пособие
.pdf
Стационарное распределение температуры в твердом теле с постоянным коэффициентом теплопроводности при отсутствии внутреннего тепловыделения описывается уравнением Лапласа
div(gradt) = 0. |
(1.15) |
В частности, в прямоугольной системе координат, когда температура изменяется только в одном направлении, уравнение (1.15) имеет вид
d2 t |
= 0. |
(1.16) |
d x 2 |
Для тел цилиндрической формы удобно использовать цилиндрические координаты, в этом случае уравнение Лапласа для температуры, изменяющейся в радиальном направлении, записывается следующим образом:
1 |
d |
r d t |
= 0 . |
(1.17) |
|
||||
r d r d r |
|
|
||
Соответственно в сферической системе координат будем иметь
1 |
|
d |
2 |
d t |
|
||
|
|
|
|
|
= 0 . |
(1.18) |
|
r2 |
|
|
|||||
|
d r r |
|
d r |
|
|||
Решения дифференциальных уравнений (1.16)-(1.18) легко могут быть получены с использованием двух постоянных интегрирования, значения
которых определяются, если заданы два граничных условия (1, 2 или 3-го рода).
В случае плоской стенки плотность теплового потока, обусловленного наличием градиента температуры поперек стенки, есть величина постоянная и определяется законом Фурье:
q = −λ |
d t |
. |
(1.19) |
|
|||
|
d x |
|
|
Для цилиндрической и шаровой стенок плотность теплового потока убывает с увеличением радиуса, поэтому удобнее ввести для цилиндрической стенки поток тепла на единицу длины цилиндра:
11
q = 2πrq = −2πrλ d t , |
(1.20) |
l |
d r |
|
а для шаровой стенки рассматривать полный поток тепла через сферическую поверхность:
Q = 4πr |
2q = −4πr |
2λ |
d t |
. |
(1.21) |
|
|||||
|
|
|
d r |
|
|
В отличие от плотности потока тепла последние две величины от радиуса не зависят.
Если перенос тепла теплопроводностью осуществляется через составную (многослойную) стенку, то тепловой поток определяется суммарным термическим сопротивлением, включающим термические сопротивления отдельных слоев из различных материалов, а также термические сопротивления на границах стенки с окружающей средой (термические сопротивления теплоотдачи).
В качестве примера рассмотрим двухслойную плоскую стенку, на границах которой заданы смешанные граничные условия (1-го и 3-го рода (рис.1.1,а). Пусть на левой границе стенки (x=0) задана постоянная температура t x =0 = t c1, а ее правая граница омывается жидкостью, имеющей
температуру tж. Значение коэффициента теплоотдачи на границе “стенкажидкость” равно α. Если известны свойства материалов (λ1, λ2) и геометрические характеристики слоев (δ1, δ2), то плотность теплового потока выражается формулой
q = |
|
tc1 − t ж |
|
, |
|
|
(1.22) |
||||||
δ |
|
δ |
|
|
1 |
|
|
||||||
|
1 |
|
+ |
|
2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 |
λ 2 |
α |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где знаменатель представляет собой |
сумму |
двух внутренних |
δ1 |
, |
δ 2 |
и |
|||||||
λ1 |
λ 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
одного внешнего 1 термических сопротивлений.
α
Для цилиндрической и шаровой стенок (рис.1.1,б,в) аналогичные формулы для ql и Q записываются следующим образом:
12
|
ql = |
|
|
|
|
|
2π(tс1 |
− tж ) |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
(1.23) |
|||||||||||||
|
1 |
ln |
r2 |
+ |
|
1 |
|
ln |
r3 |
+ |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
λ |
|
|
r |
λ |
2 |
|
|
|
r |
|
r α |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Q = |
|
|
|
|
|
|
|
|
4π(tс1 |
|
− tж ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(1.24) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
1 |
− |
|
+ |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
λ |
r |
r |
|
|
λ |
2 |
|
r |
r |
|
|
α |
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
r3 |
|
|||||||||
где r2 = r1+δ1, r3 = r1+δ1+δ2.
