10

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный технологический университет»

М.М. БАБКина

Математика

Сборник задач к практическим занятиям (1-й семестр)

Красноярск

2014-15 уч. год

Содержание практических занятий

Модуль 1. Линейная АЛГЕБРА

6 недель, 3 лекции, 6 практич. занятий

1. Проверочная работа по школьному курсу 2 ч

2. Матрицы, операции над ними 2 ч

3. Определители: вычисление и свойства 2 ч

4. Системы линейных уравнений. Метод определителей (Крамера) 2 ч

5. Системы линейных уравнений. Метод исключения неизвестных (Гаусса) 2 ч

6. Контрольная работа № 1 «Линейная алгебра» 2 ч

Модуль 2. Векторы и аналитическая геометрия

6 недель, 3 лекции, 6 практич. занятий

7. Векторы на плоскости 2 ч

8. Прямая на плоскости 2 ч

9. Взаимное расположение прямых. Графическое решение систем линейных неравенств.

10. Кривые второго порядка 2 ч

11. Контрольная работа № 2 «Векторы и аналитическая геометрия» 2 ч

12. * Задачи с экономическим содержанием 2 ч

Модуль 3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

6 недель, 3 лекции, 6 практич. занятий

13. Функции одной переменной: область определения и значений, свойства функции 2 ч

14. Графики функций одной переменной 2 ч

15. Предел функции 2 ч

16. Контрольная работа №3 «Введение в математический анализ» 2 ч

17. Зачетное занятие 2 ч

18. Зачетное занятие 2 ч

Модуль 1. линейная алгебра

Практическое занятие 1.

проверочная работа по школьному курсу

Тема «Линейные уравнения и неравенства, их системы»

Образец варианта

Часть 1. Линейные уравнения и их системы

№1. (1 балл) Какое из уравнений является линейным уравнением с двумя переменными?

А) 3х + 5у = 10; Б) ху = 20; В) 4х + 3 = 15; Г) х+у=17.

№2. (1 балл) Через какую из данных точек проходит график функции х + 4у = 14?

А) А(6; 3); Б) В(-10; 6); В) С(7; 7); Г) К(0; 4).

№3. (1 балл) Какая из пар чисел является решением системы уравнений ?

А) (-2; 0); Б) (0; -5); В) (3; 1); Г) другой ответ.

№4. (2 балла) Решите систему уравнений: .

№5. (3 балла) Постройте график функции . Пользуясь построенным графиком, установите, при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения.

Часть 2. Линейные неравенства и их системы

№1. (1 балл) Если , то для любых и верно неравенство:

№2. (1 балл) Решите неравенство .

№3. (2 балла) Найдите наименьшее целое решение системы

№4. (3 балла) Для каждой системы неравенств укажите множество ее решений.

1. 2. 3.

А. (-2; 4]; Б. [-2; -1]; В [-3; 5]; Г. (-∞; 2].

Практическое занятие 2.

Матрицы, операции над ними

Задачи для решения на занятии

№1. Даны матрицы , и единичная матрица .

Найти матрицы , ; , , , , , .

1) ;

2) .

№2. Найти произведение матриц.

1) 2)

3) 4) .

Задачи для домашнего решения

№3. Даны матрицы А, В и единичная матрица Е.

Найти матрицы , , , , , , .

1) ; 2) .

№4. Найти произведение матриц.

1) 2) ;

3) ; 4) .

№5. Даны матрицы и . Найти матрицу , являющуюся решением уравнением .

Практическое занятие 3.

Определители: вычисление и свойства

Задачи для решения на занятии

№1. Вычислить определители второго порядка:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

№2. Вычислить определители третьего порядка по правилу треугольников.

1) ; 2) .

№3. Дан определитель . Вычислить все алгебраические дополнения для элементов; а) первой строки, б) второго столбца.

№4. Вычислить определители, используя теорему о разложении по элементам строки или столбца.

1) ; 2) .

Задачи для домашнего решения

№5. Вычислить определители второго порядка:

1) ; 2) ; 3); 4) ; 5) .

№6. Найти, при каком значении определитель равен нулю.

№7. Вычислить определители третьего порядка двумя способами:

а) по правилу треугольников; б) используя теорему о разложении.

1) ; 2) .

№8. Записать выражение для определителя .

Практическое занятие 4.

Системы линейных уравнений. Метод Крамера

Задачи для решения на занятии

Решение задач по новому материалу.

Для решения заданий студенту необходимо:

1) знать алгоритм решения СЛУ методом определителей (Крамера);

2) формулировать признаки совместной, несовместной, определенной и неопределенной СЛУ (с помощью определителей);

3) уметь находить значения неизвестных по формулам Крамера;

4) уметь записывать общее решение в случае неопределенной СЛУ.

