ЭЛЕКТРОТЕХНИКА / Электротехника и электроника Лукьянычев 2000

Среднее значение второй слагающей за время T, в течение которого она совершает два цикла изменений, равно нулю. Поэтому активная мощность, поступающая в

рассматриваемый участок цепи, P = 1 T∫uidt =UI cosϕ.

T 0

Множитель cosφ носит название коэффициента мощности. Как видно из последней формулы, активная мощность равна произведению действующих значений напряжения и тока, умноженному на коэффициент мощности. Чем ближе угол φ к нулю, тем ближе cosφ к единице и, следовательно, тем больше при заданных значениях U и I активная мощность передается источником приемнику.

Произведение действующих значений тока и напряжения на зажимах цепи: S=UI, называется полной мощностью цепи и измеряется в вольт-амперах (ва). Коэффициент

мощности равен отношению активной мощности к полной: cosϕ = P S .

При расчетах электрических цепей и на практике в эксплуатации пользуются понятием реактивная мощность, которая вычисляется по формуле Q=UIsinφ и является мерой потребления (или выработки) реактивного тока. Эта мощность измеряется в реактивных вольт-амперах (вар).

3.10 КОМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Тригонометрическая форма расчета электрических цепей синусоидального тока практически применяется только для простейших случаев. Более удобным расчетным методом служит метод комплексных амплитуд (комплексный метод), основанный на замене рассмотрения синусоидальных функций рассмотрением вращающихся векторов на комплексной плоскости.

Ранее было показано, что законы Кирхгофа справедливы, если суммирование действующих токов или напряжений вести в векторной форме. Однако геометрическое сложение векторов неудобно. В комплексном методе положение векторов на комплексной плоскости определяется посредством комплексных чисел. Геометрическое суммирование векторов заменяется алгебраическими операциями над комплексными числами, что значительно проще и быстрее. После выполнения всех расчетов в комплексной форме, в случае необходимости, можно вернуться к исходным синусоидальным функциям времени

(в электротехнике не пользуются обозначением i, так как буква i обозначает ток).

Комплексная величина i , зависящая от времени, модуль и аргумент которой равны, соответственно, амплитуде и аргументу данного синусоидального тока, называется комплексным мгновенным синусоидальным током. Аналогично можно представить

вращающийся вектор напряжения (рис.3.14) u =U me j(ωt+ψu ) . Комплексная

величина u называется комплексным мгновенным синусоидальным напряжением. Запись тока и напряжения в комплексном виде следует рассматривать как условное

(то есть символическое) изображение тока i = I m sin(ωt +ψi ) и напряжения u =U m sin(ωt +ψu ) . Черточка над мгновенными значениями тока и напряжения отличает

42

комплексную форму мгновенных значений вращающихся векторов от обычной формы мгновенных значений токов и напряжений.

Комплексные ток и напряжение можно представить иначе:

Точка над действующим или амплитудным значением напряжения или тока отличает комплексную форму записи этих величин от обычной.

Закон Ома в комплексной форме можно записать в следующем виде:U& = I&Z . Комплексная величина Z, равная отношению комплексного напряжения на зажимах электрической цепи к комплексному току в этой цепи, называется комплексным сопротивлением. Комплексное сопротивление можно представить в тригонометрической и алгебраической формах: Z=zcosφ+jzsinφ=r+jx. Величина обратная Z, называется комплексной проводимостью и равна:

Рис.3.15

3.11 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЕАКТИВНЫХ ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Как отмечалось в разделе 2.4, двухполюсником называется любая электрическая цепь или часть электрической цепи, имеющая два вывода. Различают двухполюсники активные и пассивные. Здесь рассматриваются только пассивные двухполюсники. По числу элементов, входящих в двухполюсник, различают одноэлементный, двухэлементный и многоэлементный двухполюсники. По характеру этих элементов двухполюсники делятся на реактивные, то есть состоящие из индуктивностей и емкостей, и двухполюсники с потерями, содержащие активные сопротивления. Реактивные двухполюсники представляют собой идеализированные электрические схемы, приближающиеся пор своим свойствам к физически существующим цепям с малыми потерями.

