Двойные интегралы:

Площадь области D равна , Объем цилиндрического тела с нижним основанием – областью D и верхним основанием – поверхностью равен . Если – плотность массы области D, то масса области равна .

Криволинейные интегралы:

Несобственный интеграл или (не существует) сходится, если он равен конечному числу.

Дифференциальные уравнения (ду)

Функция решение ДУ F(x, y, y ) = 0  . Общее решение . График решения – интегральная кривая. Интегральная кривая уравнения F(x, y, y ) = 0, проходит через точку с координатами .

Виды ДУ первого порядка:

1)С разделяющимися переменными у = f(x)g(y); 2) Однородное у = ;

3) Линейное у + P(x)y = Q(x); 4) Бернулли у + P(x)y = Q(x)у ^п, пR, п  0; 1;

5) В полных дифференциалах M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0, где .

Допускающие понижение порядка:

 замена ;  замена .

Линейные ДУ второго порядка:

однородное  

Неоднородное

 у = y(x) + y*(x), где y(x) – решение ДУ ,

а y*(x) – подбирается по виду :

Правая часть	Вид частного решения с учетом корней характеристиче­ского уравнения
I. , – многочлен степени т.	а) Число 0 не является корнем характе­ристического уравнения, то ,
	б) Число 0 – корень характе­ристического уравнения кратности r, то .
II. , – многочлен степени т.	а) Число а не является корнем характеристиче­ского уравнения, то .
	б) Число а – корень харак­теристиче­ского уравнения кратности r, то
III., Р и Q – числа.	а) Числа не являются корнями характеристиче­ского уравнения, то
	б) Числа – корни характеристического уравнения, то

Решение ДУ разлагается в степенной ряд (ряд Тейлора):

Например:  ,

, , тогда

Числовые ряды.

, расход. – сход.; ;

;

сходится при , сходится при , расходится

Необходимый признак: если ряд сходится, то , Обратное неверно.

Признак Даламбера: , Признак радикальный (Коши):

Исследовать ряды , , (arcsin, arctg) можно, сравнив с рядом , где или .

Степенные ряды

– степенной ряд, интервал сходимости , для ряда интервал сходимости ,где R – радиус сходимости, его находят по формуле или .

Для рядов , ; для , .

Ряд Тейлора для функции в точке х₀ (по степеням х–х₀):

ряд Маклорена (по степеням х)

Известные разложения:

е^х = , х  R, ; х R

cos x = , х R; , х[-1; 1];

, |x|< 1; , |x|< 1;

, х(-1; 1]; , |x|<1

Четные числа :, нечетные числа: ; чередование знака:, если начинается с «–»; , если начинается с «+» (п=1, 2, 3, ....)

Ряды Фурье

Период функций равен , функций .

Функция вида или с периодом описывает гармонические колебания, А – амплитуда,  – начальная фаза, k – частота колебаний (круговая скорость).

– называется k-ой гармоникой.

Ряд Фурье для с периодом : , коэффициенты Фурье:

Ряд Фурье для функции с периодом :

, где

Теорема Дирихле: Если , периодическая с периодом , на промежутке [-l, l] кусочно-непрерывна и кусочно-монотонна, то ряд Фурье для нее сходится во всем промежутке, причем сумма S(x) этого ряда равна в точках непрерывности и равна в точках х₀ разрыва функции. Например, для функции, изображенной на рисунке, , ,

Если – четная, то , b_n = 0;

Если – нечетная, то , а₀ = а_п = 0, (например, для функций у=kx)

Для функции ряд Фурье имеет вид . Такой же ряд имеет функция вида , где – нечетная

Теория вероятностей (ТВ)

, где т–число благоприятствующих исходов, п – общее число исходов испытания.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ); Р() = 1 – Р(А); Р(АВ) = Р(А)^.Р(В/А);

События – несовместные, если не могут произойти одновременно; события независимые– если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло другое или нет.

Формула полной вероятности: , где Н_к попарно несовместны, но одно из них обязательно наступит, (т.е. образуют полную группу). Формула Байеса .

Схема Бернулли: Если в отдельном испытании=р, =q, то вероятность того, что в серии из п одинаковых испытаний А наступит: ровно т раз ; наступит во всех испытаниях Р_п(п) = , не наступит вообще Р_п(0) = .

«Не более т» = «», «Не менее т» = «», «Менее т» = «», «Более т» = «».

F(x)=

.

Х	х1	х2	х3	….	хп
Р	р1	р2	р3	….	рп

Для случайной величины Х:

Мат. ожидание М(Х) = , Свойство функции плотности

М(СХ) = СМ(Х), М(ХУ) = М(Х)  М(У).

Дисперсия D(Х) = M(X²) – M²(X), D(СХ)=С² D(Х), D (ХУ) = D (Х) + D (У).

Среднее квадратическое отклонение (Х) =