методы оптимизации шпоры

27.3 Подставляя в линейную форму: .

Теперь попробуем уменьшить значение линейной формы, увеличивая значение величины, входящей в уравнение с отрицательным знаком, то есть . Увеличивая значение, до тех пор, пока одна из базисных переменных не станет равной нулю (потому что они должны быть неотрицательны), получим другую экстремальную точку, в нашем случае . В этой точке значение линейной формы будет , а в ее уравнении все коэффициенты входят с положительными коэффициентами, поэтому уменьшать и дальше форму мы не можем. Таким образом, решение закончено.

Замечание: если бы на окончательном шаге одна из переменных входила с нулевым коэффициентом, это бы означало, что существует множество точек, в которых значение линейной формы минимально.

28. Геометрическая интерпретация симплексного метода.

Каждое из линейных неравенств на переменные ограничивает полупространство в соответствующем линейном пространстве. В результате все неравенства ограничивают некоторый многогранник (возможно, бесконечный), называемый также полиэдральным комплексом. Уравнение W(x)=c, где W(x) - максимизируемый (или минимизируемый) линейный функционал, порождает гиперплоскость L(c). Зависимость от c порождает семейство параллельных гиперплоскостей. Тогда экстремальная задача приобретает следующую формулировку — требуется найти такое наибольшее c, что гиперплоскость L(c) пересекает многогранник хотя бы в одной точке. Пересечение оптимальной гиперплоскости и многогранника будет содержать хотя бы одну вершину, причём, их будет более одной, если пересечение содержит ребро или k-мерную грань. Поэтому максимум функционала можно искать в вершинах многогранника. Принцип симплекс-метода состоит в том, что выбирается одна из вершин многогранника, после чего начинается движение по его рёбрам от вершины к вершине в сторону увеличения значения функционала. Когда переход по ребру из текущей вершины в другую вершину с более высоким значением функционала невозможен, считается, что оптимальное значение c найдено.

Последовательность вычислений симплекс-методом можно разделить на две основные фазы:

нахождение исходной вершины множества допустимых решений,

последовательный переход от одной вершины к другой, ведущий к оптимизации значения целевой функции.

29. Учет ограничений типа неравенств в линейном программировании.

В постановке задачи линейного программирования присутствуют ограничения в виде неравенств, которые можно перевести в ограничения типа равенств, используя дополнительные переменные. Каждому ограничению соответствует одна дополнительная переменная. Например, задано ограничение . Введем вспомогательную переменную , тогда неравенство будет выглядеть как . Теперь у задачи больше ограничений, но в целом все осталось по-старому.