2. Методологические принципы и подходы при решении задач

- А. Полный элементарный акт мышления по Д. Дьюи

- Б. Анализ и синтез древнегреческого математика Паппа

- В Правила Рене Декарта

- Г. Алгоритм решения задач Д Пойа

А. Полный элементарный акт мышления по д. Дьюи

При организации мышления (мыслительной деятельности) мы из памяти извлекаем фактологические знания и совершаем над ними определенные преобразования индуктивного и дедуктивного характера. Полный акт мышления (по Д. Дьюи) содержит пять логических ступеней и выглядит следующим образом:

1. Чувство затруднения.

2. Его определение и определение его границ.

3. Представление о возможном решении.

4. Развитие путем рассуждения об отношениях представления.

5. Дальнейшие наблюдения, приводящие к признанию или отклонению, то есть заключение уверенности или неуверенности.

Затруднение заключает в себе сомнение или проблему, конфликт между существующими условиями и желаемым или ненужным результатом, между целью и средствами ее достижения. Проблема состоит в открытии посредствующих звеньев, которые, будучи помещены между отдаленной целью и данными средствами, согласует их друг с другом.

Определение затруднения и его границ составляет суть добывания фактов, организации наблюдений, необходимых для того, чтобы именно осветить, в чем собственно затруднение, или выявить специфический характер проблемы и тем самым обеспечить глубину и результативность процесса формирования представлений о возможном решении.

Представление или предположение является самым центром акта мышления (умозаключения). Оно заключает в себе переход от того что дано, к тому, что отсутствует. Поэтому его следует признать рискованным, требующим критического отношения, смысл которого в задержке окончательного суждения и свертывания мыслительного процесса.

Возникший в представлении вывод, поскольку он временно не принят, но сохраняется для опыта, составляет идею. Синонимами для него являются предположение, догадка, гипотеза и (в разработанном виде) теория. Критическое отношение к выводу поддерживается наличием альтернативных предположений. Поэтому способность на этой стадии их формировать следует отнести к культуре мышления.

Процесс вскрытия отношений – или, как их называют более специально, скрытых связей – между какой-нибудь идеей и какой-нибудь проблемой называется рассуждением.

Как идея выводится из фактов, так рассуждение вытекает из идеи.

Рассуждение оказывает тоже действие на возникшее представление решения, как накопление и более близкое, подробное рассмотрение фактов на саму проблему. В целом идея решения развивается и обогащается. Представления, казавшиеся по первому взгляду возможными, часто оказываются не подходящими и даже печальными. Представления, казавшиеся чуждыми и дикими, часто так изменяются при разработке того, что из них вытекает, что становятся применимыми и плодотворными. И все же сомнение, критическое отношение остается.

Последняя и заключительная ступень является своего рода проверкой – экспериментальным подтверждением. Поскольку последствия умозрительны, как и идея, постольку возникает потребность в дополнительных фактах. В процессе практических действий прогнозы приобретают форму фактов, связи - форму закона.

Эвристическая сила методологического описания полного акта весьма плодотворна. В это можно убедиться (и с пользой для дела), если им руководствоваться при организации творческого процесса решения задач, возникающих в инженерной и научной деятельности.

Б. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ДРЕВНЕГРЕЧЕСКОГО МАТЕМАТИКА ПАППА

Папп, знаменитый греческий математик, живший предположительно около 300г. нашей эры, в седьмом томе своего «Математического сборника» изложил известные ему Начала анализа и синтеза, используемые для решения задач и, прежде всего, «задач на нахождение», постоянно возникающих перед инженером и решаемых им. Используя свободный перевод и некоторую перефразировку, постараемся осмыслить и практически использовать следующие методологические положения.

