Прямые методы_Лин.ур-ий
.pdfx |
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
f2 |
, |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5x2 |
3x3 |
|
|
f3 , |
(2.11) |
|||||||
|
x |
|
|
1 |
x |
|
|
f |
|
f 2 |
, |
||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
3 |
|
1 |
3 |
|
|||
которую можно записать в матричном виде как |
|||||||||||||
|
P23L1P12Ax P23L1P12f . |
(2.12) |
|||||||||||
Таким образом, система (2.12) получена применением элементарной матрицы перестановок
|
1 |
0 |
0 |
P |
0 |
0 |
1 |
23 |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
к системе (2.8).
Далее, к системе (2.11) надо применить второй шаг исключения обычного метода Гаусса. Это эквивалентно умножению системы (2.11) на элементарную треугольную матрицу
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
0 |
||
|
|
1 |
|
|
||
L2 |
0 |
|
0 . |
|||
|
|
|
|
|||
5 |
|
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
||
|
0 |
|
|
1 |
||
|
5 |
|||||
|
|
|
|
|
||
В результате получим систему
|
L2P23L1P12Ax L2P23L1P12f |
|
|
|
|
|
(2.13) |
||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
f2 |
, |
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
3 |
x |
|
|
|
1 |
f |
, |
|
|
(2.14) |
|||||||
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
f |
f 2 |
|
|
1 |
f |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
10 |
|
|
3 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
5 |
3 |
|
||||||
Заключительный шаг прямого хода метода Гаусса состоит в замене последнего уравнения системы (2.14) уравнением
|
|
|
|
|
f |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
10 f |
|
|
|
|
|
f |
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
1 |
|
2 |
|
5 |
|
3 |
|
||
Что эквивалентно умножению (2.13) на матрицу
11
|
1 |
0 |
0 |
|
L3 |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
. |
|
|
0 |
0 |
10 |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, для рассмотренного примера процесс исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу записывается в виде
L3L2P23L1P12Ax L3L2P23L1P12f. |
(2.15) |
По построению матрица |
|
U L3L2P23L1P12A |
(2.16) |
является верхней треугольной матрицей с единичной главной диагональю.
Отличие от обычного метода Гаусс состоит в том, что в качестве сомножителей в (2.16) наряду с элементарными треугольными матрицами Lk могут присутствовать элементарные матрицы перестановок Pkl.
Покажем еще, что из (2.16) следует разложение
PA LU , |
(2.17) |
где L нижняя треугольная матрица, имеющая обратную, и P матрица перестановок. Для этого найдем матрицу
~ |
P23L1P23. |
|
||||
L1 |
(2.18) |
|||||
По свойству 2 матрица |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
~ |
2 |
|
||||
|
|
|
0 , |
|||
L |
0 |
|
1 |
|||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
||
~
т.е. L1 -нижняя треугольная матрица, имеющая обратную.
12