Лабораторная работа М – 07

Изучение распределения Максвелла

Цель работы: изучение распределения Максвелла по скоростям в системе электронов в электронной лампе и определение температуры катода.

Приборы и принадлежности: лабораторный стенд, включающий: электронную лампу 6Ц4П, микроамперметр, миллиамперметр, магазин сопротивлений, реостат, понижающий трансформатор.

Введение

В системах, состоящих из большого числа классических частиц, находящихся в состоянии теплового движения при определенной температуре и в отсутствие силовых полей устанавливается распределение частиц по скоростям, которое называется распределением Максвелла. Распределению Максвелла подчиняются молекулы идеального газа: электроны, эмитированные катодом в электронной лампе.

Для изучения распределения электронов по скоростям в данной работе используется метод задерживающего потенциала.

Краткие теоретические сведения

Экспериментальная проверка распределения молекул по скоростям является одной из важнейших задач молекулярной физики. В данной лабораторной работе для исследования функции распределения по скоростям предлагается метод задерживающего потенциала.

При нагревании катода электронной лампы в результате термоэлектронной эмиссии из катода вылетают электроны, энергия которых превышает потенциальный барьер, равный работе выхода электрона из катода. Электроны образуют электронное облако у поверхности катода, находятся в тепловом равновесии с ним и, следовательно, имеют температуру катода. Скорости электронов подчиняются распределению Максвелла.

, (7.1)

где dp(v_x,v_y,v_z) – вероятность того, что проекции скорости электрона заключены в интервалах от v_x до v_x+dv_x, от v_y до v_y+dv_y, от v_z до v_z+dv_z; m – масса электрона, v- скорость электрона, k – постоянная Больцмана, Т – температура.

Распределения Максвелла по проекциям скоростей имеют вид

(7.2)

(7.3)

(7.4)

где dp(v_x) – вероятность того, что проекция скорости v_x электрона заключена в интервале от v_x до v_x+dv_x , dp(v_y) – вероятность того, что проекция скорости, v_y электрона заключена в интервале от v_y до v_y+dv_y, dp(v_z) – вероятность того, что проекция скорости v_z электрона заключена в интервале от v_z до v_x+dv_z.

Распределение Максвелла по модулю скорости имеет вид

(7.5)

где dp(v) – вероятность того, что модуль скорости v электрона лежит в интервале от v до v+dv.

Наиболее вероятная (v_m), средняя (v_cp) и среднеквадратичная (v_ср.кв.) скорости частиц определяются по формулам (7.6), (7.7). (7.8) соответственно.

(7.6)

(7.7)

(7.8)

Используя распределение Максвелла по скоростям, можно рассчитать ток электронов в электронной лампе. Вылетая из катода электронной лампы электроны, достигая анода, заряжают его отрицательно. Поле отрицательного заряда тормозит движение электронов. Между анодом и катодом возникает задерживающая разность потенциалов Uз. При соединении анода и катода проводником, в замкнутой цепи потечет ток. В двухэлектродной лампе между анодом и катодом протекает ток термоэлектронной эмиссии I_э. Во внешней цепи течет ток I, обусловленный разностью потенциалов U, в соответствии с законом Ома сила тока равна

(7.9)

где R- сопротивление внешней цепи. В стационарном режиме ток термоэлектронной эмиссии равен току во внешней цепи I_э =I. Ток во внешней цепи ограничивается внешним сопротивлением R, при R=0 он имеет максимальное значение и определяется температурой катода и работой выхода электрона из материала катода.

Используя распределение Максвелла, мы можем получить зависимость анодного тока от задерживающей разности потенциалов. Систему электронов будем рассматривать как идеальный газ с концентрацией n. Предположим, что электроды электронной лампы являются плоскими, а расстояние между ними много меньше линейных размеров электродов. Ось x направим перпендикулярно электродам от катода к аноду. Таким образом электроны будут двигаться вдоль оси x. Электрическое поле между анодом и катодом тормозит электроны. Анода могут достигать лишь электроны, кинетическая энергия которых превышает потенциальный барьер, равный работе электрического поля. В случае, когда все электроны будут достигать анода, ток будет иметь максимальное значение и называется током насыщения

Плотность тока насыщения термоэлектронной эмиссии равна

(7.10)

где n-концентрация электронов (n=const), v_{x min} – минимальная скорость электронов, достигающих анода, <v> - среднее значение проекции скорости v_x электронов, достигающих анода определяемое выражением

(7.11)

Минимальная скорость v_x может быть найдена из условия равенства кинетической энергии электронов работе электрического поля, задерживающего электроны

з (7.12)

Подставляя (7.2) в (7.10), и , интегрируя с учетом (7.12), получим

(7.13)

где j₀ – плотность тока электронов при U=0.