Исходным пунктом анализа является допущение, что задача уже решена. Необходимо представить конечную ситуацию и увидеть (найти) идею, позволяющую ее разрешить. В свою очередь реализация возникшей идеи превращается в новую задачу в пределах ситуации исходных условий. Мы пытаемся найти очередную идею, которая позволяет разрешить возникшую проблемную ситуацию. И так продолжаем продвигаться от одной ситуации к другой, подыскивая очередную идею для решения. В конечном итоге мы обнаруживаем, что при вновь возникшей ситуации больше не требуется идей, т. к. она разрешается имеющимися средствами. Действия по решению всей задачи выстраиваем в обратном порядке. Это и будет синтезом. В целом этот подход можно назвать решением задач, организуя правдоподобные рассуждения от конца к началу.

В математической интерпретации с перефразой Пойа эвристика Паппа выглядит следующим образом: «Если перед нами «задача на нахождение», то мы должны определить какое-то неизвестное x, которое удовлетворяет четко сформулированному условию. Нам еще неизвестно, имеется ли такое значение x или нет, но, полагая, что такое значение есть, мы выводим из него другое неизвестное y, которое должно удовлетворять соответствующему условию. Затем мы устанавливаем связь между y и еще другим неизвестным. Так поступаем до тех пор, пока, наконец, мы не приходим к неизвестному z, значение которого мы можем определить каким-нибудь знакомым методом. Если, в самом деле, есть такое значение z, которое удовлетворяет требуемому условию, то при обратимости всех наших выводов будет существовать и такое значение x, которое удовлетворяет исходному условию. При этом поступаем следующим образом:

Сначала мы определяем значение z, затем, зная z, мы находим то неизвестное, которое в нашем анализе предшествует z. Таким способом, продолжая решение, мы возвращаемся по пройденному пути, и, наконец, зная y, мы находим искомое x. Цель достигнута, но остается еще проверка».

В. ПРАВИЛА РЕНЕ ДЕКАРТА

Рене Декарт (1596 1650) – французский философ и математик, один из величайших умов человечества в своих «Правилах для руководства ума» и работе «Рассуждения о методе» сформулировал основные принципы своего «универсального» метода, которые и по сей день являются краеугольным камнем методологии мышления. Каждый вправе по- своему их осмысливать, интерпретировать, но главное - они работают. Приведем некоторые из них:

1. Оградить себя от всякой торопливости в суждениях и от всяких предвзятых мнениях.

2. Каждый трудный вопрос разлагать на столько частных вопросов, чтобы стало возможным более легкое их разрешение.

3. . Всегда начинать с простейшего и постепенно переходить к более сложному, и даже там, где не представляется естественной постепенности, все-таки устанавливать некоторый порядок.

4. Везде составлять настолько полные обзоры сделанного предшественниками, чтобы быть уверенными, что ничего не пропущено.

Вот грубый набросок схемы, которая, как ожидал Декарт (по Д. Пойа), может быть применима ко всем видам задач:

Первое: задача любого вида сводится к математической задаче.

Второе: математическая задача любого вида сводится к алгебраической задаче.

Третье: любая алгебраическая задача сводится к решению одного-единственного уравнения.

Обратите внимание на некоторые высказывания Рене Декарт:

1… «Все знания в целом являются не чем иным, как человеческой мудростью, остающейся всегда одинаковой, как бы ни были разнообразны те предметы, к которым она применяется, и…это разнообразие имеет для нее не больше значения, нежели для солнца разнообразие освещаемых им тел»…

2… «Метод состоит в размещении и упорядочении того, на что должно быть направлено острее ума в целях открытия какой-либо истины».

3… «Каждая решенная мною задача становится образцом, который служил впоследствии для решения других задач».

4… «Подобные представления о вещах весьма полезны, поскольку ничто не является для нас более наглядным, чем фигура, ибо ее можно осязать и видеть»…

Они обладают изумительной эвристической силой и способны помочь вам в трудную минуту.

Г. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Д. ПОЙА

В своих работах Д. Пойа(1965) предлагает развернутую содержательную модель процесса решения задач математического склада, которая вполне может служить инвариантом мыслительной деятельности. В ней семь этапов:

1. Уяснение и анализ задачи, понимание искомого.

2. Организация содержания задачи в соответствии с искомым.

