INTEGRAL 3

94. Найти массу материальной дуги линии , если линейная плотность в каждой точке равна

Ответ.

98. Найти массу первого витка винтовой линии , , , если плотность в каждой точке линии равна модулю радиус-вектора этой точки.

Ответ.

99. Найти массу четверти эллипса , лежащей в первом квадранте, если плотность в каждой точке равна произведению коор­динат этой точки.

Ответ.

100. Найти массу четверти окружности , расположенной в первом квадранте, если плотность массы в каждой точке пропорциональна абсциссе этой точки (коэффициент пропорциональности ). Ответ.

101. Найти массу материальной дуги линии , , , , если линейная плотность её равна Ответ.

102. Найти массу участка цепной линии между точками x₁=0 и x₂=a, если плотность в каждой её точке обратно пропорциональна ординате точки и равна δ в точке (0, a). Ответ. δa.

103. Найти массу дуги конической винтовой линии , , от точки O(0,0,0) до A(a,0,a), если плотность в каждой точке кривой выражается формулой Ответ.

104. Найти координаты центра масс дуги винтовой линии , если линейная плотность в каждой точке пропорциональна произведению координат этой точки.

Ответ.

105. Найти массу лемнискаты , если линейная плотность в каждой её точке равна модулю ординаты точки. Ответ.

106. Найти работу силы при перемещении точки вдоль дуги синусоиды . Ответ.

107. Найти работу, производимую силой при перемещении точки вдоль дуги астроиды от точки A(a, 0) до точки Ответ.

108. Найти работу поля при передвижении точки вдоль дуги линии Ответ. 1,1.

109. Найти работу силы при перемещении материаль­ной точки вдоль дуги эллипса x=cost, y=2sint, расположенной в первой четверти. Ответ.

110. Найти работу, производимую силой при перемещении точки вдоль ломанной ABC, A(1,1), B(3,1), C(3,5).

Ответ. 190.

109. Показать, что работа, производимая силой , не зависит от вида пути с началом в точке O(0,0) и концом в точке A(1,1). Найти эту работу. Ответ. 1.

110. Показать, что работа, производимая силой, не зависит от пути перемещения точки, и найти эту работу, если точка перемещается из положения O(0,0) в положение A(2,2). Ответ. 8.

111. Показать, что работа поля не зависит от вида пути перемещения точки. Найти работу при перемещении точки из положения (0,0) в положение (1,1). Ответ. 2.

112. Показать, что работа силы не зависит от формы пути, а зависит только от начальной и конечной точек перемещения. Найти работу этой силы при перемещении точки из положения O(0,0) в положение M(1,1). Ответ. 1.

113. Показать, что работа при перемещении точки в поле не зависит от формы пути. Найти работу при перемещении точки из положения (0,0) в положение (π, π). Ответ. .

114. Проекции силы F на оси координат задаются формулами и . Показать, что работа силы при перемещении точки зависит только от начального и конечного положений точки и не зависит от формы пути. Найти работу при перемещении точки из положения (1,0) в положение (0,3). Ответ. 0.

115. Поле образованно силой. Определить работу этого поля при перемещении массы m по контуру, образованному полуосями координат и первой четвертью эллипса , . Ответ.

116. В каждой точке M эллипса , приложена сила F, равная по величине расстоянию от точки M до центра эллипса и направленная к центру эллипса. Найти работу силыF при перемещении точки вдоль дуги эллипса, лежащей в первом координатном угле. Ответ.

117. В каждой точке плоскости на материальную точку действует силаF . Найти работу силыF при перемещении точки из начала координат в точку (1,1) по двухзвенной ломаной, звенья которой параллельны осям координат (рассмотреть два случая). Ответ. 1,5 и 1.

118. В каждой точке плоскости на материальную точку действует сила, имеющая постоянную величину F и направление положительной оси абсцисс. Найти работу этой силы при перемещении точки вдоль дуги окружности лежащей в I квадранте. Ответ. FR.