Частотные характеристики сопротивлений или проводимостей двухполюсников, образующих электрическую цепь, предопределяют частотные и резонансные свойства цепи, то есть зависимости амплитуд и фаз токов и напряжений от частоты.

43

3.11.1 Одноэлементные реактивные двухполюсники

Индуктивность и емкость представляют собой простейшие одноэлементные реактивные двухполюсники. Знак комплексного сопротивления и комплексной проводимости каждого из этих двухполюсников не зависит от частоты; этим они существенно отличаются от других, более сложных реактивных двухполюсников, содержащих неоднородные реактивные элементы, то есть индуктивность и емкость в разных сочетаниях.

Во всем спектре частот комплексные сопротивление и проводимость для

координат, представляют собой прямые линии, а частотные характеристики ZC и YL - равнобочные гиперболы (рис.3.16).

Рис.3.16

Следует заметить, что как сопротивления, так и проводимости одноэлементных реактивных двухполюсников возрастают (с учетом знака) по мере повышения частоты, то

Это является общим свойством всех реактивных двухполюсников, а не только одноэлементных.

3.11.2 Двухэлементные реактивные двухполюсники

Двухэлементные двухполюсники, составленные из индуктивности и емкости, представляют собой простейшие резонансные цепи.

При последовательном соединении индуктивности и емкости алгебраически складываются комплексные сопротивления. На рис.3.17а жирной линией показана частотная характеристика двухполюсника, она пересекает ось абсцисс при резонансной

характеристика проводимости того же двухполюсника представляет собой функцию, обратную сопротивлению: Y =1/ Z . Кривая Y показана на рис.3.17б. При резонансной частоте проводимость рассматриваемого двухполюсника обращается в бесконечность; эта точка носит название полюса функции Y.

В области частот ниже резонансной (ω <ω0 ) сопротивление емкостного элемента

превышает по абсолютной величине сопротивление индуктивного элемента; при этом сопротивление двухполюсника имеет емкостной характер.

44

В области частот выше резонансной (ω > ω0 ) абсолютная величина емкостного

сопротивления меньше величины индуктивного; сопротивление двухполюсника имеет индуктивный характер.

При параллельном соединении индуктивности и емкости алгебраически складываются их комплексные проводимости. На рис.3.18а жирной линией показана частотная характеристика двухполюсника. Частотная характеристика сопротивления того же двухполюсника представляет собой функцию, обратную проводимости: Z =1/ Y . Кривая Z показана на рис.3.18б. Частота, при которой характеристика Y пересекает ось абсцисс (нуль функции Y), а характеристика Z уходит в бесконечность (полюс функции Z), является резонансной частотой (резонанс токов).

перекомпенсирует проводимость емкостного элемента и сопротивление двухполюсника получается индуктивным. В области частот выше резонансной наблюдается обратное явление и сопротивление двухполюсника имеет емкостной характер.

3.11.3 Многоэлементный реактивный двухполюсник

Многоэлементный реактивный двухполюсник может быть получен в результате различных сочетаний одноэлементных и двухэлементных двухполюсников.

Из свойства положительности производной dZ/jdω (или dY/jdω) следует, что нули и полюса функции Z (или Y) должны чередоваться, так как при наличии двух последовательных нулей, не разделенных полюсом, имелся бы участок характеристики с отрицательной производной.

45

В общем случае, если при ω=0 сопротивление реактивного двухполюсника равно нулю, то есть имеется путь для постоянного тока, то первым наступает резонанс токов, за ним следует резонанс напряжений и так далее. В противном случае порядок расположения резонансов обратный: первым наступает резонанс напряжений, вторым – резонанс токов и так далее. У реактивных двухполюсников сумма полюсов и нулей (не считая точек ω=0 и ω= ∞ ) на единицу (или более) меньше числа элементов двухполюсника.

3.12 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ПО МОДУЛЮ 3

1.Что такое положительное направление синусоидального тока?

2.Что понимается под полярностью источника синусоидального напряжения или источника синусоидального тока?

3.Что такое фазовый сдвиг тока относительно напряжения? Чем вызван фазовый сдвиг?

4.Какова разница между активной, реактивной и полной мощностями? В каких единицах они измеряются?

