ИнМu_lectures

Евклидова (стандартная) топология τ в Rn состоит из и произвольного объединения открытых шаров Br(a). Евклидово пространство — это множество Rn с евклидовой топологией.

Каждое подмножество A топологического пространства X автоматически наследует топологию из X: открытыми подмножествами в A являются те и только те, которые представляются пересечением A ∩ U, где U τ —

открытое подмножество в X.

Заметим, что на одном и том же множестве можно разными способами задать семейство открытых множеств τ, тем самым превратив его в различные топологические пространства. В качестве примера наряду с евклидовой топологией на R2 рассмотрим еще одну.

Пример 1.1 (Топология Зарисского на C). Пусть X = C — комплексная плоскость, а τ состоит из и семейства подмножеств U = C\Zα, где Zα —

конечное множество точек из C. Первая аксиома, очевидно, выполняется. Проверим выполнение второй аксиомы. Пусть Uα = C\Zα. Тогда по правилу де Моргана

поскольку пересечение любого числа конечных множеств, конечно. Выполнение третьей аксиомы проверяется аналогично.

Формализуем теперь понятие непрерывной деформации пространства.

Определение 1.2. Отображение f : X → Y топологического пространства X в топологическое пространство Y называется непрерывным, если прообраз каждого открытого в Y множества открыт в X.

Определение 1.3. Топологические пространства X и Y называются

гомеоморфными, если существует взаимно однозначное непрерывное отображение f : X → Y , обратное к которому f−1 также непрерывно.

В этом случае отображение f называют гомеоморфизмом.

12 И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Пример 1.2. Прямая R1 гомеоморфна интервалу (−1, 1). Гомеоморфизм осуществляется при помощи функции y = tg π2 x, которая непрерывна и допускает обратную функцию x = π2 arctg y, также непрерывную.

x

f(x) = tg(π2 x)

Заметим, что требуемый гомеоморфизм можно также осуществить с помощью другой монотонно возрастающей функции y = x tg π2 |x|.

Этот пример легко обобщается для произвольного n > 1.

Пример 1.3. Шар B = {x Rn : x < 1} гомеоморфен пространству Rn. Требуемый гомеоморфизм f : Bn → Rn осуществляет отображение

f: x = (x1, . . . , xn) → p · (x1, . . . , xn), где p = tg (π/2 · x ) .

Всамом деле, f инъективно: f сохраняет направления, поэтому если x′ ̸= x′′, но x′ = x′′ , то f(x′) ̸= f(x′′). Но f также сюрьективно: f принимает

все направления, а при выбранном направлении q, т.е. вектора единичной длины q = 1, значения

пробегают все значения с направлением q в силу замечания к примеру 1.2.

Многообразия естественно определить как такие топологические пространства, для каждой точки которых существует окрестность, гомеоморфная n-мерному евклидову пространству Rn.

Топологические пространства — очень широкий класс геометрических объектов, далеко не все они обладают таким свойством (локальной гомеоморфности Rn). Например, в пространстве из примера 1.1 вообще нет открытых множеств, гомеоморфных R2, за исключением самого X.

Итак, сформулированное выше условие накладывает ограничения на класс рассматриваемых топологических пространств. Возникает естественный вопрос, достаточно ли этого ограничения для того, чтобы избежать рассмотрения "странных" пространств? Следующий пример показывает, что еще недостаточно.

Пример 1.4 (Странное пространство, локально гомеоморфное R). Пусть

X — полуотрезок (−1, 2] прямой R. Определим на X топологию τ =

{ , X, {U}}, где U — произвольное объединение множеств вида:

a) (α, β), −1 6 α < β 6 2; b) (σ, 0) (γ, 2], −1 6 σ < 0, 0 6 γ < 2.

Покажем, что любая точка из X имеет окрестность, гомеоморфную R. Для точек x ̸= 2 такой окрестностью служит интервал (−1, 2). Если x = 2, то выберем ее окрестность U = (−1/2, 0) (3/2, 2] и определим отображение из U в интервал (−1, 1) по правилу:

2y, если −1/2 < y < 0;

f(y) =

4 − 2y, если 3/2 < y 6 2.

Это отображение взаимно однозначно, обратное к нему отображение f−1 : (−1, 1) → U определено формулой

x/2, если −1 < x < 0;

f−1(x) =

2 − x/2, если 0 6 x < 1.

