ЭЛЕКТРОТЕХНИКА / Электротехника и электроника Конюшенко 2007

21

Реальными устройствами (резисторами, реостатами, катушками, обмотками электромагнитов, нагревательными спиралями и т. д.) потребляется именно энергия, но в электротехнике для краткости применяют термины: потребляемая мощность, генерируемая мощность и т. п. В соответствии с зако-

ном Джоуля Ленца потребляемая резисторами мощность

Единица измерения мощности в Международной системе единиц (СИ)

ватт (Вт).

Косновным законам электрических цепей относят и два закона Кирхгофа. Прежде чем их сформулировать, необходимо ввести новые понятия, касающиеся электрических цепей.

Простейшая электрическая цепь, изображенная на рис. 1.2, когда во всех элементах проходит один и тот же ток, называется неразветвленной. Электрическая цепь, представляющая собой сложную комбинацию соединений пассивных и активных элементов, где есть несколько путей для токов, называется разветвленной. Примером может быть цепь, изображенная на рис. 1.4.

Узлом цепи называют такую ее точку, в которой сходятся не менее трех токов. В схеме рис. 1.4 только точки a и b являются узлами.

Ветвь – это участок цепи между двумя узлами. Ветвь может содержать любое число последовательно включенных активных и пассивных элементов, но ток через них один и тот же. Последнее утверждение не нуждается в особом доказательстве, если помнить определение электрического тока и учесть, что вдоль ветви заряды из элементов не уходят и движутся одновременно по всем ее участкам.

Контуром электрической цепи называют любой замкнутый путь, проходящий по нескольким участкам без повторений. На рис. 1.4 примерами контуров могут быть названы пути adbca, aebda. Первый закон Кирхгофа справедлив для узлов и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

22

Применительно к узлу a схемы рис. 1.4, первый закон Кирхгофа можно записать как

I1 I2 I3 0.

Чаще всего принято токи, направленные к узлу, брать со знаком плюс, а направленные от узла со знаком минус. Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения количества электричества и констатирует тот факт, что носители зарядов не могут накапливаться или исчезать в узле.

Второй закон Кирхгофа применим для контуров цепи и формулируется так: алгебраическая сумма напряжений всех участков контура равна нулю:

Второй закон Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии, в силу которого потенциал любой точки цепи однозначно определяется ее положением в

цепи и алгебраическая сумма изменений потенциала при обходе контура равна нулю, так как мы возвращаемся в исходную точку, а следовательно, к исходному потенциалу.

Выражение (1.8) для практической записи уравнений неудобно, так как надо обращать внимание на полярность источников ЭДС и помнить, что на них направления ЭДС и напряжения противоположны. Чаще применяют следующую форму записи второго закона Кирхгофа:

т. е. алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом же контуре. Для

составления уравнения (1.8 ) следует произвольно выбрать направление обхода контура и в тех случаях, когда направления токов резисторов и ЭДС совпадают с направлением обхода контура, соответствующие слагаемые в

23

левой и правой частях уравнения берут со знаком плюс, если не совпадают, то берут знак минус. Например, для контуров рис. 1.4 при указанных стрелками направлениях обхода получаем

R1I1 R2 I2 E1 E2 ;

R2 I2 R3 R4 I3 E2 .

На рис. 1.5 показана ветвь с последовательно соединенным источником постоянной ЭДС E, резистивным элементом сопротивлением R. Через ветвь проходит ток I, значение которого в общем случае зависит не только от данного источника ЭДС, но и от напряжения, создаваемого источниками остальной части электрической цепи, присоединенной к выводам a и b.

Величина тока I может быть определена на основании закона Ома для активного участка цепи, согласно которому ток такого участка равен алгебраической сумме его напряжения и ЭДС, деленной на сопротивление участка:

Рис. 1.5

Напряжение и ЭДС берут со знаком плюс, если их направления совпадают с направлением тока, и со знаком минус, когда их направления противоположны направлению тока. Всего в формуле (1.9) может быть четыре комбинации расстановки знаков, в зависимости от того, как направлены по отношению к току напряжение и ЭДС.

