21-24

21. Граф дискретного марковского процесса с непрерывным временем. Уравнения состояния. Стационарное состояние

Пусть имеется некоторая система S , переходы системы из состояния в состояние происходят в случайные моменты времени под воздействием каких-либо потоков событий (например, поток отказов, поток восстановлений). Для системы такими событиями могут быть: поступление очередной заявки (событие вход ного потока); окончание обслуживания очередной заявке (событие потока обслуживания заявок) и т.д. Процесс, протекающий в системе S , называется Марковским процессом с дискретными состояниями и непрерывным временем (или непрерывной Марковской цепью ), если выполняется условие: для любого фиксированного момента времени условные вероятности состояния системы в будущем зависят только от состояния системы в настоящем и не зависят от того, когда (на каком шаге) и откуда система перешла в это состояние [5, 16]. Схематично систему удобно представлять в виде размеченного графа состояний. Граф состояний – это схема, отражающая переход системы из состояния в состояние. Вершины графа соответствуют состояниям, дуги – переходам из состояния в состояние. Размеченный граф состояний – граф состояний с проставленными у стрелок интенсивностями соответствующих потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние. Размеченный граф состояний системы имеет вид:

Стационарный режим для непрерывной цепи Маркова. Предельные значения  при :

22. Виды пространств сигналов. Аксиоматика нормы, метрики и скалярного произведения в пространстве сигналов

Пусть - множество сигналов.

Путем введения структурных ограничений из можно выделить различные функциональные пространства. Например, ограничение для

формирует Гильбертово пространство сигналов, обозначенное .

Если рассматриваются периодические сигналы, то можно выделить пространство сигналов, для которых

Норма сигналов

Норма векторных сигналов на – длина вектора:

22.1. Для дискретных сигналов, определенных на

Для непрерывных сигналов:

Норма комплексных сигналов:

Метрика сигналов

Задача математической оценки близости векторов. Предположим, что мы задали пространство сигналов или, в частности, Евклидово n-мерное пространство .

Пусть – элементы пространства (или – реализации сигнала. Введем обозначения:

– расстояние между элементами множества .

Введем отображение – множество действительных чисел.

Если ввести правила отображения такие, что:

Пространство сигналов с введенным отображением называется метрическим. Метрика задается нормой разности сигналов

22.3 Используя 2-е и 3-е свойство

Для ортогонального базиса

для нормированного базиса:

Аналогично для метрики:

22.2 Для (Евклидово n-мерное пространство):

Геометрическая интерпретация для n=2:

Норма сигнала = расстояние от сигнала до нулевого элемента.

Скалярное произведение векторных сигналов.

Метрика в пространстве может быть введена с помощью операции скалярного произведения векторов. Скалярное произведение векторов называют отображение: - поле действительных чисел, которое обладает свойствами:

Если , то

Если , то

Для скалярного произведения над полем комплексных чисел:

Введение метрики в :

– норма,

– расстояние.

Введенные таким образом функции (отображения) полностью соответствуют требуемым свойствам метрики.

Определение нормы и d в в базисе.

Пусть в задан базис . Любые векторы могут быть выражены через линейные комбинации базисных векторов :

Определим нормы и расстояние :

23. Линейное векторное пространство сигналов. Норма, метрика и скалярное произведение в Rⁿ.

Линейное пространство

Пространство сигналов является линейным, если для него справедливы следующие операции:

Для определена сумма

,,

обладающая свойством:

• коммутативности:

• ассоциативности:

Для и числа определен сигнал и при этом

Множество содержит нулевой элемент : для

Представление сигналов как векторов n-мерного векторного пространства позволяет для анализа сигналов и систем использовать математический аппарат векторного анализа.

Если множество значений координат вектора – действительные числа, то такое векторное пространство – Евклидово n-мерное векторное пространство . - возможное состояние или реализация сигнала.

В определены следующие операции:

– обратный вектор.

Свойства операций в :

в векторов , одна из координат которых = 1, а остальные = 0 – координатные орты в .

вектор в может быть представлен в виде суммы:

………………………

23.1 Метрика сигналов

Задача математической оценки близости векторов. Предположим, что мы задали пространство сигналов или, в частности, Евклидово n-мерное пространство .

Пусть – элементы пространства (или – реализации сигнала. Введем обозначения:

– расстояние между элементами множества .

Введем отображение – множество действительных чисел.

Если ввести правила отображения такие, что:

Пространство сигналов с введенным отображением называется метрическим. Метрика задается нормой разности сигналов

Для (Евклидово n-мерное пространство):

Метрика в пространстве может быть введена с помощью операции скалярного произведения векторов. Скалярное произведение векторов называют отображение: - поле действительных чисел, которое обладает свойствами:

Если , то

Если , то

Для скалярного произведения над полем комплексных чисел:

Введение метрики в :

– норма,

– расстояние.

Введенные таким образом функции (отображения) полностью соответствуют требуемым свойствам метрики.

23.2 Метрика в пространстве может быть введена с помощью операции скалярного произведения векторов. Скалярное произведение векторов называют отображение: - поле действительных чисел, которое обладает свойствами:

Если , то

Если , то

Для скалярного произведения над полем комплексных чисел:

Введение метрики в :

– норма,

– расстояние.

Введенные таким образом функции (отображения) полностью соответствуют требуемым свойствам метрики.

Определение нормы и d в в базисе.

Пусть в задан базис . Любые векторы могут быть выражены через линейные комбинации базисных векторов :

Определим нормы и расстояние :

Используя 2-е и 3-е свойство

Для ортогонального базиса

для нормированного базиса:

Аналогично для метрики

24. Ортонормированный базис в линейном векторном пространстве сигналов. Координатные орты. Представление нормы, метрики и скалярного произведения в ортонормированном базисе в Rⁿ.

Ортонормированный базис в

Ортогональный базис:

Ортонормированный базис:

Приведение ортогонального базиса в ортонормированный:

Про норму, метрику и скалярное произведение в 23 вопросе подробно.