Непрерывность f−1 в точках x ̸= 0 очевидна. Поскольку f−1(0) = 2, а всякая окрестность точки {2} U содержит подмножество вида

V = (σ, 0) (γ, 2], −1/2 < σ < 0, 3/2 < γ < 2,

получаем, что f−1(V ) = f(V ) = (2σ, 4 − 2γ) — окрестность точки {0}

(−1, 1).

Заметим, что в X любая окрестность точки {2} пересекается с каждой окрестностью точки {0}. Это означает, что точки {0} и {2} сколь угодно близки, что расходится с нашими представлениями об устройстве полуинтервала числовой прямой в обычной, т.е. евклидовой топологии.

0

−1

2

Странное пространство

Разумеется, причиной патологии в примере 1.4 было то, что мы объявили в нем окрестностями точки {2} объединения (σ, 0) (γ, 2], пересекающие любую окрестность точки {0}. Такая патология устраняется в следующем специальном классе топологических пространств.

Определение 1.4. Топологическое пространство X называется хаусдорфовым, если для любых точек x ̸= y существуют открытые множества Ux, x Ux и Uy, y Uy, такие, что Ux ∩ Uy = .

Очевидно, пространство Rn для любого n является хаусдорфовым. Окружность, сфера также являются хаусдорфовыми пространствами, поскольку свойство хаусдорфовости наследуется на подмножествах. Топологические пространства из примеров 1.1 и 1.4 не являются хаусдорфовыми.

В дальнейшем будем также предполагать, что топологическое пространство X связно и имеет счетную базу топологии.

3. Определение топологического многообразия

Теперь мы можем дать основное определение.

Определение 1.5. Топологическим многообразием размерности n называется произвольное хаусдорфово топологическое пространство X, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную пространству Rn.

Важное замечание. Согласно примеру 1.3, в определении топологического многообразия можно считать, что каждая точка имеет окрест-

ность, гомеоморфную шару из Rn. Очевидно, Rn можно также заменить на любую гомеоморфную ему область G Rn.

Если ϕ : U → G — гомеоморфизм окрестности U точки P на область G

из Rn, то ϕ называется координатным отображением. При этом координаты x объемлющего пространства Rn называются локальными координатами для окрестности U. Сама окрестность U называется координатной.

X

Uα

Определение 1.6. Система подмножеств Vα X топологического пространства X с топологией τ называется открытым покрытием X,

если все Vα τ и SVα = X.

α

Согласно определению 1.5, любое многообразие можно представить в виде

S

объединения X = Uα, где Uα — координатные окрестности, т.е. система

α

координатных окрестностей образует открытое покрытие X.

Пара (Uα, ϕα) называется картой многообразия, а совокупность всех карт A {(Uα, ϕα)} — атласом многообразия X.

Из определения 1.5 непосредственно следует, что как само пространство Rn, так и любая область, в частности, открытый шар в Rn, являются

топологическими многообразиями.

Пример 1.5 (График непрерывного отображения как пример многообразия).

Пусть задано непрерывное отображение f : Rn → Rm. Его графиком называется множество Γf = {(x, f(x))} Rn × Rm. По определению отображения, проектирование Γf на Rn является биекцией. Атлас состоит всего из одной карты (Γf , ϕ−1), где ϕ : Rn → Rn+m, ϕ−1(x, f(x)) = x.

Пример 1.6 (Кривая, не являющаяся топологическим многообразием). На лемнискате (или другой кривой с самопересечением) нельзя ввести структуру одномерного топологического многообразия.

O

Лемниската Бернулли

В самом деле, достаточно малая окрестность точки самопересечения O после выкалывания O разбивается на 4 связных компоненты, в то время как удаление одной точки в интервале (т.е. образ ϕ(O) при предполагаемом гомеоморфизме на интервал) разбивает его всего на две связные компоненты.

4. Гладкие многообразия

Рассмотрим отображение

ϕαβ = ϕβ · ϕ−α 1 : ϕα(Uα ∩ Uβ) −→ ϕβ(Uα ∩ Uβ).

Функции y = ϕαβ(x) — отображения областей евклидовых пространств, они называются функциями перехода от одних локальных координат к другим или соотношениями соседства между локальными картами Uα и Uβ.

Определение 1.7. Если все функции перехода ϕαβ принадлежат некоторому классу гладкости C, то многообразие X называется многообразием класса C.

Если C — класс непрерывных функций, то X — топологическое многообразие. Если C = Ck, то X является многообразием класса Ck, а если C

— класс аналитических функций, то и многообразие X называется аналитическим многообразием.

