Индив.задание "Функции нескольких переменных"

ИрГУПС

Кафедра «Высшая математика»

6.1.6. Функции нескольких переменных

2.

Определить и построить линии уровня функции

z = x 2 +

y 2

.

4

sin(x − y)

∂

2

∂z

2

∂2 z

3.

Дана функция z =

.

Показать, что

x

− x

∂y 2

= 0.

x

∂x

∂x

4.

Найти экстремумы функции z = 2x3 − xy 2 +5x 2 + y 2 .

5.

Найти

экстремумы функции

z = x2 y( 2 − x − y )

при

условии, что

x + y = 6 .

6.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

z = 3xy −6x 2 + 6 y 2 +15x

в

замкнутой

области

x = 0, x = 2, y = 0, y =1.

7.

Найти

приближенное

значение функции

z = y 2 − xy − x 2 в точке

А(-3.91, 5.06).

8.

Найти

z и производную

в точке А(-1;2)

по направлению вектора

grad

а =(3;4), если z = 2x2

+ xy .

ИрГУПС

Кафедра «Высшая математика»

6.1.6. Функции нескольких переменных

1.

Найти область определения функции z =

x 2

+

y 2

−1.Сделать чертеж.

4

9

2.

Определить и построить линии уровня функции z =

y .

x

y

∂z

+ y ∂z = xy + z.

3.

Дана функция

z = xy + xe

. Показать, что x

x

∂x

∂y

4.

Найти экстремумы функции z =1 + 6x − x 2 − xy + y 2 .

5.

Найти экстремумы функции

z = xy2 ( 2 −3x +4 y )

при условии,

что

x

+

y

=1.

4

6

6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy −2x − y в

замкнутой области

0 ≤ x ≤ 3,

0 ≤ y ≤ 4.

z = ln (x 2 + y 2 ) в

7.

Найти

приближенное значение

функции

точке

А(1.96, 2.03).

8.

Найти

z и производную

в точке А(2;-2) по направлению вектора

grad

а =(1;4), если

z = arctg

x

.

y

9.

Найти частные производные первого порядка, если

а) 2x2 + 2 y 2 + z 2 −8xz − zy +8z = 0;

б) u =

еyx ( y − z )

,

y = arcsin x,

z = cos x.

a2 +1

ИрГУПС

Кафедра «Высшая математика»

6.1.6. Функции нескольких переменных

1.

Найти область определения функции z =

1 −

x2

+

y 2

.Сделать чертеж.

9

16

2.

Определить и построить линии уровня функции z =

y

.

x2

3.

Дана функция u = (x − y)(y − z)(z − x). Показать, что

∂u +

∂u +

∂u = 0.

∂x

∂y

∂z

4.

Найти экстремумы функции

z = x2 + xy + y 2 − 2x − y.

5.

Найти экстремумы функции

z = x + y при условии, что x2 + y 2 =1.

6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x3 + y 2 −3xy

в замкнутой области x = 0,

y = 0, 3x + 2 y −6 = 0.

7.

Найти приближенное значение функции

z = x3 y 2 в точке

А(1.02, 0.97).

8.

Найти

z и производную в точке А(0;3)

по направлению вектора

grad

б) z =

1

ln

u

, u = tg 2 x, r = ctg 2 x.

2

r

ИрГУПС

Кафедра «Высшая математика»

6.1.6. Функции нескольких переменных

1.

Найти область определения функции z = x +

x2 − y2 . Сделать чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции

z =

xy .

x − y

∂u

∂u

∂u

3.

Дана функция z = x +

. Показать, что

+

∂y +

∂z = 1.

y − z

∂x

4.

Найти экстремумы функции

z = x3 + y2

−6 xy −39x +18 y +20.

5.

Найти экстремумы функции z = x2 − y2

при условии, что x2 + y2

=1.

6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = 1 x2

− xy в

2

замкнутой области

y =

x2

, y = 3.

3

7.

Найти приближенное значение функции z = x2 + y2

в точке

А(4.05, 2.93).

8.

Найти

z и производную в точке А( 2;0) по направлению вектора

grad

а =(2;4), если z = xe y .

ИрГУПС

Кафедра «Высшая математика»

6.1.6. Функции нескольких переменных

1.

Найти

область определения функции u =

a 2 − x 2 − y 2 − z 2 . Сделать

чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции z =

x .

y

y

∂

∂z

∂

2 z

3.

Дана функция z =ex . Показать, что

x 2

− y

2

∂y 2

= 0.

∂x

∂x

4.

Найти экстремумы функции

z = 3x3 − x 2 y +5y 2 + x 2 .

5.

Найти экстремумы функции z = x2

− 2 y2 + 4xy −6x −1

при

условии,

что x + y = 3.

6.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функ-

цииz = 3xy −6x 2 + 6 y 2 +15x

в

замкнутой

области

x = 0, x = 2, y = 0, y =1.

7.

Найти

приближенное значение

функции

z = xy + x − y

в точке

А(1.47, 2.53).

8.

Найти

z и производную в точке А( 2;1) по направлению вектора

grad

ИрГУПС

Кафедра «Высшая математика»

6.1.6. Функции нескольких переменных

1.

Найти область определения функции z = arcsin(2x − y).