Доказательство закона Ома для активного участка цепи получить очень просто, если применить второй закон Кирхгофа для контура на рис. 1.5, где стрелка напряжения заменяет замыкающую ветвь, элементы которой не нанесены.

Если разветвленная цепь содержит источники в нескольких ветвях, режим ее работы не может быть описан только законами Ома. Но это можно выполнить на основании первого и второго законов Кирхгофа.

Пример 1.1. Автомобильный стартер СТ23ОА при пуске ДВС потребляет от аккумуляторной батареи ток I = 180 A. ЭДС аккумуляторной батареи E = 12 B, а ее внутреннее сопротивление Rвт = 0,015 Ом. Определить напря-

жение на зажимах аккумуляторной батареи и падение напряжения на медном

24

проводе длиной 1м и эффективным сечением S = 10 мм2, соединяющем плюсовой зажим батареи со стартером. Принять удельное сопротивление меди

=0,0172 Ом мм2/м.

Решение. 1. Составим схему замещения цепи. Она должна включать идеальный источник ЭДС и резистивный элемент Rвт , отражающие свойства

реальной аккумуляторной батареи; резистивный элемент Rпр , отражающий необратимые потери энергии в проводе, а также резистивный элемент Rст ,

отражающий необратимые преобразования электроэнергии стартером в другие виды энергии. На автомобилях используется однопроводная система передачи электроэнергии: потребители соединены с плюсовыми зажимами генератора и аккумуляторной батареи. Другим проводом служат массивные металлические узлы и агрегаты, соединенные с отрицательным зажимом источников. Сопротивлением этих массивных металлических частей обычно пренебрегают, и схема замещения будет иметь вид, представленный на рис. 1.6.

2. В соответствии с формулой (1.4), напряжение на зажимах аккумуляторной батареи

U E RвтI 12 0,015 180 9,3 B.

3.Сопротивление соединительного провода

4. Падение напряжения на проводе

Uпр Rпр I 1,72 10 3 180 0,31 B.

В технических требованиях на проектирование и изготовление систем электростартерного пуска обычно указывают, что сопротивление стартерных проводов не должно превышать 0,002 Ом.

25

1.1.3 Режимы работы источников и приемников электроэнергии

Инженеры транспортных специальностей, применяя электроэнергию для осуществления той или иной технологической задачи, должны четко знать, каковы должны быть соотношения параметров источника и приемника, чтобы добиться оптимального режима работы электрической цепи постоянного тока. В принципе эти вопросы можно рассмотреть на примере простейшей цепи (рис. 1.7).

Она состоит из источника постоянного тока с ЭДС E и внутренним сопротивлением Rвт , который

генерирует электрическую энергию, и получающего энергию приемника с изменяющимся сопротивлением R (часто изменяется само число включаемых приемников). Цепь имеет множество режимов работы, но из них следует выделить четыре самых важных.

Номинальный режим работы источника энергии, приемника или другого устройства характеризуется такими значениями тока, мощности, напряжения и др., на которые он рассчитан заводом изготовителем и которые называются его номинальными (или техническими)

данными. Эти данные указываются в паспорте, каталоге, а также на щитке устройства, и при них гарантируются наилучшие условия работы (наиболее высокий КПД, надежность, долговечность и т. п.).

Номинальные данные означают, что устройство может надежно работать в течение заданного срока службы без перегрева и других недопустимых последствий, пока не превышаются указанные значения. Естественно, что это устройство может работать и при уменьшенных нагрузках, и при некоторых отклонениях напряжения от номинального; могут быть допущены и кратковременные перегрузки. Длительные перегрузки недопустимы, так как ведут к выходу устройства из строя. Например, электродвигатель, рассчитанный на срок службы 15 20 лет при номинальной нагрузке, выйдет из строя уже через 3 часа, если нагрузка (определяемая по механической мощности или моменту на валу) составляет 1,5 номинальной. Это связано с тем, что срок службы электродвигателя определяет в основном нагревостойкость изоляции, и, когда температура обмоток на несколько десятков градусов выше допустимой, быстро снижается электрическая и механическая прочность изоляции. Очевидно, что нужно задавать такую плотность тока в проводниках катушек, обмоток, при которой температура изоляции не превышала бы допустимого значения. В предварительных или приближенных расчетах катушек электрических машин и аппаратов для разных условий охлаждения допустимая плотность тока при длительной работе многослойных катушек из

26

медных проводов с хлопчатобумажной, шелковой и эмалевой изоляцией принимают 1,5 3 А/мм2.