Рис. 1.1. Распределение температуры в двухслойной стенке со смешанными граничными условиями (1-го и 3-го рода) для стенок: а - плоской; б - цилиндрической; в - шаровой
Типичным примером рассмотренной выше двухслойной композиции является металлическая стенка с нанесенным на нее слоем тепловой изоляции. Однако следует иметь в виду, что в случае цилиндрической или сферической геометрии дополнительная изоляция металлической стенки не всегда приводит к уменьшению тепловых потерь. Действительно, анализ выражений (1.23), (1.24) показывает, что увеличение толщины изоляции δ2 (увеличение наружного радиуса изоляции r3 при фиксированных других параметрах) приводит, с одной стороны, к росту внутреннего термического сопротивления изоляции, а с другой стороны, к падению внешнего термического сопротивления теплоотдачи. В итоге оказывается, что при некотором значении радиуса изоляции r3 тепловой поток от цилиндрической (шаровой) стенки имеет максимум.
13
Можно показать, что в случае цилиндрической стенки тепловой поток ql максимален при так называемом критическом значении радиуса:
r |
|
крит |
= |
|
λ 2 |
. |
(1.25) |
|
|
|
|||||||
3, |
|
|
α |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Для шаровой стенки тепловой поток Q максимален при |
|
|||||||
r |
крит |
= |
2λ2 |
. |
(1.26) |
|||
|
||||||||
3, |
|
|
α |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Задание
1.Исходя из уравнения теплопроводности, получить аналитические выражения, описывающие распределение температуры и поток тепла в
двухслойной стенке заданной геометрической формы со смешанными граничными условиями (1-го и 3-го рода). Для цилиндрической и шаровой стенок найти значение критического радиуса (критической толщины) тепловой изоляции.
2.Используя исходные данные, рассчитать на ЭВМ поле температуры в металлической стенке и теплоизоляции, а также поток тепла через двухслойную стенку с переменной толщиной теплоизоляции, выполненной из асбеста или бетона.
3.Результаты численных расчетов сравнить с данными, полученными на основе аналитических зависимостей.
Исходные данные
Вариант 1. Плоская стенка - Первый слой - нержавеющая сталь,
δ1 = 0,015 м, λ1 = 15 Вт/(м К).
Второй слой - теплоизоляция,
δ2 = 0 ÷ 0,05 м: а) асбест, λ2 = 0,116 Вт/(м К), б) бетон, λ2 =1,28 Вт/(м К).
Условия на внешних границах:
tc1 = 100 0C, tж = 0 0С, α = 20 Вт/(м2 К).
Вариант 2. Цилиндрическая стенка - Металлическая труба - нержавеющая сталь, r1 = 0,015 м, r2 = 0,03 м, λ1 = 15 Вт/(м К).
14
Параметры теплоизоляции и условия на внешних границах: см. вариант 1.
Вариант 3. Шаровая стенка - Внутренний слой - нержавеющая сталь, параметры слоя: см. вариант 2.
Параметры теплоизоляции и условия на внешних границах: см. вариант 1.
В отчете необходимо представить:
1.Аналитические зависимости, описывающие распределение температуры и поток тепла в двухслойной стенке.
2.Результаты численных расчетов в виде таблиц и графиков.
3.Примеры, иллюстрирующие сравнение результатов численных расчетов с аналитическими зависимостями.
1.3. Передача тепла через ребра
При передаче тепла от стенки к окружающей жидкости общее термическое сопротивление складывается из частных термических сопротивлений (внутренних и внешних). Если наибольшее из этих сопротивлений представляет собой внешнее термическое сопротивление (сопротивление теплоотдачи), то тепловой поток через стенку можно значительно повысить, просто увеличивая поверхность теплообмена стенки с окружающей средой со стороны наибольшего термического сопротивления. Это достигается оребрением поверхности. С целью интенсификации теплопередачи ребристые поверхности с ребрами различной конфигурации или профиля (прямые, треугольные, трапециевидные, кольцевые ребра, а также выступы, штыри и т.д.) находят широкое применение в технике.