Сделать

чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции z = x2 + y2 +2x −4 y.

3.

Дана

функция

z =

y2

+arcsin(xy).

Показать,

что

3x

x2 ∂z − xy ∂z + y 2

=0.

∂x

∂y

4.

Найти экстремумы функции z = y

x − x2 +3x +8 y.

5.

Найти экстремумы функции z = 2x2 +2 y2 −4xy −3x −1 при

условии,

что

x

+

y

=1.

2

2

6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 − y2

в

замкнутой области

x 2 + y 2 ≤ 4.

7.

Найти

приближенное значение функции z = 2x 2 + 2 y 2 − x − y

в

точке А(-2.02, 2.95).

8.

Найти

z и производную в точке А( 3;5) по направлению вектора

grad

а =(1;-1), если z = arcsin

x

.

y

9.

Найти частные производные первого порядка, если

ИрГУПС

Кафедра «Высшая математика»

6.1.6. Функции нескольких переменных

ВАРИАНТ № 26

1.

Найти область определения функции

z =

1 + x2

− y2

.

Сделать

9

16

чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции z =

x2

+

y2

.

16

4

3.

Дана функция z = cos y +(y − x)sin y. Показать, что (x − y)

∂2 z

=

∂z .

∂x∂y

∂y

4.

Найти экстремумы функции z = (x2 +5xy + y) еy .

5.

Найти экстремумы функции z =1 − x2

− y2

при условии, что

(x +1)2 +(y +1)2 =1.

6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = xy + x + y в

замкнутой области

x =1, x = 2, y = 2, y = 3.

7.

Найти приближенное значение функции

z = x 2 − y 2 + 6x +3y

в точ-

ке А(2.02, 2.97).

8.

Найти

z и производную в точке А(3;-1;) по направлению вектора

grad

а =(2;5), если z = ln(4x −3y).

9.Найти частные производные первого порядка, если

а)

z arcsin yx = xy2 z 2

−3x −4 y + 2z ;

б) z = 5u 2 −r 2 , u =cos x + y ,

r = y3 +arcsin x .

ИрГУПС

Кафедра «Высшая математика»

6.1.6. Функции нескольких переменных

ВАРИАНТ № 27

1.

Найти область определения функции z = x + y ln (y2 − x2 ). Сделать

чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции

z = x2 + y −1.

3.

Дана

функция

z =

y2

+ arcsin(xy).

Показать,

что

3x

x2 ∂z − xy ∂z + y2 = 0.

∂x

∂y

4.

Найти экстремумы функции

z = x2 + xy + y2 −6 x −9 y.

5.

Найти

экстремумы функции z = x2 y(2 + x + y) при условии, что

x − y = 6.

6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x3 + y2 −3xy

в замкнутой области x = 0,

y = 0, 3x + 2 y −6 = 0.

7.

Найти

приближенное значение

функции

z = x3 y2 в

точке

а) zxy 2 + cos z

y

− arccos

x

=0;

x

y

б) z = r 2 u,

u = arcsin x2 ,

r = cos2 x.

ИрГУПС

Кафедра «Высшая математика»

6.1.6. Функции нескольких переменных

1.

Найти область определения функцииz =

1 + x2 + y2

+

1 − x + y2 . Сде-

лать чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции z =

xy +1.

3.

Дана функция

z = x y . Показать, что y

∂2 z

= (1 + y ln x)

∂z .

∂x∂y

∂x

4.

Найти экстремумы функции z = x

y + x2

+ y + 6x +3.

5.

Найти экстремумы функции z = x2

− y2

при условии, что 3x + 4 y =12.

6.

Найти

приближенное

значение

функции

z = x2 +2xy +3 y2

в

точке

А(1.96, 1.04).

7.

Найти

приближенное

значение

функции

z = x2 +3xy − y2 в

точке

А(0.96, 2.95).

8.

Найти

z и производную

в точке А(-2;4) по направлению вектора

grad

а =(1;-4), если z = 4x2

+6 − y2

+ 2x +5xy.

9.

Найти частные производные первого порядка, если

а)

zxе

xy +

x

+

cos(xy)3 =0;

y

б)

z = 5u 2 +

r ,

u = y −sin 2 x,

r = x + arctgy.

ИрГУПС

Кафедра «Высшая математика»

6.1.6. Функции нескольких переменных

ВАРИАНТ № 29

1. Найти область определения функции z = 8x −

5

. Сделать

y −1

y

3.

Дана функция z = xе−

. Показать, что x2 ∂2 z

+2xy

∂2 z

+ y2

∂2 z =0.

x

∂x2

∂x∂y

∂y2

4.

Найти экстремумы функции

z =1 +6 x − x2 − xy + y2 .

5.

Найти экстремумы функции

z = x2 + 2 y2

+ 4xy −6x −1 при условии,

что x − y = 3.

6.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

z = 2xy −3x2 −2 y2 +5

в

замкнутой

области

x = −1, y = −1, x + y = 5.

7.

Найти

приближенное

значение функции

z = xy + y2 −2x

в

точке А(2.03, 0.96).

8.

Найти

z и производную в точке А(2;1) по направлению векто-

grad

ра а =(3;-1),

если z = 2x2 +3xy + y2 .