В режиме холостого хода (х. х.) источники энергии приемника отключены и ток нагрузки равен нулю (формально сопротивление нагрузки бесконечно больше). Напряжение на зажимах источника питания равно его ЭДС, мощность потребления энергии нагрузкой равна нулю.

Короткое замыкание (к. з.) как аварийный режим имеет место при замыкании накоротко зажимов источника питания или проводов линии от источника питания к приемнику, когда ток ограничивается только внутренним сопротивлением источника или суммарным сопротивлением источника и проводов линии.

Ток при коротком замыкании

Iк. з. Rвт Е RЛ ,

где RЛ – сопротивление проводов линии на участке от источника до места замыкания. Ввиду того, что внутреннее сопротивление источника Rвт

очень мало, а также и провода обычно имеют незначительное сопротивление, ток источника возрастает до весьма больших значений.

Защищают источник и провода линии от теплового действия токов короткого замыкания в основном с помощью плавких предохранителей. Они представляют собой элементы цепи с искусственно пониженной термостойкостью в сравнении со всеми остальными ее звеньями. Пониженную термостойкость имеет только ведущая часть предохранителя – плавкая вставка. Это одна или несколько коротких проволок или же пластинка из материала с повышенным удельным сопротивлением и относительно низкой температурой плавления (свинца, цинка, сплава свинца и олова). При появлении токов короткого замыкания плавкая вставка перегорает (расплавляется) и отключает поврежденное устройство от источника питания. Короткое замыкание является аварийным режимом, но может выполняться и преднамеренно при пониженном напряжении для исследования цепи.

Согласованным называется режим, при котором приемник потребляет от цепи максимальную мощность. Он чаще всего применяется в радиотехнике, радиоэлектронике, измерительной технике, в особых случаях работы автомобильного стартера. При согласованном режиме КПД электрической цепи составляет 50 %, и он допустим только в маломощных цепях, где стоимость потерь энергии несущественна. Для промышленных или бортовых автомобильных электрических сетей важно, чтобы КПД был высоким, а это реализуется в том случае, когда сопротивление нагрузки значительно больше сум-

27

мы внутреннего сопротивления источника питания и сопротивления проводов линии.

Пример 1.2 Автомобильный стартер в начальный момент времени после подключения его к аккумуляторной батарее может быть представлен на схеме замещения (рис. 1.7) обычным резистивным элементом R (реально это суммарное сопротивление обмоток возбуждения и якоря), E – ЭДС аккумуляторной батареи, Rвт – ее внутреннее сопротивление.

Доказать, что при R = Rвт аккумуляторная батарея передает во внеш-

нюю цепь, т. е. стартеру, максимальную мощность.

Решение На основании закона Ома для полной цепи (1. 3) ток стартера

При этом мощность внешней цепи

То, что мощность PH имеет максимум, показывает качественный анализ формулы (I). Мощность нагрузки PH при холостом ходе R (R ) равна нулю за счет нулевого значения тока.

При коротком замыкании (R = 0) ток источника значителен:

Iк. з. RE ,

вт

но вся энергия выделяется внутри источника ЭДС, и во внешнюю цепь ничего не поступает: мощность PH равна нулю за счет равенства нулю сопротивления R.

Следовательно, при каком-то промежуточном значении R мощность PH будет иметь максимум за счет максимального значения множителя, R/(R + Rвт)2, так как E = const. Рассматривая R как независимую переменную вычислим первую производную этой дроби по R и приравняем ее нулю:

28

После дальнейших преобразований

R Rвт 2 2R R Rвт 0,

откуда R Rвт .

Ток стартера в этом случае

I 2 ERвт 12 Iк. з.