Задания 121-130: Доказать, что заданное выражение является дифференциалом некоторой функции; найти эту функцию:

109. 

110. 

111. 

112. 

113. 

114. 

115. 

116. 

117. 

118. 

Задания 131-135: Найти функцию U(x, y), полным дифференциалом которой является данное подынтегральное выражение и вычислить интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла.

109. 

110. 

111. 

112. 

113. 

Дополнительные задачи

1. Доказать формулу Дирихле.Пользуясь этой формулой, доказать равенство.

2. Какой из интегралов больше:

а)

б) ?

3. Найти среднее значение функции z=12-2x-3y в области, ограниченной прямыми 12-2x-3y=0, x=0, y=0. Отв. 4.

4. Оценить интеграл , где D – круг . Отв.

5. Вычислить или установить его расходимость. Отв. 2.

6. Вычислить , если . Отв. F(A,B)-F(A,b)-F(a,B)+F(a,b).

7. Вычислить . Отв. .

8. Найти объем тела, ограниченного цилиндрами и плоскостями z = 0, x+y = 2e, . Отв. .

9. На тонкой пластине, имеющей форму параболического сегмента, ограниченного параболой и осью OX, распределён электрический заряд с поверхностной плотностью σ=2x+y. Найти полный заряд пластинки. Отв.

10. Плоское кольцо ограниченно двумя концентрическими окружностями, радиусы которых равны r и R, r<R. Зная, что плотность материала обратно пропорциональна расстоянию от центра окружностей, найти массу кольца. Плотность на внутренней окружности кольца равна единице. Отв. 2πr(R-r).

11. В квадратной пластинке со стороной 3 плотность пропорциональна расстоянию от одной из её вершин. Найти среднее значение плотности пластинки, если в точке, удалённой от указанной вершины на , плотность равна 5. Отв.

12. Найти момент инерции однородного круга радиуса R относительно точки, лежащей на окружности. Отв. .

13. При какой замене переменных x и y на u и v параллелограмм, ограниченный прямыми x+y=1, x+y=2, 2x-y=1, 2x-y=3 на плоскости XOY перейдёт в прямоугольник на плоскости UOV со сторонами, параллельными координатным осям? Сделать чертёж.

14. Вычислить , сделав замену, подобранную в задаче 13 (область D – указанный в задаче параллелограмм). Отв. .

15. Подобрать замену переменных x и y на u и v, при которой область D на плоскости XOY, ограниченная линиями xy=1, xy=2, x-y=1, x-y+1=0, (x>0, y>0), перейдёт в прямоугольник на плоскости UOV, стороны которого параллельны координатным осям. Сделать чертёж.

16. С помощью тройного интеграла найти объём тела, ограниченного поверхностями . Отв.

17. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями . Отв.

18. В трёхкратном интеграле поменять порядок интегрирования в последовательности: а) y,x,z; б) z,x,y.

19. При каком значении параметра a объём тела, ограниченного поверхностями равен заданному числу V? Отв. .

20. Вычислить , где L – часть спирали Архимеда ρ=2φ, заключённая внутри круга радиуса R с центром в полюсе. Отв.

21. Найти длину дуги пространственной кривой между точками (0,0,0) и (3,3,2). Отв. 5.

22. Вычислить , где L – замкнутый контур квадрата с вершинами (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1). Отв. 0.

23. Вычислить Отв. 0.

24. Доказать, что величина интеграла , где L – замкнутый контур, выражает площадь области, ограниченной этим контуром.

25. Найти функцию U(x,y,z) по её полному дифференциалу Отв. .

26. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки её приложения от оси OZ, перпендикулярна к этой оси и направлена к ней. Найти работу силы при движении точки массы m под действием этой силы по окружности x=cost, y=1, z = sint от точки A(1,1,0) до точки B(0,1,1).

Отв. 0,5kln2, k – коэффициент пропорциональности.