Абстрактная алгебра

Множество G – группа относительно операции «*», если а, bG G и выполнены условия:

1) операция «*» ассоциативна, т.е. ,

2)  нейтральный элемент eG: а,

3) а  симметричный элемент G: .

Если «*» – сложение, то нейтральный – нулевой, симметричный – противоположный; если «*» – умножение, то нейтральный – единичный, симметричный – обратный.

Если операция «*» обладает свойством коммутативности: а, bМ , то группа – абелева.

Примеры групп: относительно сложения: Z, V², {2n}, R, C ;

относительно умножения: Q\{0}, R\{0}, C\{0}.

Множество М – кольцо, если в нем заданы две операции – сложение и умножение, т.е.

а, bМ М, и аbМ, со свойствами

1) коммутативность , ,

2) ассоциативность , ,

3) дистрибутивность (а + b)с = ас + bc, а(b+с) = аb + аc,

4)  нейтральный элемент для каждой операции

5) а  симметричный элемент для операции сложения

Примеры колец: Z,Q, R, {2n}, {}.

Множество М – поле, если оно – непустое кольцо и а, b0М  единственный элемент рМ: . Примеры: Q, R, С, {}.

Множество М – алгебра над числовым полем К, если оно – кольцо и аМ и   аМ, причем .

Операции над множествами:

Декартово произведение множеств А и В есть множество упорядоченных пар , где , . Декартово произведение множеств А, В, С есть множество упорядоченных троек , где , , .

Замыканием промежутков является отрезок .

Если R – бинарное отношение на множестве А, то оно может обладать свойствами:

Рефлексивность	если выполняется
Антирефлексивность	если не выполняется
Транзитивность	если выполняется
Симметричность	если выполняется
Антисимметричность	если выполняется
Асимметричность	если выполняется

Например, R есть « = ». Тогда оно рефлексивно: , транзитивно: , симметрично: .

Прочее

Корень уравнения принадлежит отрезку , если значения и разных знаков.

Приближенное вычисление определенного интеграла:

Формулы прямоугольников: Формула трапеций:

Интерполяционный многочлен Лагранжа второго порядка для функции , график которого проходит через точки с абсциссами x₁, x₂, x₃, имеет вид …

.

Формула Эйлера для ДУ с начальными условиями :

(Например, ), –шаг.

Формулы комбинаторики:

Перестановки из п элементов – наборы из всех этих элементов, отличающиеся друг от друга порядком. Число перестановок из п различных элементов равно. Размещения из п элементов по k – наборы из k элементов, отличающиеся либо составом, либо порядком. Число размещений из п элементов по k : . Сочетания из п элементов по k – наборы из k элементов, отличающиеся составом элементов. Число сочетаний из п элементов по k : .

Интегральное уравнение , Задача коши:

А, В – высказывания, 1-истинно, 0-ложно

высказывание		дизъюнкция АВ	конъюнкция АВ	отрицание А	импликация АВ	эквиваленция АВ
А	В
0	0	0	0	1	1	1
1	0	1	0	0	0	0
0	1	1	0	1	1	0
1	1	1	1	0	1	1

Граф G — это упорядоченная пара G: = (V,E), для которой выполнены условия: