, толщина топливного слоя порядка одного или несколько миллиметров, толщины оболочек несколько десятых или немного более одного миллиметра. Шаровые твэлы для высокотемпературных газовых реакторов имеют диаметр 60 мм с оболочкой из графита толщиной около 5 мм. В кольцевых твэлах охлаждение осуществляется и с внутренней, и с наружной поверхности твэла, а в трубчатых - только с внутренней. В качестве теплоносителя могут использоваться вода, жидкие металлы (натрий), некоторые газы (гелий) и органические жидкости (полифенилы).
Удельное энерговыделение в тепловыделяющих элементах ядерных реакторов достигает 108-109 Вт/м3, что приводит к необходимости отводить высокие тепловые потоки от теплоотдающих поверхностей твэлов порядка (0,5 - 1,5) 106 Вт/м2, а иногда и (2-5) 106 Вт/м2. В этих условиях в случае применения жидких теплоносителей важно исключить возможность возникновения кризиса теплообмена на поверхности твэла вследствие образования на ней сплошной паровой пленки. Обычно коэффициент запаса по тепловому потоку до кризиса теплообмена (отношение так называемого критического теплового потока, при котором возникает кризис теплообмена, к максимальному тепловому потоку в активной зоне ядерного реактора) должен составлять не менее двух.
27
Рис. 1.5. Примеры температурного поля в дисперсионных тепловыделяющих элементах разной геометрической формы для твэлов: пластинчатого (а), кольцевого (б), трубчатого (в), стержневого (ã), шарового (д); (1 - топливный сердечник; 2 - оболочка)
Значение тепловой нагрузки поверхности твэла, поперечные размеры топливного сердечника и оболочки, коэффициент теплопроводности используемых материалов определяют возникающие в поперечном сечении твэла температурные перепады. Максимальная температура ядерного топлива кроме того зависит от коэффициента теплоотдачи с поверхности твэла к теплоносителю и температуры последнего. В любом случае эта максимальная температура не должна превышать допустимого для применяемых материалов уровня, а температурные перепады в твэле не должны вызывать значительных термических напряжений, влияние которых особенно сказывается при изменении мощности реактора. Температура теплоотдающей поверхности твэла также ограничивается значением, при котором заметно усиливается коррозионное взаимодействие оболочки твэла с
28
теплоносителем. В случае, когда в активной зоне ядерного реактора не допускается кипение теплоносителя (например, широко распространенные реакторы с водой под давлением), температура теплоотдающей поверхности, кроме того, не должна превышать температуры насыщения при заданном давлении.
При расчете стационарного распределения температуры в поперечном сечении твэла исходят из дифференциального уравнения теплопроводности, которое записывается по отдельности для топливного сердечника
div(λ1gradt1)+qv1=0 |
(1.67) |
и для оболочки твэла
div(λ2gradt2)=0. |
(1.68) |
Здесь и далее индексом 1 отмечены величины, относящиеся к топливному сердечнику, а индексом 2 - к оболочке. На поверхностях твэла, омываемых теплоносителем, задается граничное условие 3-го рода
− λ2 |
∂t2 |
|
F |
= α(t2 |
|
F −tж ), |
(1.69) |
|
|
||||||
∂n |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
а на его теплоизолированных границах - условие равенства нулю теплового
потока, что эквивалентно равенству нулю на этих границах производной ∂t .
∂n
Кроме того, в качестве дополнительного условия может быть использовано равенство нулю производной от температуры по поперечной координате для центральной плоскости пластинчатого твэла при его симметричном охлаждении, а также на оси стержневого твэла и в центре твэла в виде шара. На поверхностях соприкосновения топливного сердечника и оболочки
|
|
∂t |
|
|
|
|
∂t |
2 |
|
|
|
|
|
должно соблюдаться равенство тепловых потоков |
λ |
1 |
|
|
|
= λ |
|
|
|
|
|
, а при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
∂n |
|
F |
|
2 |
∂n |
|
F |
|
|||
|
|
|
|
||||||||||
отсутствии заметного контактного термического сопротивления эти же поверхности должны иметь одинаковую температуру (t1 F = t 2 F ).
Совокупность дифференциальных уравнений (1.67), (1.68) совместно с перечисленными выше граничными условиями дает полную математическую формулировку задачи теплопроводности для конкретного твэла с заданными теплофизическими и геометрическими параметрами и после ее решения аналитическими, численными или другими методами позволяет рассчитать
29
поле температуры в поперечном сечении тепловыделяющего элемента в стационарном режиме работы ядерного реактора.
Вместе с тем, необходимо отметить, что на практике далеко не во всех случаях можно дать правильную оценку степени достоверности получаемых таким образом результатов. Это связано, во-первых, с тем, что теплофизические свойства различных топливных композиций недостаточно изучены и, во-вторых, с тем, что возникающие при облучении в реакторе радиационные дефекты в материалах могут приводить к существенному изменению как геометрических, так и теплофизических параметров твэлов.
1.5.2. Твэлы с двуокисью урана
Благодаря ряду преимуществ по сравнению с другими видами ядерного топлива в современных энергетических реакторах используется главным образом двуокись урана. Она широко применяется в корпусных и канальных реакторах на тепловых нейтронах с некипящей и кипящей водой, в реакторах на быстрых нейтронах с натриевым теплоносителем, в газоохлаждаемых реакторах.
Твэлы с двуокисью урана в основном стержневые контейнерного типа. Твэл такой конструкции (рис.1.6) представляет собой металлическую трубку, внутри которой с небольшим радиальным зазором (порядка 0,1 мм) помещены компактные изделия из спеченной керамики UO2 в виде таблеток, стержней или втулок. Диаметр стержневых твэлов в зависимости от того, для каких реакторов они предназначены, может меняться от 5 до 15 мм, длина - от одного до нескольких метров. Трубка-контейнер (толщина стенки 0,4-0,9 мм) вместе с заглушками на ее концах выполняет роль герметичной оболочки твэла и изготавливается либо из циркониевого сплава, либо из хромоникелевой нержавеющей стали.
В процессе эксплуатации реактора из топлива во внутреннюю полость твэла выходят газообразные продукты деления, что приводит к изменению состава газовой среды и росту давления под оболочкой тепловыделяющего элемента. Чтобы предотвратить разрушение оболочки от внутреннего давления, в твэле на одном из его торцов предусматривается свободный объем, который носит название компенсационного. Наличие этого объема, а также объема, образуемого зазорами между топливным сердечником и оболочкой, между отдельными изделиями из UO2 и т.п., не позволяет давлению внутри твэла подниматься выше допустимого.
30