(7.14)

Сила тока термоэлектронной эмиссии I_c (I_c=j_cS, где S- площадь поверхности катода) и сила тока I в анодной цепи зависят экспоненциально от задерживающей разности потенциалов

(7.15)

Логарифмируя (7.15) получим

(7.16)

то есть логарифм анодного тока линейно зависит от задерживающей разности потенциалов.

Зависимость (7.16) получена при условии, что скорости электронов подчиняются распределению Максвелла, поэтому экспериментальная проверка зависимости (7.16) позволяет судить о распределении электронов по скоростям.

В данной работе используется двухэлектродная электронная лампа – вакуумный диод, который имеет не плоские, а цилиндрические электроды (коаксиальные цилиндры), однако и в этом случае зависимость анодного тока от задерживающей разности потенциалов носит экспоненциальный характер.

Экспериментальная установка

Принципиальная схема установки приведена на рис. 7.1.

Схема содержит анодную цепь и цепь накала электронной лампы – диода с подогреваемым оксидным катодом 6Ц4П.

Рис.7.1

Напряжение на накал лампы подается от сети 220 В через понижающий трансформатор. Ток накала регулируется реостатом и измеряется миллиамперметром. В анодную цепь включены микроамперметр и переменное сопротивление (магазин сопротивлений).

Рис.7.2

Общий вид экспериментального стенда приведен на рис. 7.2, где 1- микроамперметр анодной цепи, 2 – ручка регулировки тока накала, 3 – переключатели магазина сопротивлений, 4 – миллиамперметр тока накала, 5 – переключатель вида работ.

Задание

1. Измерить зависимость анодного тока от задерживающей разности потенциалов I=f(Uз) для трех значений тока накала.

2. Построить зависимость lnI=f(Uз) для каждого тока накала, найти соответствующие температуры катода.

3. Рассчитать наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичную скорости электронов для одной из найденных температур.

Порядок выполнения работы

1. Установить переключатель вида работ 5 в верхнее положение «М».

2. Установить переключателями 3 сопротивление R равное 10 кОм.

3. Включить «СЕТЬ».

4. Установить регулятором 2 заданное значение тока накала I_R, прогреть лампу 2-3 минуты.

5. Изменяя внешнее сопротивление R переключателями 3, измерить зависимость анодного тока I от задерживающей разности потенциалов , где R_μ – внутреннее сопротивление микроамперметра R_μ=100 Ом (указано на стенде). Результаты эксперимента занести в таблицу 7.1.

Таблица 7.1.

№ п/п	Ig, мА	ΔI, мА	R, Ом	ΔR, Ом	I, мкА	ΔI, мкА	U, В	ΔU B	ln I
1
…
10

6. Повторить опыт для двух других значений тока накала. Данные занести в аналогичные таблицы.

7. Построить графики зависимости lnI=f(Uз) для трех значений тока накала.

8. Из графиков определить (как угловой коэффициент прямой), вычислить три температуры Т катода, соответствующие различным значениям тока накала.

9. Определить наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичную скорости электронов для одного из найденных значений температур.

10. Рассчитайте погрешность косвенных измерений наиболее вероятной и среднеквадратичной скорости электронов.

Контрольные вопросы и задания

1. Записать формулы распределений Максвелла по модулю скорости, по проекции скорости.

2. Нарисовать графики функции распределения Максвелла по модулю и проекции скорости для различных температур.

3. От чего зависит наиболее вероятная, средняя, среднеквадратичная скорости электронов? Записать соответствующие формулы.

4. Какой знак заряда приобретает анод, если нагреть катод электронной лампы при разомкнутой анодной цепи и почему?

5. В чем причина возникновения тока в замкнутой анодной цепи?

6. Каким образом можно изменить задерживающую разность потенциалов при заданном токе накала?

7. Как зависит ток анода от задерживающей разности потенциалов?

8. Как проверить выполнение распределения Максвелла для системы электронов в электронной лампе?