Определение 1.8. Дифференцируемой структурой класса C = Ck, 0 6 k 6 ∞ на многообразии X называется семейство F = {(Ui, ϕi)}i I координатных систем, обладающих следующими свойствами:

S

a)Ui = X;

i I

b) если Ui ∩ Uj ̸= , то отображение

ϕij = ϕj ◦ ϕ−i 1 : ϕi(Ui ∩ Uj) → ϕj(Ui ∩ Uj)

является k раз непрерывно дифференцируемым;

c) если координатная система (U, ϕ) связана с любой координатной системой (Ui, ϕi) F, условием b), то (U, ϕ) F.

Определение 1.9. Многообразие X с некоторой дифференцируемой структурой класса C называется дифференцируемым многообразием класса C.

В дальнейшем дифференцируемые многообразия класса C = C∞ мы будем называть гладкими многообразиями (или просто многообразиями).

Дифференцируемая структура F однозначно определяется любым подсемейством F′ F, удовлетворяющем условиям a), b).

Пример 1.7 (Два способа задания атласа на окружности). Окружность

S1 = {(x, y) R2 : x2 + y2 = 1}

является вещественным аналитическим многообразием.

Способ 1. Рассмотрим покрытие окружности двумя координатными окрестностями US и UN , где US = S1 \ {N}, UN = S1 \ {S}, соответственно,

локальные карты южного и северного полюсов окружности. Координатные отображения ϕS : US → Rt и ϕN : UN → Rτ осуществим, как показано на рисунке, проектируя точку P (x0, y0) S1 на ось переменного x из S и N

соответственно.

Любая точка P (x0, y0), за исключением северного и южного плюсов сферы содержится одновременно в обеих координатных картах. Из подобия треугольников NOA и DOS следует, что соотношение соседства имеет вид t = τ1 . Функция t = τ1 аналитическая вне точки τ = 0, поэтому окружность есть не только топологическое, но и аналитическое многообразие.

Для вывода явного вида координатных отображений также достаточно соображений подобия. Из подобия NOA и NP C, OBS и CP S, соответственно, следует, что

Способ 2. Построим атлас, в котором координатные отображения ϕ со-

ответствуют проекциям точки P (x0, y0) на оси Ox и Oy. Нам потребуются 4 локальные карты:

(U1±, ϕ1), и (U2±, ϕ2),

где Uj± — открытые полуокружности,

U1± = {(x, y) S1 : x 0}, U2± = {(x, y) S1 : x 0}

y

x

Четыре карты на S1

Не трудно убедиться, что соотношения соседства между локальными картами, пересечение которых не пусто, имеют вид x2 + y2 = 1. Например,

ϕ1 ◦ ϕ−2 1(x) = p(1 − x2) = y. Опять получаем, что соотношение соседства

— аналитическая функция.

Пример 1.8. На двумерной сфере S2 R3, как и на окружности, можно ввести структуру многообразия при помощи стереографической проекции. Зададим на S2 атлас, состоящий из двух карт U1 = S2 \{N} и U2 = S2 \{S}. Множества U1 и U2 образуют открытое покрытие сферы. Стереографические проекции из северного и южного полюсов, соответственно, будут иметь вид

и являются гомеоморфизмами из U1 и U2 на R2.

x3

N

P

ϕ2(P ) ϕ1(P )

S

Стереографическая проекция

Не трудно проверить, что все соотношение соседства есть функция класса C∞, откуда следует, что сфера S2 с атласом, состоящим из двух карт

(U1, ϕ1) и (U2, ϕ2) является гладким двумерным вещественным многообразием. Более того, S2 — вещественное аналитическое многообразие.

5. Комплексные многообразия

Комплексное (топологическое) многообразие размерности n определяется совершенно также, как и вещественное, с той лишь разницей, что каждая его точка должна обладать окрестностью, гомеоморфной Cn (либо шару или области в Cn).

Разумеется, n-мерное комплексное многообразие автоматически можно

рассматривать как 2n-мерное вещественное многообразие.

Однако, в работе с комплексными многообразиями (и даже в анализе на Cn) удобнее оперировать не с вещественными координатами

x1, y1, . . . , xn, yn, j = 1, . . . , n, а с комплексными координатами где zj = xj + iyj, zj = xj − iyj, j = 1, . . . , n.

Напомним связь между производными гладкой функции f : Cn → C по