Некоторые стартерные двигатели для тяжелых условий пуска двигателя внутреннего сгорания проектируют из расчета работы при пусковом токе 0,7 Iк.з. Для аккумуляторной батареи это очень напряженный режим работы,

но он поддерживается короткое время, порядка одной секунды, и с увеличением частоты вращения электродвигателя ток батареи уменьшается до безопасной величины.

1.1.4 Применение законов Кирхгофа для расчетов разветвленных цепей постоянного тока

Электрическая цепь находится под воздействием источников ЭДС. В зависимости от схемы соединений, параметров источников и параметров цепи, которые длительное время не изменяются, в ветвях установится ток или распределение токов. Чаще всего нужно решить задачу определения токов ветвей, когда заданы величины ЭДС источников питания и сопротивления потребителей. После вычисления токов могут быть решены вопросы проектирования, эксплуатации, оценки потребляемой мощности и мощности потерь, экономичной работы цепи и отдельного потребителя, а также другие практические задачи.

29

Как было сказано выше, задача определения токов ветвей базируется на расчетах схем замещения. Пусть для некоторой реальной электрической цепи составлена схема замещения (рис. 1.8.) Величины ЭДС источников и сопротивлений резистивных элементов будем считать заданными.

Рассмотрим расчет токов ветвей путем непосредственного применения законов Кирхгофа.

Перед тем как составить уравнения, необходимо произвольно выбрать положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме. Число независимых токов цепи равно числу m ее ветвей, и для схемы рис. 1.8 m = 6.

Следовательно, для определения шести независимых токов необходима независимая система из шести уравнений. Естественно воспользоваться пер-

вым законом Кирхгофа, так как уравнения, основанные на нем, очень просты. По первому закону Кирхгофа можно составлять столько независимых уравнений, сколько цепь имеет узлов без одного. Цепь на рис. 1.8 имеет четыре узла (k = 4, точки a, b, c, d). Поэтому можно составить три уравнения, например, для узлов a, b и c :

Для четвертого узла записывать уравнение не имеет смысла, так как оно обязательно будет линейной комбинацией трех предыдущих уравнений. Дополнительно три независимых уравнения (в общем случае n = m-(k-1)) нужно составить по второму закону Кирхгофа. Выбрав направления обхода трех независимых контуров (I, II, III на рис. 1.8) цепи, составим необходимые три уравнения. Падения напряжения на резистивных элементах следует считать направленными, так же как и токи этих элементов. Для контура I составим уравнение

30

Аналогично для контуров II и III:

После этого полная система уравнений (1) (6) должна быть решена, и в результате будут получены искомые значения токов. Если после расчетов какой-либо из токов окажется отрицательным, то это означает, что выбранное направление противоположно фактическому.

При расчете токов ветвей методом непосредственного применения законов Кирхгофа выполняют его в такой последовательности:

1)произвольно выбирают положительные направления токов ветвей, подсчитывают число неизвестных токов m и число узлов k;

2)по первому закону Кирхгофа записывают k - 1 уравнений;

3)выбирают [m - (k - 1)] = n простых независимых контуров, указывают направления их обхода и по второму закону Кирхгофа составляют n уравнений. Независимость контуров будет обеспечена, если в каждый из них будет входить хотя бы одна ветвь, не входящая в другие контуры;

4)решают полученную систему n уравнений.

Рассмотренный метод расчета универсален, обладает наглядностью и физической ясностью, применим к схемам любой конфигурации, однако он является весьма трудоемким, поскольку необходимо решать систему уравнений, которая может быть очень громоздкой. На практике чаще применяются специальные методы, позволяющие быстро рассчитать токи ветвей без составления системы уравнений. Но это возможно только для цепей особого вида или в случае особой постановки задачи расчета токов.

1.1.5 Цепь с одним источником питания. Метод эквивалентных преобразований

Если в цепи постоянного тока действует только один источник ЭДС, то токи ветвей могут быть относительно просто определены без составления и решения системы уравнений. В этом случае используют так называемый метод эквивалентных преобразований. Он основан на упрощении исходной электрической схемы цепи, когда участки с большим числом элементов заменяют участками с меньшим числом элементов. Замена одних участков другими должна быть обязательно эквивалентной: мощности потребления электроэнергии на всех участках остаются без изменения; напряжения и токи