3 Истечение жидкости из отверстий и насадков при постоянном и переменном напоре

Задача 3.1. Через цилиндрический насадок, расположенный в стенке, расходуется вода в количестве Q = 0,0056 м³/с. Диаметр на­садка d = 0,038 м, длина l = 0,15 м. Определить напор Н над центром насадка, скорость _с и давление p_c в наcадке (в сжатом сечении).

Решение. Длина насадка l = 0,15 м  43,8, следовательно, можно принять коэффициент расхода  = 0,82. При d = 0,038 м. площадь  = 0,00113 м². Напор над центром насадка определяется по формуле

Скорость в выходном сечении насадка

Из условия неразрывности _с_с =  определим скорость в сжатом сечении, полагая  = _с/=0,64,

Для определения давления р_с составим уравнение Бернулли для двух сечений 0-0 и С-С при плоскости сравнения, проходящей через ось насадка О'- О' (рис. 11) [4]

Рисунок 11

Так как при движении жидкости между сечениями О-О и С-С будут потери только на сопротивление в тонкой стенке, то Полагаяимеем

Подставляя численные значения, получим высоту давления h:

Давление р_с =  h g = 10008,959,81 = 0,0878 МПа.

Недостаток до атмосферного давления в сжатом сечении

Р_вак = p_ат – p_с = 0,101 – 0,0878 = 0,0132 МПа.

Высота вакуума, выраженная в сантиметрах водяного столба,

Такой же результат получим, применив формулу

Задача 3.2. Определить расход жидкости из резервуара через два цилин­дрических насадка и величину вакуума в них. Один насадок распо­ложен горизонтально в боковой стенке резервуара на расстоянии е = 20 см от дна, другой – вертикально в дне резервуара (рис. 12). Размеры насадков одинаковы: d = 6см, l = 20 см. Глубина воды в резервуаре h = 100 см.

Решение. 1. Напор над центром горизонтального насадка Н₁ = h – е = = 100 – 20 = 80 см.

Пренебрегая скоростью подхода, так как размеры резервуара достаточно велики, примем Н₁ = Н₀.

Расход из горизонтального насадка [5]

Вакуум в сжатом сечении горизонтального насадка h_вак = 0,74Н₀ = = 0,740,8 = 0,59 м.

Рисунок 12

2. Расход через насадок, расположенный в дне резервуара, соответствует напору H₂ = h+l = Н₀. Скоростью подхода, как и в первом случае, пренебрегаем

Расход из резервуара через оба насадка равен Q = 0,00918 + 0,0112 = = 0,0204м³/c.

Для определения вакуума в сечении C₁-C₁ составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и C₁-C₁, взяв плоскость сравнения на уровне C₁-C₁,

Отсюда, принимая потери  h на сопротивление тонкой стенки, получим выражение высоты вакуума

или

Полагая ,получим:

Подставляя числовые значения величин  = 0,82,  = 0,64, _т.с.= 0,06,  = 1, ₁ ~ 0 и принимая а ~ будем иметь:

или

Для условий задачи величина вакуума в вертикальном насадке будет

h_вак = 0,741,2 + 0,2 – 0,03 = 1,06 м

Задача 3.3. В теле железобетонной плотины проектируется во­доспуск в виде трубы длиной l = 5,0 м (рис. 13). Напор над водо­спуском при свободном истечении равен H₁ = 6,5 м. Разность отметок уровней воды в верхнем и нижнем бье­фах плотины H₂ = 15,0 м. Скорость под­хода воды к плотине ₀ = 0,4 м/с. Определить диаметр d водоспуска, если расход Q = 12,0 м³/с. Кроме того, установить:

а) какой будет расход Q₁ через водоспуск, если уровень нижнего бьефа поднимется на 10 м;

б) на какой глубине H₁ относитель­но уровня верхнего бьефа следует расположить водоспуск, чтобы он пропускал наибольший расход (при свободном истечении).

Рисунок 13

Решение. Скоростной напор при  = 0,4 м/с равен

, поэтому полагаем напор H₀ ~ H₁.

Из уравнения (64) определим площадь водоспуска , м², считая, что он будет работать как насадок с коэффициентом расхода  = 0,82

При  = 1,3 м² диаметр будет d = 1,29 м.

Соотношение между диаметром водоспуска и его длиной соответствует случаю насадка: 4d = 41,29 = 5,16 м ~ _{водоспуска}. Следо­вательно, коэффициент  = 0,82 применен правильно.

а) При повышении уровня нижнего бьефа на 10 м водоспуск будет работать как затопленный насадок при напоре Н = 15 – 10 = 5,0 м.