Эффективность ребер зависит от большого количества факторов, среди которых можно отметить высоту ребра, форму и размеры профиля его поперечного сечения, теплопроводность материала ребра, коэффициент теплоотдачи от поверхности ребра в окружающую среду. Наиболее эффективны металлические ребра с высоким значением коэффициента теплопроводности. Если коэффициент теплопроводности материала ребра бесконечно велик, то такое ребро можно считать идеальным, температура его поверхности по всей высоте постоянна и равна температуре основания. По сравнению с реальными ребрами идеальное ребро при прочих одинаковых
15
условиях рассеивает максимальное количество тепла в окружающую среду Qмакс = αF(t0 - tж), где α - коэффициент теплоотдачи, F - площадь поверхности ребра, омываемой жидкостью при постоянной температуре tж, t0 - температура основания ребра.
Для количественной характеристики эффективности ребра вводится специальный коэффициент. Он представляет собой отношение теплового потока Q, передаваемого через данное ребро, к тепловому потоку Qмакс, который передавался бы в этих же условиях через идеальное ребро. Таким образом, коэффициент эффективности ребра E = Q/Qмакс.
В большинстве случаев расчет ребристых поверхностей нагрева затруднен и возможен только на основе численного моделирования задачи или данных эксперимента. Однако для некоторых типов оребрения при определенных упрощающих предположениях удается получить достаточно простые аналитические выражения, позволяющие найти поток тепла через ребро и его эффективность.
Рассмотрим, например, круглый стержень (штырь) (рис.1.2), основание которого поддерживается при постоянной температуре t0 , а остальная поверхность охлаждается жидкостью, имеющей температуру tж.
Рис. 1.2. Ребро в виде круглого стержня (штыря) и распределение температуры по высоте ребра
Если радиус стержня достаточно мал (точнее мало так называемое поперечное число Био: Bi = αR/λ << 1), то изменением температуры поперек стержня можно пренебречь. В этом случае задача теплопроводности внутри стержня становится одномерной, и распределение температуры вдоль оси x можно найти из дифференциального уравнения
16
|
|
|
|
|
d2 t |
− m2 (t − tж ) = 0 , |
(1.27) |
|||
|
|
|
|
|
dx 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где m = |
2α |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
λR |
|
|
|
|
|
|||
Пренебрегая теплоотдачей с торца стержня, решение уравнения (1.27) |
||||||||||
получим в виде |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
t − tж |
= |
ch m(l − x ) |
. |
(1.28) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
t0 − t ж |
|
ch ml |
|
||
В стационарном режиме поток тепла от ребра в жидкость равен потоку тепла, передаваемому через основание ребра:
|
2λ |
d t |
|
|
|
|||
Q = −πR |
|
x =0 = πR (t0 − tж ) |
2R λα |
th ml . |
(1.29) |
|||
d x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Поток тепла от идеального ребра в данном случае
Qмакс = 2πRlα(t0 - tж). |
(1.30) |
Таким образом, эффективность рассмотренного выше ребра
E = |
Q |
= |
th ml |
. |
(1.31) |
|
|
Q макс ml
В качестве другого примера рассмотрим расчет кольцевого ребра постоянной толщины (рис.1.3). Такие ребра применяются при оребрении труб с целью интенсификации теплопередачи.