5.Почему в общем случае активная проводимость ветви не равна величине, обратной активному сопротивлению этой ветви? В каком частном случае выполняется такое равенство?

6.Для чего стремятся повысить коэффициент мощности электрической установки?

7.В каком колебательном контуре при резонансе полное сопротивление цепи принимает максимальное значение?

8.В каком колебательном контуре при резонансе ток в цепи достигает максимальное значение?

9.Чем определяется число нулей и полюсов многоэлементных реактивных двухполюсников, а также их последовательность на характеристике?

10.Разобрать резонансные явления в трехэлементном реактивном двухполюснике.

Выполнить лабораторную работу по теме «Электрические цепи однофазного синусоидального тока», используя соответствующую моделирующую программу.

Задания для расчетной работы «Резонанс в электрической цепи».

Определить расчетным путем резонансные частоты заданного колебательного контура. Используя моделирующую программу, проверить правильность найденных значений. Построить характеристики зависимостей напряжения и фазы от частоты для исследуемой электрической цепи. Построить графики зависимости полного сопротивления и проводимости схемы от частоты, отметив на них точки резонансов (полюса и нули соответствующих функций).

Схема, для которой необходимо определить значения резонансных частот, и соответствующие ей параметры элементов определяются в соответствие с выданным вариантом. Источник синусоидального напряжения во всех вариантах равен 10 В.

46

4. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Установившиеся процессы в линейных электрических цепях характеризуются тем, что напряжение и ток либо неизменны во времени (цепи постоянного тока), либо представляют собой периодические функции времени (цепи переменного тока). Наступлению установившегося процесса, отличного от первоначального режима работы цепи, предшествует, как правило, переходной процесс, при котором напряжение и токи изменяются непериодически.

Переход от одного режима работы цепи к другому может быть вызван изменением параметров или схемы цепи, называемым в общем случае в электротехнике коммутацией. Теоретически можно считать, что коммутация цепи производится мгновенно, то есть на включение, выключение или переключение цепи время не расходуется. Тем не менее, переход от исходного режима работы цепи к последующему происходит не мгновенно, а в течение некоторого времени. Объясняется это тем, что каждому состоянию цепи соответствует определенный запас энергии электрических и магнитных полей. Переход к новому режиму связан с нарастанием или убыванием энергии этих полей. Энергия, запасаемая в магнитном поле индуктивности, и энергия, запасаемая в электрическом поле емкости, не могут изменяться мгновенно: энергия может изменяться непрерывно, без скачков, так как в противном случае мощность, равная производной энергии по времени, достигла бы бесконечных значений, что физически невозможно.

Для завершения переходного и наступления установившегося процессов теоретически требуется бесконечно большое время. Практически, однако, время переходного процесса определяется малым интервалом, по истечении которого токи и напряжения настолько приближаются к установившимся значениям, что разница оказывается практически не ощутимой.

В одних случаях переходные процессы в электрических цепях нежелательны и опасны, в других случаях – представляют собой естественный, нормальный режим работы цепи, как это, например, имеет место в радиопередающих и радиоприемных устройствах.

4.1 ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ

Положения о том, что запас энергии магнитного или электрического поля может изменяться только плавно, без скачков, выражают принцип непрерывности во времени потокосцепления индуктивности и электрического заряда емкости и называются законами коммутации.

Невозможность скачкообразного изменения потокосцепления следует из того, что в противном случае на индуктивности появилось бы бесконечно большое напряжение

uL =dψ/dt= ∞, что лишено физического смысла. Ввиду равенства ψ=Li принцип

непрерывности потокосцепления означает, что при неизменном L ток i не может изменяться скачком. Итак, в начальный момент после коммутации ток в индуктивности остается таким же, каким он был непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменяется.

Аналогично невозможность скачкообразного изменения электрического заряда q следует из того, что в противном случае через емкость проходил бы бесконечно большой ток iC =dq/dt= ∞, что также лишено физического смысла. Ввиду равенства q=C uC

принцип непрерывности электрического заряда означает, что при неизменном C напряжение uC не может изменяться скачком. Итак, в начальный момент после

коммутации напряжение на емкости остается таким же, каким оно было непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменяется.

