6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

161 - 170. Найти а) ;; б);;.

161.a) z = cos (x/y² ) +5x, б) u = xz/(x+y+z³ );

162. а) z = 3x²/(x+y), б) u = sin (x²+y²+2z+1);

163. а) z = arcsin(x+6y) - 2y⁵; б) u = cos (x/y²) +5z cos (x/z² );

164. а) z = y/(x³-y²)²; б) u = sin (x²+y²) - ln(x²+4z⁴);

165. а) z = ln(x+5e^-3y); б) u = arcsin(3zx+6y);

166. а) z = ln( 3xy+e^-3xy ); б) u = xz e^yz/x;

167. а) z = 5x^cos(y) ; б) u = xz + ln(yx²+6z⁴);

168. а) z = sin(x+4y⁵); б) u = arccos(3z³x+6y);

169. а) z =5x² +y² +tg(4x/y); б) u = x [ln (z+1) - yln z];

170. а) z =5yx² + arccos(3x³+6y); б) u = xtg(e^yz/x ).

171 - 180. Дана функция z=f(x,y). Показать, что

.

171. z = y/(x²-y²)⁵; F = .

172. z = y²/(3x)+arcsin(xy); F =

173. z = ln(x²+y²+2x+1); F =.

174. z = e^xy ; F =.

175. z = ln(x+e^-y); F =.

176. z = x/y; F =.

177. z = x^y; F =.

178. z = x e^y/x; F =.

179. z = sin(x+ay); F =.

180. z = cos y+(y-x) sin y; F = (x-y).

181 - 190. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x;y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

181. z = x²+y²-9xy+27; 0x3, 0y3.

182. z = x²+2y²+1; x0, y0, x+y3.

183. z = 3-2x²-xy-y²; x1, y0, yx.

184. z = x²+3y²+x-y; x1, y-1, x+y1.

185. z = x²+2xy+2y²; -1x1, 0y2.

186. z = 5x²-3xy+y²+4; x-1, y-1, x+y1.

187. z = 10+2xy-x²; 0y4-x² .

188. z = x²+2xy-y²-4x; x0; y0; x+y+20.

189. z = x²+xy-2; 4x²-4y0.

190. z = x²+xy; -1x1; 0y3.

191 - 200. Даны функция z=f(x;y), точка А(х₀;y₀) и вектор а(а₁;а₂). Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора а.

191. z = x²+xy+y²; A(1; 1), a(2; -1).

192. z = 2x²+3xy+y²; A(2; 1), a(3; -4).

193. z = ln(5x²+3y²); A(1; 1), a(3; 2).

194. z = ln(5x²+4y²); A(1; 1), a(2; -1).

195. z = 5x²+6xy; A(2; 1), a(1; 2).

196. z = arctg(xy²); A(2; 3), a(4; -3).

197. z = arcsin(x²/y); A(1; 2), a(5; -12).

198. z = ln(3x²+4y²); A(1; 3), a(2; -1).

199. z = 3x⁴+2x²y³; A(-1; 2), a(4; -3).

200. z = 3x²y²+5xy²; A(1; 1), a(2; 1).

7. Неопределенный и определенный интегралы

201 - 210. Найти неопределенные интегралы. В пп. «а» и «б» результаты проверить дифференцированием.

201. a) e^{sin x} sin 2xdx; б) arctg x dx;

в) ; г);

д) dx; е).

202. a) ; б)e^x ln(1+3e^x)dx;

в) dx; г);

д) ; е)(1+2cos x)² dx.

203. a) ; б)x 3^x dx;

в); г);

д) ; е).

204. a) ; б);

в) ; г);

д) sin² x cos² x dx; е) .

205. a) ; б)x² e^3x dx;

в) ; г);

д) dx; е).

206. a) ; б);

в) ; г);

д) sin 3x sin 7x dx ; е).

207. a) ; б)x ln(x +1)dx;

в) ; г);

д) dx; е) .

208. a) ; б)x sin x cos x dx;

в) ; г);

д) x² dx; е.

209. a) ; б)x² sin 4x dx;

в) ; г);

д) ; е).

210. a) ; б)x ln² x dx;

в) ; г);

д) ; е).

211-220. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

211. 212..

213.. 214..

215. . 216..

217. . 218..

219. . 220..

221. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = 3x²+1 и прямой y = 3x+7.

222. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды x = a(t - sin t), y = a(1- cos t) (  t  ) и осью Ox.

223. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r = 3(1+cos ).

224. Найти площадь фигуры, ограниченной четерехлепестковой розой r = 4sin 2 .

225. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболами y = x² и y = .

226. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной полуэллипсом y = 3, параболой x =и осью Oy.

227. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг Oy фигуры, ограниченной кривыми y = 2/(1+x²) и y = x².

228. Вычислить длину дуги полукубической параболы y = от точки А(2; 0) до точки В(6; 8).

229. Вычислить длину кардиоиды r = 3(1-cos ).

230. Вычислить длину одной арки циклоиды x = 3(t - sin t), y = 3(1 - cos t) (0  t 2).