3. Нахождение пути, идеи решения (анализ).

4. Составление плана.

5. Осуществление плана идеи и реализация идеи решения (синтез).

6. Проверка и оценка решения.

7. Эвристический анализ решения.

3. НЕСКОЛЬКО ПОЛОЖЕНИЙ,

ИМЕЮЩИХ СИЛУ ПРАКТИЧЕСКИХ СОВЕТОВ

- А. О развитии пространственного воображения

- Б. Психическая инерция

- В. Рефлексивные механизмы мышления

- Г. О приемах решения логических задач

- Д. Решение задач, организую правдоподобные рассуждения «от конца к началу»

А. О РАЗВИТИИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ВООБРАЖЕНИЯ и не только

Считается, что для решения задач и тестов на развитие пространственного воображения не требуется «каких-либо специальных знаний». Достаточно лишь «уметь читать» изображения пространственных фигур. И все же…Задачи на развитие пространственного воображения можно отнести к задачам на развитие внимание. Внимание – это форма организации познавательной деятельности, определяющая избирательную направленность активности сознания. Выделяют три вида внимания: непроизвольное, произвольное, послепроизвольное. Если первое определяется процессами, протекающими на бессознательном уровне, и оно действительно определяется развитием, то произвольное внимание имеет место только благодаря усилиям воли. Это очень важно осознать и принять к руководству: «Без труда, не вынешь рыбку из пруда». В процессе обучения, в процессе работы могут возникнуть интерес, увлеченность, вдохновение, которые снимают волевое напряжение. В этом случае можно говорить о послепроизвольном внимании. В целом внимание характеризуется совокупностью свойств: объем, устойчивость, распределение, переключение, сосредоточенность.

Сосредоточенность, устойчивость, переключение, распределение – это положительные свойства внимания. Невнимательность, рассеянность, отвлекаемость - отрицательные свойства. Успехи волевых усилий по формированию положительных качеств внимания путем решения задач можно отчетливо зафиксировать, т. к. они сочетаются с такими особенностями мимики, как спокойствие, сосредоточение и устойчивость взгляда, устойчивое положение головы, частей тела, устойчивость позы, организованность движений, жестов, немногословность, твердость и уверенность речи.

Отрицательные свойства внимания коррелируются с частой отвлекаемостью от основного дела, суетливостью, неуравновешанностью, беспорядочным многословием, бегающим взглядом, меняющейся улыбкой, эмоциями удивления, неуверенности, тревожности.

Не ищите ответов на предлагаемые задачи. Их просто нет здесь. И это сделано сознательно, чтобы раньше времени не останавливать процесс мышления.

Постарайтесь «передвигать фигуры в уме», поворачивать их, соединять и разъединять, видеть с новой стороны – играть воображением. Обратите внимание, что для организации мыслительного процесса необходима идея – в виде образа. Но, очень важно, поработав с ней и не достигнув цели, надо постараться ее «отбросить», заменив новым вариантом. Если этого сделать не сможете, то еще и еще раз будете «проигрывать старую пластинку». Не трудно понять, что сказанное относится не только к задачам на пространственное воображение.

Б. ПСИХОЛОГИЧЕСКАЯ ИНЕРЦИЯ

Традиционно трудности при решении логических задач связаны с несколькими причинами. Их можно отнести к двум группам – субъективного и объективного характера. Субъективную основу причин можно сформировать из многих особенностей характера и стиля мышления, проявляющихся в развитости восприятия, внимания и памяти. К объективным можно отнести логику постановки задачи. Постановщики задач тоже люди и их логика мышления, логика изложения условий задачи, как правило, отличаются от нашей. Чтобы понять другого, нужны усилия и порой не малые. Для лучшего понимания мы условие задачи «переводим на свой язык» и, к сожалению, часто в ущерб самому процессу мышления – возникает ситуация «испорченного телефона». Самой, на наш взгляд, серьезной причиной неудач при формировании логической основы организации процесса решения задач является психологическая инерция мышления. Явление многоплановое, трудно объяснимое, но почти всегда фиксируемое и признаваемое при внимательном эвристическом анализе процесса решения задачи. Можно и нужно попытаться разобраться в его сущности. Предлагается рабочая версия. Наш разум управляет процессом мышления, опираясь на внимание и память. В стандартной ситуации запускается механизм алгоритмизации, т.е. используются наработки. Без этого деятельность не реализовать. Но, то, что срабатывает успешно в стандартной ситуации, мешает в проблемной. Она потому и проблемная, что имеющиеся в наличие средства не могут обеспечить достижение цели (получить желаемый результат). Положенный в основу логического процесса не подходящий к ситуации принцип уводит нас в сторону и надолго. Этим сознательно пользуются авторы анекдотов, всевозможных историй.

