Определение предела функции по Коши

Число называется пределом функции в точке , если для такое, что для из того, что следует, что : или при .

Определение предела функции по Гейне

Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , которая сходится к , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

13)

Если функция имеет производную в каждой точке своей области определения, то ее производная есть функция от . Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной) и обозначают символом .

Производные более высоких порядков определяются аналогично. То есть производная -го порядка функции есть первая производная от производной -го порядка этой функции.

14)

Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют производные в точке x₀. Тогда в этой точке имеют производные их сумма, произведение и, при дополнительном условии v(x₀) ≠ 0, их частное, причем:

15)

) Если функция u(x) дифференцируема в точке x₀, а функция y = f(u) дифференцируема в точке u₀ = f(x₀), то сложная функция F(x) = f(u(x)) дифференцируема в точке x₀, причем:

F '(x0) = f '(u(x0))u' (x0).

 

Пусть функция u = u(x) дифференцируема в точке x₀, а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u₀ = u(x₀), тогда сложная функция y = f(u(x)) дифференцируема в точке x₀, причем

 

df(u(x)) = f '(u0)u '(x0)dx.

Так как u ^'(x₀)dx = du, то

df(u(x)) = f '(u0)du

Последняя формула показывает, что дифференциал функции записывается формулой одного и того же вида как в случае функции от независимой переменной, так и в случае функции от функции.

Это свойство первого дифференциала называют инвариантностью (неизменностью)

16)

Предположим, что функциональная зависимость от не задана непосредственно , а через промежуточную величину — . Тогда формулы

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Пусть функция задана в параметрической форме, то есть в виде:

где функции и определены и непрерывны на некотором интервале изменения параметра . Найдем дифференциалы от правых и левых частей каждого из равенств:

Далее, разделив второе уравнение на первое, и с учетом того, что , получим выражение для первой производной функции, заданной параметрически:

17)

Суть метода логарифмического дифференцирования

Суть такого дифференцирования заключается в следующем: вначале находится логарифм заданной функции, а уже затем вычисляется от него производная. Пусть задана некоторая функция . Прологарифмируем левую и правую части данного выражения:

Далее продифференцируем полученное равенство при условии, что является функцией от , то есть найдемпроизводную сложной функции:

А тогда, выражая искомую производную , в результате имеем:

Рационально использовать логарифмическое дифференцирование и при нахождении производной показательно-степенной (или степенно-показательной) функции или "функции в степени функция", то есть в случае, когда заданная функция имеет вид . Логарифмируем левую и правую часть:

далее по свойствам логарифма

Тогда

Производную в левой части равенства находим как производную сложной функции, а в правой - как производную произведения: