Модуль 2. Основы теории вероятностей
Тема 1. Основные понятия теории вероятностей
Задача 1. Производится испытание. Назовите элементарные исходы и укажите их количество в пространстве элементарных событий испытания. Составьте невозможное, достоверное и случайное событие в испытании; укажите элементарные исходы, входящие в них.
1) Подбрасывание игрального кубика.
2) Извлечение двух шаров из урны с тремя белыми и двумя черными шарами.
Задача
2.
Пусть
,
,
- события, наблюдаемые в одном и том же
эксперименте. Выразите с помощью
операций над событиями
,
,
следующие события:
- произошло ровно два события;
- произошло не более двух событий;
- произошло ровно одно событие;
-
произошло хотя бы одно событие.
Задача
3. Производится
испытание. Постройте пространство
элементарных событий данного эксперимента.
Составьте множества элементарных
событий, отвечающие указанным событиям
и
.
Дайте словесное описание противоположного
события
,
произведения событий
,
суммы событий
.
Из каких элементарных событий состоят
эти события?
Одновременное подбрасывание трех монет. Событие
- герб выпал ровно 2 раза; событие
- цифра выпала более одного раза.Двукратное подбрасывание игральной кости. Событие
- оба раза выпало число очков, кратное
трем; событие
- хотя бы один раз выпало число очков,
большее трех.
Задача
4.
Студенты
выполняют контрольную работу в классе
контролирующих машин. Работа состоит
из трех задач. Событие
- задача №
решена правильно. Запишите указанные
ниже события с помощью операций (сложения,
умножения, нахождения противоположного
события) над событиями
.
-
все задачи решены верно;
-
все задачи решены неверно;
-
только одна задача решена верно;
-
только одна задача решена неверно;
-
две задачи решены верно;
-
две задачи решены неверно;
-
три задачи решены верно;
-
три задачи решены неверно;
-
хотя бы одна задача решена верно;
-
хотя бы одна задача решена неверно;
-
менее двух задач решено верно;
-
менее двух задач решены неправильно;
-
хотя бы три задачи решены верно;
-хотя
бы три задачи решены неверно;
-
не менее двух задач решено неверно.
Задача
5. Победитель
соревнования награждается призом
(событие
),
денежной премией (событие
),
медалью (событие
).
Выразите с помощью операций над событиями
,
,
следующие события:
-
«Победитель награжден одновременно
призом, премией и медалью»;
-
«Победитель награжден или призом, или
премией, или и тем и другим»;
-
«Победитель награжден призом и премией
без выдачи медали»;
-
«Победитель награжден хотя бы одним
поощрением».
Тема 2. Вероятность события
Задача 1. Заданы слова производная, интеграл, матрица, вероятность, математика. Найти вероятность того, что наудачу выбранная буква заданного слова окажется:
гласной;
согласной;
буквой «а».
Задача 2. На карточках написаны буквы т, е, ы, о, с, и, б. Карточки перемешивают и наугад раскладывают в ряд. Какова вероятность получить слово событие?
Задача 3. Подбрасываются два игральных кубика. Какова вероятность событий:
на обоих кубиках выпало одинаковое число очков;
сумма очков меньше 4;
произведение очков больше 36?
Задача 4. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, наудачу извлекают два шара. Найти вероятности событий:
-
все извлеченные шары белые;
-
среди извлеченных шаров нет белых шаров;
-
среди извлеченных шаров более одного
черного шара.
Задача 5. В группе 15 студентов, из которых девушек в два раза больше юношей. Наудачу вызывают к доске трех студентов. Какова вероятность того, что среди них:
1) все девушки;
2) все юноши;
3) две девушки и один юноша?
Задача 6. Подбрасывается две монеты. Найти вероятность того, что:
1) на всех монетах окажутся цифры;
2) появится цифра и герб?
Задача 7. Совет факультета состоит из 5 преподавателей и 5 студентов. Планируется создать комиссию из 4 его членов. Какова вероятность того, что в комиссии будет 2 студента?
Задача 8. На факультете работают 26 доцентов, среди которых 7 мужчин. На конференцию выбрано 4 доцента. Какова вероятность того, что все они мужчины?
Задача 9. В группе 5 пловцов и 3 бегуна. Наудачу выбрано 5 спортсменов. Найти вероятность того, что среди них будет 3 пловца.