4 Синтез и анализ схем, работа которых зависит от времени

4.1 Временные булевы функции. Основные определения

Будем рассматривать все возможные наборы вида

(4.1)

В этих наборах величины х_i(i=1, 2, ...,п) могут принимать в качестве своих значений только 0 или 1, а величинаt — любые целочисленные значения от 0 доs—1 включительно. Для таких наборов справедлива следующая теорема.

Теорема.Общее число различных наборов вида (4-1) при некотором фиксированном значении п равно s∙2ⁿ.

Действительно, общее число различных наборов вида <х₁, х₂, ....х_п> есть 2^п. Присоединяя к каждому из этих 2^празличных наборов всевозможные значенияt, получим утверждение теоремы. Теперь введем основное определение.

Определение. Функция, определенная на наборах вида (4—1) и принимающая в качестве своих возможных значений 0 или 1, называется временной булевой функцией (сокращенно ВБФ).

Нетрудно понять, что если временная булева функция

зависит от времени (t) несущественно, то она превращается в обычную функцию алгебры логики.

Общее число различных ВБФ, зависящих от х₁, х₂, ..., х_п иt, определяется с помощью следующей теоремы.

Теорема.Общее число различных временных булевых функций вида

Доказательство этой теоремы полностью совпадает. с доказательством теоремы 1 для функции алгебры логики.

Сформулированные теоремы свидетельствуют о том, что любую временную булеву функцию можно полностью описать с помощью конечной таблицы.

Пример 4-1.

y=φ(x₁, х_г, t), 0<t<2.

В силу теоремы 0 имеем 3·2²=12 различных наборов значений аргументов и 2¹²=4096 различных временных булевых функций, для одной из которых таблица будет следующей:

Однако подобного рода табличная запись, хотя она и дает наибольшую «наглядность» рассматриваемой функции, в большинстве случаев неприменима из-за своей громоздкости.

В самом деле, если нас интересует поведение функции, зависящей от трех переменных, для t, изменяющегося от 0 до 10, то для построения таблицы потребовалось бы выписать 88 строк, соответствующих 88 возможным наборам значений аргументов этой функции. Поэтому для временных булевых функций, подобно функциям алгебры логики, было бы удобно ввести более компактную и приемлемую для работы форму записи.

Рассмотрим некоторую временную булеву функцию:

(4.2)

Если дать t некоторое фиксированное значение(t = k, где 0 <k < s -1), то эта функция примет следующий вид:

(4.3)

Функция (4-3) есть уже обычная функция алгебры логики и может изучаться с помощью тех средств, которые рассматривались ранее. Заставляя t пробегать всю последовательность допустимых значений, мы получим последовательность функций алгебры логики,

Таким образом, любой временной булевой функции можно сопоставить последовательность функций алгебры логики.

Пример 4-2. Для ВБФ, рассмотренной в примере 4.1, имеем дляt=0функциюφ₀, дляt=1 – φ₁, t=2 – φ₂, полученные в соответствии с известными законами алгебры логики по таблицам состояния ВБФ дляt=0, t=1, t=2:

(4.4)

Для более удобной записи введем теперь специальную функцию τ_α, определяемую соотношением

В новых обозначениях функция (4-3) записывается следующим образом:

(4.5)

Пример 4.3. Для ВБФ примера 4-1 имеем:

Для функции τ_αверны соотношения

В первом из них дизъюнкция берется по всем i, а во втором — по всемi≠j.

Эти два соотношения эквивалентны утверждению о том, что в любой фиксированный момент времени t=α(0<α<s-1)τ_α, и толькоτ_αравно единице, а все остальныеτ_i.=0.