«Купил медведь мотоцикл с люлькой. Попросил заяц покатать его. Бросил косого медведь в люльку, нажал на газ… и… поехали. «Ну, как косой?»... «Улю…улю!!!» Прибавил скорости медведь! «Ну, как косой?»... «Улю…улю!!!» Еще прибавил скорости медведь. Так он катал зайца часа два. Остановился и спрашивает: «Ну, как, заяц, накатался?». А у зайца ходуном бока ходят, и он с усилием говорит: «У…У…У люльки дна нет». Вот вам и пример психологической инерции. Даже смешно, но при решении задач не до смеху.

Рекомендации Д. Пойа, Г. С. Альтшуллера и многих других в основном сводятся к внимательному изучению условия задачи, ее переформулированию с использованием более общих терминов и понятий. Способствует уходу от психологической инерции использование графического представления процессов, явлений, определяющих условия задачи.

Причиной многих неудач при решении логических задач является элементарное незнание законов формальной логики. Но, увы, на это требуется время и желание. Зато приобретенные навыки окупаются сторицей.

В. РЕФЛЕКСИВНЫЕ МЕХАНИЗМЫ МЫШЛЕНИЯ

Основу критического мышления составляет способность человека к рефлексии т. е. к осознанному отражению тех предметных действий, которые он выстраивает при взаимодействии с миром. Он не просто что-то понимает, но одновременно и осознает процесс своего понимания.

В психологии различают два типа рефлексивных процессов: авторефлексию, т. е. осознание собственных мыслей, чувств и поступков (я осознаю, что я думаю о чем-то) и рефлексию как отражение того, о чем думает другой человек (или группа людей). Социально-психологические аспекты рефлексии лежат в основе взаимодействия, взаимопонимания, диалога в системе «человек-человек». Авторефлексия связана с самосознанием, саморегуляцией, самоконтролем личности.

Примером авторефлексии может служить самооценка Ф. Шаляпина своего поведения на сцене: «Когда я пою, воплощенный образ передо мною всегда на смотру. Он перед моими глазами каждый миг. Я пою и слушаю, действую и наблюдаю. Я никогда не бываю на сцене один. На сцене два Шаляпина. Один играет, другой контролирует… Я ни на минуту не расстаюсь с моим сознанием на сцене. Ни на секунду не теряю способности и привычки контролировать гармонию действия».

Примером рефлексивного взаимодействия может служить описанное Эдгаром По в рассказе «Украденное письмо» искусство одного восьмилетнего мальчика становиться на позицию своего партнера в игре «чет-нечет». Игра внешне сравнительно простая: один из играющих зажимает в руке несколько шариков, а другой должен угадать, четное их количество или нечетное. Если угадает – получит один шарик, если нет – должен отдать шарик противнику. Мальчик обыгрывал всех, блестяще освоив метод отгадывания, основанный на простой наблюдательности и оценке сообразительности партнеров. Например, играет с ним какой-нибудь простофиля, зажав в руке шарики и спрашивает: «Чет или нечет». Наш игрок отвечает: "Нечет" — и проигрывает. Но в следующий раз выигрывает, ибо он рассуждает так: простофиля взял в первый раз четное число — хитрости у него хватает как раз настолько, чтобы взять теперь нечет,- поэтому я должен сказать "нечет". Имея дело с партнером немного поумнее он рассуждает так: в первый раз я сказал "нечет"; помня это, он будет рассчитывать (как и первый), что в следующий раз я скажу "чет" и, стало быть, ему следует взять нечет. Но он тотчас сообразит, что это слишком простая хитрость и решится взять "чет". Скажу лучше "чет". Говорит "чет" — и выигрывает. В чем же суть игры этого школьника?