17
Рис. 1.3. Кольцевое ребро постоянной толщины и распределение температуры по высоте ребра
Если ребро достаточно ″тонкое″ (Bi = αδ/λ << 1), то можно принять, что температура ребра изменяется лишь в направлении радиуса. Тогда распределение температуры в ребре описывается уравнением Бесселя
|
|
d2 t |
+ |
1 d t |
− m2 |
(t − tж ) = 0 , |
(1.32) |
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
d r |
|
r d r |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где m = |
2α . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λδ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принимая температуру в основании ребра (r = r1 ) равной t1 и пренебрегая теплоотдачей с торца ребра (r = r2), получим решение уравнения
(1.32) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t − t |
ж |
= |
I0 (mr) + β K 0 |
(mr) |
, |
(1.33) |
||||
|
|
|
|
− |
|
|
I0 |
(mr ) + β |
K 0 |
(mr ) |
|||
|
|
|
t1 |
t ж |
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
||||||
где β = |
I1(mr2 ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
K1(mr2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так же, как и в предыдущем примере, поток тепла от ребра в окружающую жидкость равен потоку тепла, передаваемому через основание ребра:
18
Q = 2πr1(t1 − t ж) |
|
|
|
||||||||
|
2δλαψ , |
||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− I |
(mr ) + β K |
|
(mr ) |
|
||||||
ψ = |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
. |
||||
I |
0 |
(mr ) + β K |
0 |
(mr ) |
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|||||
Имея в виду, что поток тепла от идеального кольцевого ребра
Q макс = 2π(r22 − r12)α(t1 − t ж) ,
для коэффициента эффективности получим следующее выражение:
(1.34)
(1.35)
(1.36)
E = |
|
Q |
= |
|
|
2ψ |
|
|
. |
(1.37) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Q |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
макс |
|
|
r2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
mr |
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
Таким образом, в отличие от коэффициента эффективности для ребра в виде круглого стержня, для которого E зависит только от одного безразмерного параметра ml (см. уравнение (1.31)), коэффициент эффективности кольцевого ребра есть функция двух параметров: mr1 и r2/r1.
Задание
1.Для заданного типа ребристой поверхности выполнить качественный теоретический анализ влияния основных параметров ребра и условий
охлаждения на теплопередачу и эффективность оребрения поверхности теплообмена.
2.С целью получения количественных данных провести расчеты на ЭВМ:
а) распределения температуры по высоте ребра; б) теплового потока от ребра в окружающую жидкость; в) эффективности оребрения поверхности.
Исходные данные
Вариант 1. Поверхность с цилиндрическими штырями:
Материал штыря - нержавеющая сталь (λ=15 Вт/(м К)),
19
сталь 45 (λ = 48 Вт/(м К)), латунь (λ = 106 Вт/(м К)), алюминий
(λ=170 Вт/(м К)), медь (λ = 380 Вт/(м К)).
Радиус и длина штыря: R = 5 мм, l =5 ÷ 50 мм. Температура основания штыря t0 =100 0C. Температура окружающей жидкости tж = 0 0С. Коэффициент теплоотдачи α = 10 ÷ 100 Вт/(м2 К).
Вариант 2. Труба с кольцевыми ребрами: Материал ребра - см. вариант 1. Наружный радиус трубы r1 =50 мм.
Высота и толщина ребра: l= r2 - r1=5 ÷50 мм, δ = 5 мм. Температура основания ребра t1 = 100 0C.
Температура окружающей жидкости и коэффициент теплоотдачи
-см. вариант 1.
Вотчете необходимо представить:
1.Результаты теоретического анализа эффективности оребрения теплоотдающей поверхности.
2.Таблицы и графики, иллюстрирующие влияние параметров ребра и
условий охлаждения на теплопередачу и коэффициент эффективности оребрения поверхности.
1.4. Теплопроводность в стенке с внутренними источниками тепла
Тепловыделение в теле за счет действия внутренних источников тепла может быть вызвано протеканием внутри объема тела химических или ядерных реакций, джоулевым нагревом проводника при прохождении по нему электрического тока и другими причинами. Количественно интенсивность внутреннего тепловыделения (или поглощения тепла) принято характеризовать величиной qv, которая представляет собой мощность внутренних источников (или стоков) тепла в единице объема тела. Эта величина имеет размерность Вт/м3 и в общем случае может изменяться в пространстве и во времени.
В стационарных задачах распределение температуры в теле с постоянным коэффициентом теплопроводности при наличии внутренних источников тепла описывается дифференциальным уравнением
div(grad t ) + |
qv |
= 0 , |
(1.38) |
|
|||
|
λ |
|
|
где qv может рассматриваться как функция только координат.
20