Б

(Распределение Бернулли)

иномиальное распределение: Х={0,1,2,…,п}, Р(Х = т) = С_п^т q^п-mp^т, М(Х) = пр, D(X) = прq.

Распределение Пуассона: Х = {0, 1, 2, ….}, Р(Х = т) = ,  >0, М(Х) = , D(X) =.

Распределение	Плотность	М(Х)	D(Х)	Графики F(x) и
нормальное:		а	2
показательное	(a>0)
равномерное:

Для непрерывной СВ

Для дискретной СВ, .

Математическая статистика

п

Х	х1	х2	х3	….	хk
пi	п1	п2	п3	….	пk

– объем выборки.

Статистический ряд частот : .

Относительные частоты , .

Полигон частот Гистограмма частот

Площадь гистограммы

равна объему выборки п

Эмпирическая

функция

распределения

Выборочная средняях = (для не сгруппированных данных) или х = (для сгруппированных). х­ – несмещенная, состоятельная и эффективная оценка мат.ожидания.

Медиана М_е в делит ряд на две части, содержащие равное число вариант.

Мода М_о – варианта, имеющая наибольшую частоту.

Выборочная дисперсия , или .

– смещенная, состоятельная, эффективная оценка дисперсии.

Несмещенная оценка дисперсии – «исправленная» дисперсия: .

Выборочные моменты (т-го порядка): начальные , или ,

центральные , или . Асимметрия А= ,

Эксцесс Э = , σ = .

Интервальная оценка (доверительный интервал) параметра : , где *– точечная оценка,  - точность оценки.

Коэффициент корреляции , .

Уравнение линейной регрессии: Y на Х: , где ,

Х на У: , , 0. ,

Если основная гипотеза , то альтернативная (конкурирующая) может быть:

Комплексные числа и функции

Комплексное число z = a+bi, сопряженноеz = a-bi,

тригонометрическая форма z = r(cos +isin), где модуль r = ,

аргумент : , х = rcos, у = r sin

(

a + bi ) ± ( с + di) = (a ± c) + (b ± d)i, (a + bi )^.( с + di) = ac + bci + adi + bdi² = (ac – bd) + (bc + ad)i.

z₁^. z₂ = r₁^.r₂ (cos(j₁+j₂) + isin(j₁+j₂)), = ,

Функция ;



Производная – по тем же формулам, что и :  .

Функция аналитическая, если имеет производную. Условия аналитичности: и . Если, где (z) – аналитическая в точке z_o, то z_o–полюс порядка k.

Элементарные функции (аналитичные в области определения):

, , .

Если – аналитическая в обл. D, ограниченной замкнутым контуром С, то:

,

Ряд Лорана , , Г– окружность из области сходимости – кольца r < z – z _о  R, 0 < r < R.

– главная часть

– правильная часть

Вычет функции f(z) в точке z₀: . Формулы для вычисления:

если z₀ – полюс 1-го порядка: ,

если z₀ – полюс k-го порядка: .

- особая точка функции f(z), если или не существует. Если , то z₀ – полюс, если не существует, то z₀ – существенно особая точка.

Многочлены. Квадратичные формы

Многочлен степени п от одной переменной Р(х) = а_nx^п +a_n-1x^n-1 +…+ a₁x + a₀ имеет ровно п корней (в общем случае, комплексных). Если – корни многочлена, то справедливо равенство Р(х) = а_п(х – с₁)(х – с₂)...(х – с_п)

или , где – кратность корня .

Теорема Виета: Если Р(х)=х^п+а_п–1х^п–1+...+а₁х+а₀ – многочлен со старшим коэффициентом 1, то коэффициенты этого многочлена связаны с его корнями с₁, с₂, …, с_n соотношениями:

а₀ = (–1)^п с₁^.с₂^.… ^.с_n,

а₁ = (–1)^п(с₁^.с₂^.… ^.с_n–-1 + с₁^.с₂^.… ^.с_n–-2^.с_n + … + с₂^.с₃^.… ^.с_n),

…………………………………………………………………….,

а_п–2 = с₁с₂ + с₁с₃ + … + с_п–1с_п, а_п–1 = – (с₁ + с₂ + … + с_п) .

Разложение дробей: Множителю знаменателя (х-а) соответствует дробь

множителю знаменателя (х-а)^к соответствует сумма ,

множителю знаменателя х² + рх + q (х² + q) соответствует дробь

Например: = + , =

Квадратичная форма двух переменных F(х₁, х₂) = а₁₁х₁² + 2а₁₂х₁х₂ + а₂₂х₂² ,

трех переменных F(х₁,х₂, х₃) = а₁₁х₁² + 2а₁₂х₁х₂ + а₂₂х₂² + 2а₁₃х₁х₂ + 2а₂₃х₂х₃ + а₃₃х₃².

Матричная форма записи:

,

Канонический вид квадратичной формы двух переменных

,

где – характеристические (собственные) числа матрицы А= кв. формы F(х₁,х₂), их находят из уравнения или .

Если , – характеристические числа матрицы А, то тип и знакоопределенность кв. формы определяются из таблицы:

		тип кв. формы	знакоопределённость
		эллиптический тип	положительно определённая.
			отрицательно определённая.
	– разных знаков	гиперболический тип	знаконеопределённая (знакопеременная)
		параболический тип	неотрицательно определённая.
			неположительно определённая.