Оказывается не так просто отождествлять свой интеллект с интеллектом партнера и противника... А отождествление своего интеллекта с чужим зависит от точной оценки интеллекта противника

И еще один пример (из С. Маршака):

- Он целовал вас, кажется?

- Боюсь, что это так!

- Но как же вы позволили?

- Ах, он такой чудак!

Он думал, что уснула я

И все во сне стерплю,

Иль думал, что я думала,

Что думал он: я сплю!

Г. О ПРИЕМАХ РЕШЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Можно выделить несколько классов логических задач по использованию тех или иных приемов. Известны логические задачи о переправах, задачи на логические рассуждения с арифметическим счетом, задачи о колпаках, задачи о лгунах, решение логических задач с помощью таблиц и графиков, игровые логические задачи, турнирные задачи, числовые ребусы. Суть этих приемов не хитрая, и выявляется при эвристическом анализе хода решения одной, двух задач. Есть определенный интерес их открыть самому. Но некоторые можно освоить лишь при некоторых методических пояснениях их математической сущности.

1. Решение задач путем установления соответствия

между элементами множеств.

Множеством называется коллекция, собрание объектов, объединенных по некоторому признаку. Можно говорить о множестве учеников в классе, о множестве рыб в пруду и т. д.

Предметы, входящие во множество, называются его элементами.

При внимательном изучении условия конкретной задачи может быть установлено, что имеются все признаки наличия нескольких множеств с определенными, но не полностью известными связями. Установление их и есть предмет поиска. Решению таких задач помогает использование таблиц и графиков. Для улавливания сути приема воспользуемся рассмотрением случая с одинаковым числом элементов двух множеств. Здесь удобно пользоваться таблицей состоящей из n  nклеток, где n – число элементов во множестве. Данные задачи вносятся в соответствующие клетки таблицы, например, знаками + (положительный результат) или  (отрицательный), установленными путем логических рассуждений.

Если в рассматриваемой задаче каждому элементу первого множества соответствует единственный элемент второго множества, а двум различным элементам первого множества соответствуют два различных элемента второго множества, то такое соответствие называется взаимно однозначным. Очевидно, что при таком соответствии между двумя множествами, заполняя таблицу, мы в каждой строке (столбце) должны получить только одну клетку со знаком +. В общем случае каждую клетку таблицы можно означить буквой L,где i – номер столбца таблицы, а j – номер строки. Проиллюстрируем этот прием в ходе решения следующей задачи.

Задача. Беседуют трое друзей: Белокуров, Рыжов и Чернов. Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что один из нас блондин, другой – брюнет, третий – рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос у каждого из друзей.

Решение задачи. Для решения задачи воспользуемся таблицей 33, отмечая по горизонталям фамилии, а по вертикалям – цвета волос беседующих.

ФАМИЛИИ	ЦВЕТ ВОЛОС
	Рыжие	Черные	Русые
Белокуров
Чернов
Рыжов

По условию задачи Белокуров – не блондин, Чернов не брюнет, а Рыжов - не рыжий. Это позволяет поставить знак «» в клетках L, L, L. Кроме того, по условию, Белокуров не брюнет и, значит, в клетке Lтакже следует поставить знак «».

