4.2.2 Проверка нормальности распределения по критерию χ2(Пирсона)

Схема применения критерия χ²к оценке согласованности [¹, с. 146] теоретического и статистического распределений сводится к следующему:

• Определяется мера расхождения χ²по формуле:

• Критерии согласия χ²Пирсона имеет вид:

• , (4.2)

где величина χ²характеризует меру отклонения результатов наблюдений от теоретически предсказанных;

• n_j- частоты попадания результатов наблюдений в j-ый интервал;

• Р_j- теоретические значения вероятности попадания результатов в j-й интервал, которые вычисляются по формуле:

, (4.3)

где Ф(z) - функция Лапласа,

а Р₁= Ф(z₁)

После вычисления значения χ²для заданной доверительной вероятности Р и числа степеней свободы(гдеr- количество разрядов разбиения,k- число параметров, необходимых для определения теоретической функции распределения, равное для нормального закона распределения двум), по таблицам χ²- распределения находят критическое значение критерия согласия χ²_кр. В технической практике обычно задаются Р_д= 0,95, что соответствует вероятности 0,05 совершить ошибку первого рода, т. е. отвергнуть правильную гипотезу.

Если χ²< χ²_кр,. принимают гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, характеризующемуся математическим ожиданием и дисперсией, оценки которых получены формулами. В противном случае гипотеза отвергается.

4.2.3 Определение систематической погрешности

При выполнении измерений, особенно точных, необходимо иметь в виду, что систематические погрешности могут значительно исказить результаты измерения. Поэтому прежде чем приступить к измерению, необходимо выяснить все возможные источники систематических погрешностей и принять меры к их исключению или определению. Однако дать исчерпывающие правила для отыскания и исключения систематических погрешностей практически невозможно, так как слишком разнообразны приемы измерения различных величин.

Под систематической погрешностью понимают погрешность измерения, остающуюся постоянной или закономерно изменяющуюся при повторных измерениях одной и той же величины. Если систематические погрешности известны, т. е. имеют определенное значение и определенный знак, они могут быть исключены путем внесения поправок.

Поправкой называют значение величины, одноименной с измеряемой, прибавляемое к полученному при измерении значению величины с целью исключения систематической погрешности. В некоторых случаях пользуются поправочным множителем, под последним понимают число, на которое умножают результат измерения с целью исключения систематической погрешности. Обычно различают следующие разновидности систематических погрешностей: инструментальные, субъективные, методические.

Под инструментальными погрешностями понимают погрешности измерения, зависящие от погрешностей применяемых средств измерений. При применении средств измерений повышенной точности инструментальные погрешности, вызываемые несовершенством средств измерений, могут быть исключены путем введения поправок. Инструментальные погрешности технических средств измерений не могут быть исключены, так как эти средства измерений при их поверке поправками не снабжаются.

Абсолютная погрешность измерительного прибора определяется разностью между показанием прибора и действительным значением измеряемой величины. Если Δ — абсолютная погрешность, х — показание прибора,х_Д — действительное значение измеряемой величины, то

(4.3)

Абсолютная погрешность меры равна разности между номинальным значением меры и действительным значением воспроизводимой ею величины и определяется аналогичной формулой.

Абсолютная погрешность измерительного преобразователя по входу — разность между значением величины на входе преобразователя, определяемым по действительному значению величины на его выходе с помощью градуировочной характеристики, приписанной преобразователю, и действительным значением величины на входе преобразователя.

При оценке качества мер и измерительных приборов иногда применяют относительные погрешности, выражаемые в долях (или процентах) действительного значения измеряемой величины:

Пределы допускаемых основной и дополнительных погрешностей средств измерений для каждого из классов точности устанавливаются в виде абсолютных или приведенных погрешностей. Основная и дополнительные погрешности выражаются одним и тем же способом.

Абсолютная погрешность выражается:

1) одним значением

Δ = ± а

где Δ — предел допускаемой абсолютной погрешности; а — постоянное число;

2) в виде зависимости предела допускаемой погрешности от номинального значения, показания или сигнала х, выраженной двухчленной формулой

где b — постоянное число;

3) в виде таблицы пределов допускаемых погрешностей для разных номинальных значений, показаний или сигналов.

Относительная погрешность определяется по формуле:

; (4.4)

где x– измеренное значение; Δ – значение абсолютной погрешности.

Наиболее широкое распространение получило нормирование класса точности по приведенной погрешности. Приведенная погрешность определяется формулой

(4.5)

где γ — предел допускаемой приведенной погрешности в процентах нормирующего значения; x_N — нормирующее значение, выраженное в единицах измеряемой величины; Δ — абсолютная погрешность средства измерений.

Нормирующее значение при вычислении основной и дополнительных погрешностей или пределов допускаемых погрешностей принимается равным:

для средств измерений с односторонней шкалой (диапазоном преобразования) — верхнему пределу измерений (х_В);

для средств измерений с двусторонней шкалой (диапазоном преобразования) — арифметической сумме верхнего и нижнего пределов измерений (|x_В| + |x_Н|);

для средств измерений с безнулевой шкалой (диапазоном преобразования) — разности верхнего и нижнего пределов измерений (x_В-x_Н);, т. е. диапазону измерений.

Следует обратить внимание на то, что для рассматриваемого способа нормирования погрешностей средств измерений предел допускаемой основной погрешности показаний γ, выраженный в процентах нормирующего значенияX_N, совпадает с числомК, принимаемым для обозначения класса точности средств измерений.

Если K— класс точности средства измерений, то пределы допускаемой основной абсолютной погрешности показаний определяются по формуле:

(4.6)

а относительная погрешность:

Под погрешностью метода измерений понимают погрешность, происходящую от несовершенства метода измерений. Она возникает сравнительно часто при применении новых методов, а также при применении аппроксимирующих уравнений, представляющих иногда неточное приближение к действительной зависимости величин друг от друга. Погрешность метода измерений должна учитываться при оценке погрешности средства измерений и, в частности, измерительной установки, а иногда и погрешности результата измерений.

Методическая погрешность, обусловленная лучистым теплообменом между термопреобразователем и стенкой определяется по формуле:

, (4.7)

где С₀ = σ*10⁸ - константа излучения; σ = 5,67*10^-8 Вт/(м²*К⁴) – постоянная Стефана – Больцмана; ε_T – коэффициент черноты поверхности термоприемника; α_k – коэффициент конвективной теплоотдачи между термометром и измеряемой средой (Вт/м²*К);

- термодинамическая температура термопреобразователя;

- термодинамическая температура стенки газохода.

Методическая погрешность Δ_Мподлежит исключению.

Методические погрешности измерений представляют собой такие погрешности, которые определяются условиями (или методикой) измерения величины (давления, температуры и т. д. данного объекта) и не зависят от точности применяемых средств измерений.

При измерении температуры термоэлектрическими преобразователями также следует учесть:

• допускаемое отклонение термо- э.д.с. термоэлектрического термометра от значений градуировочной таблицы:

(4.8)

где a, b, c – коэффициенты, определяемые из таблицы Д2 приложения;dE/dt– коэффициент преобразования термопары, определяемый по значениям, приведенным в таблицах Д3 – Д6 приложения Д.

• допускаемое отклонение э.д.с. ΔE_тпв паре между жилами термоэлектродных проводов согласно таблицы Д7 Приложения Д.

После определения отдельных составляющих систематической погрешности рассчитывается суммарная систематическая погрешность по формуле:

Абсолютная погрешность: ;

Относительная погрешность: .