Расход в этом случае

б) Водоспуск при расчетном диаметре d = l,29 м пропустит наи­больший расход в том случае, когда будет обеспечен наибольший напор. При заданной схеме наибольший напор Н_макс = 15 м, т. е. ось водоспуска следовало бы расположить на уровне нижнего бьефа. Однако при напоре Н = 15 м вакуум в насадке достиг бы высоты h_вак = 0,74; Н = 0,7415 = = 11,1 м, т. е. большей, чем составляет одна атмосфера. Практически допустимый вакуум, при котором может быть обеспечена устойчивая работа водоспуска, при­нимается Н_вак = 9,0-9,5 м. Отсюда предельный напор перед водо­спуском должен быть

При этом расход через водоспуск равен

Задача 3.4. Цилиндрический бак с площадью  = 3,0 м² и высотой Н₁ = 4,0 м, заполненный до краев водой, нужно опорожнить за время t = 5,0 мин.

Определить необходимую для этого площадь двух одинаковых отверстий, одно из которых расположено в центре дна, другое в стен­ке, на половине высоты бака (рис. 14).

Решение. Время опорожнения верхней половины бака определится из дифференциального уравнения [7]:

откуда

Освобождаясь от иррациональности в знаменателе и подставляя пределы при опорожнении верхней половины резервуара, получим

Вводя переменную у = Н + Н₁/2, пределы которой будут от Н₁ до Н₁/2, запишем:

В результате интегрирования получим t₁, c – время опорожнения верхней половины бака

Время опорожнения нижней половины бака t₂, c, определится по формуле

По условию задачи t₁ + t₂ = t = 560 = 300 c.

Подставляя числовые значения, получим:

откуда  = 0,0131 м².

Рисунок 14

Задача 3.5. Определить время t опорожнения цилиндрического резервуара, заполненного водой, имеющего диаметр d = 2,4 м и высоту l = 6,0 м для двух случаев (рис. 15):

а) Резервуар поставлен вертикально. Отверстие  = 0,0176 м² расположено в дне.

б) Резервуар лежит горизонтально. Отверстие  = 0,0176 м² рас­положено на боковой поверхности внизу.

В обоих случаях при истечении обеспечен доступ воздуха в резервуар.

Рисунок 15

Решение. В первом случае будет истечение из отверстия при переменном напоре от H₁ = l до H₁ = 0, при постоянной площади поперечного сечения

Время опорожнения определяем по уравнению [3] (72), принимая  = 0,62,

Во втором случае уравнение (72) для определения времени опорожнения неприменимо, так как площадь  является перемен­ной, зависящей от величины напора Н.

Из отверстия за время dt вытекает

За то же время объем воды в резервуаре уменьшается на

–  dH.

Тогда из равенства

–  dH = dt

получим:

Выразим переменную  как функцию H. Площадь  = lx при опорожнении сначала увеличивается от  = 0 до  = ld, затем уменьшается от  = ld до  = 0.

Как следует из рисунка 15

тогда

Подставляя значение площади  в уравнение (75), имеем:

Напишем интеграл в пределах от Н₁ = 2r до Н₂ = 0

Введем новую переменную у = 2r–H, при этом dy = -dH. Пре­делы изменения у будут от y₁ = 0 до y₂ = 2r.

Имеем

Подставляя пределы, получим

Для численных значений задачи

Задача 3.6. На рисунке 16 приведен план водохранилища с по­казанием горизонталей через 1 м и график зависимости площади зеркала водохранилища от его глубины. В водохранилище из реки поступает постоянный расход Qo = 4,16 м³/с. Определить время Т опорожнения водохранилища от отметки 36,0 до отметки 31,0 м. если площадь отверстия в плотине, через которое свободно выте­кает вода из водохранилища, составляет  = 11,0 м². Центр отверстия расположен на отметке 30,0 м. Коэффициент расхода отвер­стия принять  = 0,7.

Рисунок 16

Решение. Приток в водохранилище за время dt будет Q₀dt. Расход из водохранилища за то же время . Изменение объема воды в водохранилищеdH равно разности притока и рас­хода

Отсюда время t, в течение которого глубина в водохранилище из­менится от H₁ до H₂ при наличии постоянного притока Q₀, будет

При опорожнении водохранилища H₁ > H₂, поэтому перепишем ин­теграл (считая  = const) так:

Точное интегрирование этого уравнения невозможно, так как  нельзя выразить аналитически через Н, ввиду неправильной формы водохранилища. Заменим интегрирование одним из приближенных приемов – суммированием по способу трапеций.

Разделим опорожняемый объем водохранилища от отметки 36,0 м до отметки 31,0 м на n = 5 частей через Н = 1 м по высоте. Объем одной части (приближенно)

Заменяя в подынтегральном выражении дифференциал dН конеч­ной разностью напоров, получим выражение для времени при из­менении напоров от начального Н_n до конечного H₁ (здесь Н_n = 6м, H₁ = l м):

или

Подставляя в последнее уравнение численные значения задачи, по­лучим, подсчитав предварительно