После этого таблица принимает следующий вид:

ФАМИЛИИ	ЦВЕТ ВОЛОС
	Рыжие	Черные	Русые
Белокуров			
Чернов		
Рыжов	

Так как между множеством фамилий и множеством цветов их волос должно быть взаимно однозначное соответствие то, очевидно, в клетках L,и L,следует поставить знак «», а в оставшейся клетке L поставить знак «». И таблица принимает следующий вид:

ФАМИЛИИ	ЦВЕТ ВОЛОС
	Рыжие	Черные	Русые
Белокуров			
Чернов			
Рыжов			

Отсюда следует, что у Белокурова волосы рыжие, у Чернова – русые, а у Рыжова – черные.

2. Решение задач о лгунах

Задачи такого типа определяются по принципу: имеется одно, два или три множества людей. Представители одного из множеств говорят только правду, представители другого – только ложь, а представители третьего множества могут говорить как правду, так и ложь.

В задаче приводятся высказывания представителей указанных множеств. При этих высказываниях и некоторой дополнительной информации, данной в задаче, требуется установить истину.

Наиболее простым ее вариантом является тот, по условию которого имеется группа людей, и каждый ее представитель высказывает по два утверждения. При этом известно, что одно из них истинно, а другое – ложно.

При решении задач этого типа поступают так: берут одно из двух утверждений некоторого представителя этой группы людей и предполагают, что оно истинно. Если при этом, рассматривая рассуждения других членов группы, мы не приходим к противоречию, то делается вывод, что взятое нами исходное утверждение действительно истинно. Если же при рассмотрении утверждений других членов группы мы приходим к противоречию, то делается вывод, что взятое нами за истинное утверждение одного из членов группы является ложным и, следовательно, второе его утверждение является истинным.

Д. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, ОРГАНИЗУЯ ПРАВДОПОДОБНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ

«ОТ КОНЦА К НАЧАЛУ»

Анализ целей и средств является примером прямой стратегии — все планируемые действия ориентированы на приближение к подцели и, в конечном итоге, к основной цели. Весьма часто полезнее стратегия планирования операций решения с конца, которые обеспечивают движение от конечной цели назад — к текущему или исходному положению. Простейшим примером такой стратегии может служить игра в обожаемые детьми лабиринты, нарисованные на бумаге, которые нужно проходить с помощью карандаша.

Многие из этих лабиринтов содержат несколько возможных путей, отходящих от начальной точки и среди них только один верный путь, который приведет в конец лабиринта к заветной цели. Даже маленькие дети понимают, что они смогут ускорить решение такой задачки-лабиринта, если пойдут в обратном направлении, начав движение с конечной точки и прорисовывая путь к началу лабиринта. Пример такого лабиринта приведен на рис. 1.

Стратегия решения с конца удобна, когда из конечной точки ведет меньше путей, чем из исходного положения.

А это как правило всегда!

Разумеется, эта стратегия может быть применена не только для прохождения лабиринтов. Рассмотрим такую задачу: «Площадь, которую открывают водяные лилии на одном из озер, удваивается каждые двадцать четыре часа. С того момента, как появилась первая лилия, до того, когда лилии полностью покрыли поверхность озера, прошло шестьдесят дней. Когда озеро было покрыто наполовину?».

Единственным путем решения этой задачи является применение стратегии решения с конца. Можете ли вы решить ее, пользуясь этой подсказкой? Если озеро полностью было покрыто лилиями на 60-й день, а площадь, которую покрывают лилии, удваивалась каждые сутки, какая часть озера была закрыта в 59-й день? Ответ: половина. Таким образом, пользуясь обратным ходом, мы легко решили эту задачу. Прямая стратегия решения этой задачи наверняка завела бы нас в тупик.

Иногда оказывается эффективной комбинация прямой стратегии и стратегии решения с конца. Если вы столкнулись с геометрической или тригонометрической задачей на доказательство, то, вполне вероятно, прибегнув к комбинации этих двух стратегий, вы успешно с ней справитесь. Вы можете начать с конечного выражения, преобразуя его до какой-то определенной стадии, затем последовательно переходить от преобразования этого выражения к преобразованию исходного выражения и, наоборот, — до тех пор, пока они не совпадут на каком-то промежуточном этапе.

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ

ПРАКТИКУЮЩИЕ УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