№2. Решите системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера (определителей). Обоснуйте, какая СЛУ определенная, несовместная или неопределенная. В случае единственного решения системы выполните проверку.

1); 2) ; 3) .

№3. Решите систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера (определителей). Обоснуйте, какая СЛУ определенная, несовместная или неопределенная. В случае единственного решения системы выполните проверку.

1); 2) ; 3) .

Задачи для домашнего решения

Закрепление знаний и умений.

№4. Решите систему 2-х линейных уравнений методом Крамера. Обоснуйте, какая СЛУ определенная, несовместная или неопределенная. В случае единственного решения системы выполните проверку.

1) ; 2) .

№5. Решить систему 3-х линейных уравнений методом Крамера. Выполните проверку.

1); 2) .

Ответы.

№2. 1) система уравнений совместная и определенная, ее единственное решение ;

2) система несовместная;

3) система совместная и неопределенная; общее решение , - любое действительное число.

№3. 1) ; 2) несовместная; 3) .

№4. 1) ; 2) несовместная.

№5. 1) ; 2) .

Практическое занятие 5.

Системы линейных уравнений. Метод исключения неизвестных (гаусса)

Задачи для решения на занятии

Актуализация школьных знаний.

При решении задания №1 повторить понятия: 1) линейное уравнение,

2) система линейных уравнений, 3) решение системы уравнений,

4) несовместная система уравнений, 5) неопределенная система уравнений.

№ 1. Устный опрос.

1) Какая из данных пар чисел является решением уравнения :

а) (2; 3);                 б) (– 2; – 3);          в) (2; – 3);             г) (– 2; 3).

2) Является ли пара чисел решением системы уравнений ?

3) Имеет ли решения каждая система уравнений и сколько? Ответ обоснуйте.

1) ; 2) .

№2. Решите систему уравнений: методами:

а) подстановки; б) алгебраического сложения. Выполните проверку.

Решение задач по новому материалу.

При решении заданий студенту необходимо:

1. знать элементарные преобразования с уравнениями системы,

2. обосновать треугольный вид СЛУ,

3. описать «обратный ход Гаусса» нахождения значений неизвестных,

4. уметь записать общее решение неопределенной системы,

5. знать признаки отсутствия решения СЛУ и бесконечного множества решений СЛУ.

№3. Решить систему 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными методом Гаусса (исключения неизвестных), применяя элементарные преобразования над уравнениями.

Записывать ответ в видах: а) СЛУ совместная и определенная, решение ; б) СЛУ несовместная; в) СЛУ совместная и неопределенная, общее решение

1) ; 2) ; 3) .

№4. Решить систему 3-х линейных уравнений методом Гаусса (исключения неизвестных).

Виды ответа: а) СЛУ совместная и определенная, решение ; б) СЛУ несовместная; в) СЛУ совместная и неопределенная, общее решение .

1); 2).

Задачи для домашнего решения

Закрепление знаний и умений.

№5. Решите систему линейных уравнений методом подстановки или методом алгебраического сложения:

1) 2)

№6. Решить систему двух линейных уравнений методом исключения неизвестных (Гаусса).

1) ; 2) .

№7. Решить систему трех линейных уравнений методом Гаусса.

1); 2) .

№8. * Задача с экономическим содержанием

Для выполнения плана товарооборота производственно-торговая фирма должна продать товары в количестве (тыс. штук) соответственно. Если продавать эти товары в количествах (тыс. штук) соответственно, то план товарооборота будет перевыполняться в 1,5 раза. Если продавать в количествах соответственно, то выполнение плана составит 75%.

Постройте математическую модель задачи: составьте систему линейных уравнений и определите стоимость единицы товара каждого вида, если план товарооборота фирмы составляет тыс. руб.

1) , ; 2) , ;

3) , ; 4) , .

Ответы.

№3. 1) ; 2) ;

3) система несовместная;

№4. 1) ; 2) .

№6. 1) ; 2) .

№7. 1) ; 2) .

Практическое занятие 6.

Контрольная работа № 1 «Линейная алгебра»

Примерный вариант

Задачи на оценку «удовлетворительно»

Задача 1. Даны матрицы и , число :

, , .

Найти матрицы: 1) , 2) .

Задача 2. Вычислить определитель по правилу треугольников:

.

Задача 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Задача 4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Задачи на оценку «хорошо» и «отлично»

(1-3 задачи на выбор студента)

Задача 5. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса (исключения неизвестных):

.

Задача 6. Вычислить определитель разложением по строке или столбцу:

.

Задача 7. Найти общее решение системы линейных уравнений и одно из частных решений:

.

10