1.3 Исследование системы на устойчивость по критерию Михайлова

Для оценки устойчивости по критерию Михайлова необходимо построить кривую, которую описывает конец вектора на комплексной плоскости при изменении частотыот 0 до, называемую годографом Михайлова.

Вектор получают из характеристического полинома замкнутой системы при подстановке

(1.12)

Данное выражение представим в виде

, (1.13)

где и, – вещественная и мнимая частисоответственно

. (1.14)

Подставляя численные значения, получим

. (1.15)

Задавая значения от 0 до, вычисляеми. Расчет оформляем в виде таблицы 1.

Таблица 1 – Координаты годографа Михайлова

ω	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	∞
Х(ω)	36,1	-0,226875	-96,63	-215,37688	-293,58	-243,19688	48,97	721,27312	1937,22	3885,4731	6779,85	∞
Y(ω)	0	-2,20625	-47,65	-179,56875	-441,2	-875,78125	-1526,55	-2436,7438	-3649,6	-5208,356	-7156,25	∞

По данным таблицы 1 строим годограф Михайлова (рисунок 6).

1.3 Исследование системы на устойчивость по критерию Найквиста

Определим устойчивость разомкнутой системы.

В одноконтурной системе, составленной из последовательно соединенных звеньев, корни характеристических полиномов этих звеньев являются одновременно корнями характеристического полинома разомкнутой системы. Так как система не содержит местных обратных связей, определим корни характеристических полиномов звеньев.

Характеристический полином звена

(1.16)

имеет вещественный корень

= -16,67

Характеристический полином звена

(1.17)

имеет три корня, один из которых нулевой:

р₂= 0; р₃= - 2,33; р₄= - 15,38.

Так как один корень имеет нулевое значение, разомкнутая система находится на границе устойчивости.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

(1.18)

Составим частотную передаточную функцию

, (1.19)

где ;

;

;

.

Запишем вещественную и мнимую части частотной передаточной функции

. (1.20)

Подсчитаем значения мнимой и действительной части частотной передаточной функции для различных значений от 0 до. Результаты вычислений оформим в виде таблицы 2.

Таблица 2 – Расчет АФЧХ разомкнутой системы

ω	U1	V1	U2	V2	U(ω)	V(ω)
0,1	36,1	0	-0,0149498	0,09994235	-52,848657	-353,30289
1	36,1	0	-1,493323	0,94235	-17,28939	-10,910337
2	36,1	0	-5,953168	1,5388	-5,6842127	-1,4692793
3	36,1	0	-13,319163	1,44345	-2,6789169	-0,2903247
4	36,1	0	-23,490688	0,3104	-1,5365109	-0,0203031
5	36,1	0	-36,326875	-2,20625	-0,9901026	0,06013217
6	36,1	0	-51,646608	-6,4524	-0,6882387	0,08598419
7	36,1	0	-69,228523	-12,77395	-0,5042917	0,0930512
8	36,1	0	-88,811008	-21,5168	-0,3839445	0,09302063
9	36,1	0	-110,0922	-33,02685	-0,3008333	0,09024777
10	36,1	0	-132,73	-47,65	-0,2409296	0,08649359
20	36,1	0	-329,68	-441,2	-0,0392339	0,0525054
30	36,1	0	12,87	-1526,55	0,00019936	0,02364641
40	36,1	0	1901,12	-3649,6	0,00405286	0,00778031
50	36,1	0	6743,75	-7156,25	0,00251783	0,00267184
60	36,1	0	16351,92	-12392,4	0,00140229	0,00106274
70	36,1	0	32939,27	-19703,95	0,00080714	0,00048282
80	36,1	0	59121,92	-29436,8	0,0004893	0,00024362
90	36,1	0	97918,47	-41936,85	0,00031153	0,00013342
∞	36,1	0	∞	∞	0	0

По данным таблицы 2 построим график АФЧХ разомкнутой системы.

Рисунок 7 – АФЧХ разомкнутой системы

Так как характеристический полином системы имеет нулевой корень, разомкнутая система находится на границе устойчивости. Согласно условию устойчивости по критерию Найквиста, в этом случае для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ∞, дополненная на участке разрыва дугой бесконечного радиуса, не охватывала точку с координатами (-1,j0).

Для данной системы это условие не выполняется, АФЧХ разомкнутой системы один раз охватывает точку с координатами (-1,j0), следовательно, система не устойчива.