4. Производная и ее приложения

121 - 130. Найти производные dy/dx данных функций.

121. a) ;

б) y = (e^{cos x} + 3)²; в) y = ln sin (2x+5);

г) ; д) tg (y/x) = 5x.

122. а) y = ;б) y = (4sin x) / cos² x;

в) y = arctg e^2x ; г) y = x^1/x ;

д) x-y+arctg y = 0.

123. а) ; б) y = 1/tg² 2x ;

в) y = arcsin (1-3x) ; г) y = x^{ln x} ;

д) y sin x = cos (x-y).

124. а) ;б) y = sin x - xcos x;

в) y = x^m lnx ; г) y = x ^-tgx;

д) (y/x) = arctg (x/y).

125. а) ; б) y = (sin² x) / (2+3cos² x) ;

в) y = (x ln x)/(x-1) ; г) y = (arctg x)^{ln x};

д) (e^x -1)(e^y -1) - 1 = 0.

126. а) ; б) y = 2tg ³(x² +1) ;

в) y = 3^{arctg x} ; г) y = (arctg x)^x ;

д) y² x = e ^y/x.

127. а) ; б) y = (1/2)tg² x+ln cos x ;

в) ; г) y = (x+x²) ^x ;

д) x³ +y³ - 3a xy = 0.

128. а) ; б) ;

в) y = arctg(tg² x) ; г) y = (sinx)^{ln x} ;

д) x-y+a sin y = 0.

129. а) ; б)y = 2^x e^-x ;

в) y = (arcsin x)/ 1 - x² ; г) y = (cos x)^x ;

д) ln y = arctg (x/y).

130. а) ; б) y = (1/3) tg³ x - tg x + x;

в) ; г)y = (cos x)^x ;

д) x-y+e^y arctg x = 0.

131 - 140. Найти dy/dx и d²y/dx² для заданных функций:

а), б) y = f(x); в) x = (t), y = (t).

131. а) y = x/(x² -1); б) y = (e^{cos x} +2)³ ;

в) x = cos (t/2), y = t - sin t.

132. а) y = ln ctg 2x; б) y = x ;

в) x = t³ + 8t, y = t⁵ + 2t.

133. а) y = x³ ln x ; б) y = arctg e^4x ;

в) x = t - sin t, y = 1 - cos t.

134. а) y = x arctg x ; б) y = 3 ^{cos 5x} ;

в) x = e ^2t ; y = cos t.

135. а) y = arctg x ; б) y = e^x cos 2x;

в) x = 3cos² t, y = 2sin³ t.

136. а) y = e^{ctg 3x}; б) y = ln cos 5x ;

в) x = 3cos t, y = 4sin² t.

137. а) y = e^x cos x; б) y = tg (x⁴ +5) ;

в) x = 3t-t³, y = 3t² .

138. а) y = e^-x sin x ; б) y = x ctg 8x ;

в) x = 2t-t³ , y = 2t² .

139. а) y = x;б) y = (x²-2x-1) cos 4x ;

в) x = t+ln cos t, y = t - ln sin t.

140. а) y = x e^-x; б) y = e^{-cos x} ;

в) x = ln t, y = (1/2)(t-1/t).

141 - 150. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b].

141. f(x) = x³ - 12x + 7; [0; 3].

142. f(x) = x⁵ - (5/3)x³ + 2; [0; 2].

143. f(x) = x + cos x; [0;/2].

144. f(x) = 3x⁴ - 16x³ + 2; [-3; 1].

145. f(x) = x³ - 3x + 1; [1/2; 2].

146. f(x) = x⁴ + 4x; [-2; 2].

147. f(x) = x - sin x; [0;/2].

148. f(x) = 81x - x⁴; [-1; 4].

149. f(x) = 3 - 2x² ; [-1; 3].

150. f(x) = x - sin x ; [-; ].

5. Приложения дифференциального исчисления

151 - 160. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y=f(x) и, используя полученные результаты, построить ее график.

151. y = 4x/(4+x²). 152. y = (x²-1)/(x²+1).

153. y = (x²+1)/(x²-1). 154. y = x²/(x-1).

155. y = x³/(x²+1). 156. y = (4x³+5)/x.

157. y = (x²-5)/(x-3). 158. y = x⁴/(x³-1).

159. y = 4x³/(x³-1). 160. y = (2-4x²)/(1-4x²).