Тема 3. Элементы комбинаторики Правила суммы и произведения
Задача 1. В столовой имеется 4 первых и 6 вторых блюд. Сколькими способами можно составить из них обед?
Задача 2.В ящике 30 деталей. Известно, что 15 из них первого сорта, 12 – второго, а остальные – третьего сорта. Сколькими способами можно извлечь из ящика одну деталь первого или второго сорта?
Задача 3.Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма?
Сочетания
Задача 1.Множество состоит из четырех
различных элементов
.
Производятся выборки по два элемента
в каждом без возвращения и без
упорядочивания. Записать все выборки,
назвать их, проверить их количество по
соответствующей формуле.
Задача 2.В аудитории 10 студентов. Преподаватель наудачу вызывает для ответа 6 студентов. Сколькими способами можно выполнить эту выборку?
Задача 3.В игре «Спортлото» заполняется 6 номеров из 45. Сколько существует вариантов заполнения карточек?
Размещения
Задача 1.Множество состоит из четырех
различных элементов
.
Производятся выборки по два элемента
в каждом - без возвращения элементов,
но с их упорядочиванием. Записать все
выборки, назвать их, проверить их
количество по соответствующей формуле.
Задача 2. Сколькими способами из 25 студентов группы можно выделить актив в составе: староста, профорг и редактор газеты?
Задача 3.Расписание одного дня состоит из 5 занятий. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 учебных дисциплин.
Перестановки
Задача 1. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?
Задача 2. В турнире участвуют 6 человек. Сколькими способами могут распределиться места между ними?
Тема 4. Вероятности сложных событий
Задача 1. В урне 6 белых и 4 черных шара. Наудачу по одному извлекается 2 шара. Вычислить вероятности событий:
оба шара оказались белыми, если первый шар: а) был возвращен в урну; б) не был возвращен в урну;
оба шара оказались черными, если первый шар: а) был возвращен в урну; б) не был возвращен в урну.
Задача
2. Вероятность
попадания в мишень при одном выстреле
для первого стрелка равна
,
для второго -
,
для третьего -
.
Стрелки произвели по одному выстрелу
в мишень. Считая попадания в мишень
стрелками независимыми событиями, найти
вероятности событий:
-
ни одного попадания в мишень,
-
ровно одно попадание в мишень;
-
все стрелки попали в мишень;
Задача 3. Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими сотрудниками соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7. Найти вероятность своевременного выполнения задания хотя бы одним предприятием.
Задача
4. Покупатель
может приобрести акции двух компаний
и
.
Надежность акций первой компании на
уровне 90%, а второй – 80%. Чему равна
вероятность того, что:
обе компании в течение года не станут банкротами;
наступит хотя бы одно банкротство?
Задача 5. В группе 10 юношей и 15 девушек. Наудачу отбирают 2 человека. Найти вероятность того, что среди них:
а) только одна девушка;
б) ни одной девушки;
в) хотя бы один юноша.
Задача 6. На подставке 15 кассет, на 8 из них есть запись. Наудачу берут 2 кассеты. Найти вероятность того, что среди них:
а) обе кассеты чистые;
б) хотя бы одна кассета чистая.
Задача 7. В двух группах по 20 студентов. В первой – 6 юношей, во второй 11 юношей. Наудачу отбирают по одному студенту от группы. Какова вероятность того, что среди отобранных студентов:
а) только один юноша;
б) хотя бы один юноша?