1.5 Определение устойчивости системы по логарифмическим частотным характеристикам

Запишем передаточную функцию разомкнутой системы в виде:

, (1.21)

где общий коэффициент передачи системы К=К₁К₂К₃К₅= 4051.

Найдем декремент затухания для звена по формуле:

. (1.22)

Подставив численные значения, получим ξ=1,81.

Заметим, что , следовательно, звеноапериодическое. Для апериодического звена второго порядка передаточную функцию можно преобразовать к виду:

где:

.

Т₆=0,078;Т₇=0,863.

При этом передаточная функция всей системы принимает вид:

Кроме того , следовательно, можно строить асимптотическую ЛАЧХ не уточняя ее значение в области сопрягающей частоты.

Определим частоты сопряжения по формуле:

, (1.23)

где - постоянная времени i-го звена.

Тогда, применив формулу для нахождения частот, получим:

, (1.24)

подставив, численные значения, найдем:

Рассчитаем ординату для низкочастотной асимптоты для звена согласно формуле до первой частоты сопряжения:

. (1.25)

При построении ЛАЧХ звену будет соответствовать наклон, а звену наклон будет равен, звену будет соответствовать наклон, звену будет соответствовать наклон.

Рассчитаем параметры для построения ЛФЧХ разомкнутой системы, путем суммирования ЛФЧХ всех звеньев.

Для звена ЛФЧХ будет вычисляться по формуле:

. (1.26)

Для звеньев :

. (1.27)

Значения результирующей ЛФЧХ найдем как:

(1.28)

Подставив численные значения в вышеприведенные формулы, рассчитаем необходимые значения. Результаты вычислений оформим в виде таблицы 3.

Результаты вычислений отобразим на графике логарифмических характеристик разомкнутой системы (рисунок 8).

Таблица 3 – Расчет ЛФЧХ разомкнутой системы

частота	Звено 1		Звено 2		Звено 3		Звено 3		Звено 3		ΣΦ(ω)
	ωТ1	Φ1(ω)	ωТ2	Φ2(ω)	ωТ3	Φ1(ω)	ωТ3	Φ1(ω)	ωТ3	Φ1(ω)
0,01		0	0,00863	-0,0086298	0,005	-0,005	0,00078	-0,00078	0,00065	-0,00065	-0,8628598
0,1		0	0,0863	-0,0860867	0,05	-0,0499584	0,0078	-0,0077998	0,0065	-0,0065	-8,6141256
1		0	0,863	-0,711993	0,5	-0,4636476	0,078	-0,0778424	0,065	-0,064909	-75,538279
1,16		0	1,00108	-0,7859379	0,58	-0,5255838	0,09048	-0,0902343	0,0754	-0,075258	-84,626643
2		0	1,726	-1,0456809	1	-0,7853982	0,156	-0,1547527	0,13	-0,129275	-121,18669
10		0	8,63	-1,4554359	5	-1,3734008	0,78	-0,6624263	0,65	-0,576375	-233,0585
12,82		0	11,06366	-1,4806553	6,41	-1,4160375	0,99996	-0,7853782	0,8333	-0,694719	-250,77157
15,38		0	13,27294	-1,4955971	7,69	-1,441483	1,19964	-0,8759105	0,9997	-0,785248	-263,45967
100		0	86,3	-1,5592094	50	-1,550799	7,8	-1,4432868	6,5	-1,418147	-342,13843
1000		0	863	-1,5696376	500	-1,5687963	78	-1,5579765	65	-1,555413	-358,20309

-

Рисунок 8 – Логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы.

Если разомкнутая система устойчива или нейтральна, для ее устойчивости в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы число переходов ЛФЧХ через линию –180° при положительных значениях ЛАЧХ было четным (в частном случае равным нулю).

В данном случае ЛФЧХ совершает один отрицательный переход при положительных значениях ЛАЧХ. Можно сделать вывод о том, что замкнутая система неустойчива.