В цепях с идеализированными сосредоточенными параметрами скачкообразно могут изменяться: 1) токи в сопротивлениях и емкостях и 2) напряжения на сопротивлениях и индуктивностях.

48

Значения тока в индуктивности и напряжения на емкости в момент коммутации называются независимыми начальными условиями.

Обычно принимают, что коммутация происходит в момент времени t=0; тогда ток в индуктивности и напряжение на емкости в момент времени непосредственно перед коммутацией обозначается через iL (0−) и uC (0−) , а в начальный момент переходного

процесса после коммутации – через iL (0) и uC (0) . На основании законов коммутации:

iL (0−) = iL (0), uC (0−) = uC (0).

Эти равенства выражают начальные условия цепи, в которой происходит коммутация.

При расчете переходных процессов в разветвленных электрических цепях наряду с независимыми начальными условиями используются так называемые зависимые начальные условия, а именно: значения токов, напряжений и их производных в начальный момент времени (t=0).

4.2ПРИНУЖДЕННЫЙ И СВОБОДНЫЙ РЕЖИМ

Вобщем случае анализ переходных процессов в линейной цепи с сосредоточенными параметрами r, L, C сводится к решению обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений, выражающих законы Кирхгофа. Эти уравнения представляют собой линейную комбинацию напряжений, токов, их первых производных и интегралов по времени.

Например, если какая-нибудь э.д.с. e(t) включается в цепь, состоящую из последовательно соединенных r ,L, C, то уравнение имеет вид:

ri + L dtdi + C1 ∫idt = e(t).

Это уравнение после дифференцирования приводится к неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка

Как известно, общий интеграл такого уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Частное решение выражает принужденный режим, задаваемый источником. Если воздействующая функция, стоящая в правой части уравнения, постоянна или является периодической функцией времени, то принужденный ток будет одновременно и установившимся. Расчеты установившихся токов для этих случаев рассматривались в предыдущих разделах.

Общее решение физически определяет поведение цепи при отсутствии внешних источников электрической энергии и заданных начальных условиях. Функции, определяемые общим решением, называются свободными составляющими (токов, напряжений и прочее).

В случае, рассмотренном выше, однородное уравнение имеет вид:

и соответствующее ему характеристическое уравнение

Lp2 + rp + C1 = 0.

Если корни характеристического уравнения обозначить через p1 и p2 , то общее решение запишется в виде:

которые определяются из начальных условий.

49

Полный переходный ток в цепи равен сумме принужденного и свободного токов: i(t) = iпр(t) + iсв(t).

Аналогично напряжение, заряд и другие функции на любом участке цепи в переходном режиме состоят из принужденной и свободной составляющих.

В зависимости от порядка дифференциальных уравнений, описывающих исследуемые переходные процессы, различают цепи первого, второго и более высокого порядков. В цепях первого порядка накопление энергии происходит только в одном элементе L или C. Одноконтурная цепь, содержащая элементы, в которых накапливается энергия обоих видов - магнитная и электрическая, представляет собой цепь второго порядка (цепь r, L, C). Разветвленные цепи могут быть более высокого порядка.

4.3 ПЕРЕХОДНОЙ ПРОЦЕСС В ЦЕПИ r, L

Переходной ток в цепи определится суммой принужденного и свободного токов:

Принужденный ток может быть найден, если задана э.д.с. e(t). Рассмотрим три случая:

1.Включение в цепь r,L постоянной э.д.с. E.

2.Короткое замыкание цепи r,L.

3.Включение в цепь r,L синусоидальной э.д.с. Em sin(ωt +ψ).

4.3.1 Включение в цепь r, L постоянной э.д.с.

При включении в цепь r, L постоянной э.д.с. E принужденный ток равен E/r.

значение, к которому стремиться ток i(t) по мере неограниченного возрастания t, называемое установившимся током.

В начальный момент времени t=0 э.д.с. самоиндукции eL = −L dtdi (0)= −E и

полностью компенсируется э.д.с. источника, так как ток i(0) равен нулю.

С течением времени э.д.с. самоиндукции убывает, а ток в цепи возрастает, асимптотически приближаясь к установившемуся значению.

50