37Глава 3. Параллельные силы и пары сил

3.1.

Сложение и разложение параллельных сил

Пусть на тело действуют две параллельные направленные в одну сторону силы приложенные в точках А и В.

Согласно 1-й и 2-й аксиомам статики перейдем отданной системы параллельных сил к эквивалентной системе сходящихся сил . (рис. 22 )

Для этого приложим в точка А и В две уравновешивающие силы направленные вдоль прямой АВ и сложим их с силамипо правилу параллелограмма. Полученные силыперенесем в точку О, где пересекаются их линии действия и разложим на первоначальные составляющие. Силыотбросим (по 2-й аксиоме статики) и останутся две направленные по одной прямой силы. Эти силы переносим в точку С и заменяем равнодействующеймодуль которой равен:

Для определения положения точки С рассмотрим треугольники ОаК, ОАС, ОСВ, Оbm. Из подобия

т.к. . Далее учитывая свойства пропорций, уравнение (3.1.1) и то, что

BC+AC=ABполучаем

Рассмотрим случай сложения параллельных сдал направленных в разные стороны.

Пусть . (рис. 23 )

Выберем на продолжении прямой АВ точку С и приложим к ней уравновешенные силы которые параллельны. Положение точки С и модули сил выберем таким образом, чтобы удовлетворялись соотношения

Складываем силы и, согласно (3.1.1) и (3.1.4), получим их равнодействующуюравную по модулю, то есть модулюи приложенную в точке А. То есть силыиоказались уравновешенными и их можно отбросить.

В итоге силы заменяются одной силой, которая и является их равнодействующей. Точка приложения С равнодействующей и ее модуль определяются формулами (3.1.5), (3.1.6).

С помощью формул (3.1.1.) - (3.1.6) можно решать задачу о разложении силы на две ей параллельные. Задача будет определенной при задании дополнительных условий.

3.2.

Пара сил. Момент пары

Система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил иназывается парой сил.Система не находится в равновесии, но и не имеет равнодействующей.Плоскость, проходящая через линии действия сил называют плоскостью действия пары (рис. 24 ).Расстояние d между линиями действия сил пары называют плечом пары.Действие пары сил на твердое тело сводится к вращательному эффекту и зависит от:

1) модуля F и длины плеча d;

2) положения плоскости пары;

3) направления поворота в этой плоскости.

Для характеристики этого вращательного эффекта вводится понятие момент пары.

Моментом пары называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на ее плечо.

Момент пары условимся считать положительным (+), если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и отрицательным (-) - когда по ходу часовой стрелки.

Обозначение момента пары m или М без индекса имеет свой смысл, так как момент пары нельзя смешивать с моментом силы относительно центра и этот центр указывается в индексе (например: ). Момент же пары определяется только силами и плечом.

Действие пары сил, как уже указывалось выше, характеризуется тремя условиями. При характеристике пар необходимо задавать все три значения. Но мы знаем, что вектор-нормаль к плоскости задает значения второго и третьего условия. Если мы теперь пронормируем вектор-нормаль значением момента пары, то все три условия будут выполнены. Эти соображения и позволили рассматривать момент пары как вектор.

Будем изображать момент пары вектором или, модуль которого равен модулю момента пары, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары, в ту сторону откуда поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 25 ).

Если рассматривать только пары лежащие в одной плоскости, то вместо вектора момента пары, можно стрелкой указывать только направлением поворота.

Вектор на рис. 25 условно изображен выходящим из точек В и D, однако он может изображаться выходящим из середины АВ или CD или из произвольной точки плоскости действия пары, так как

3.3.

Сложение пар. Условия равновесия пар

Рассмотрим первоначально систему пар лежащих в одной плоскости.

Теорема: Система пар, лежащих в одной плоскости, эквивалентна одной паре, лежащей в той же плоскости и имеющей момент, равный алгебраической сумме моментов слагаемых пар.

Пусть на тело действуют три пары сил с моментами (рис. 26 )

Используя теорему об эквивалентности пар, заменяем эти пары эквивалентными другими парами , имеющими общее плечо d и такие же моменты

Сложив отдельно силы получим:

Вся система заменится одной парой с моментом

Обобщая эту формулу на n-пар получим:

Для равновесия плоской системы пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов этих пар была равна нулю:

При сложении пар в пространстве достаточно будет рассмотреть две пары.

Теорема: Любая система пар, действующая на твердое тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.

Итак, пусть даны две пары с моментами m1 и m2, лежащие в плоскостях I и II (рис. 27 )

Складываем силы в точках А и В:

и убеждаемся, что пары заменяются одной парой. Найдем моментэтой пары

Если на тело действует л пар с моментами , то:

Геометрически вектор - это замыкающий вектор силового многоугольника.

Если векторы лежат в разных плоскостях, то можно ввести систему координат Oxyz и находитьаналитически:

Условия равновесия твердого тела под действием пространственной системы пар, запишутся:

38. Из второго закона динамики материальной точки

,               (1.1)получается следующие дифференциальные уравнения:

- дифференциальные уравнения движения точки на плоскости

,

,          (1.2)- дифференциальное уравнение движения точки по прямой

 ,        (1.3)

где ,- проекции ускоренияна оси декартовых координат.

Первой называется задача, в которой заданы масса точки и закон ее движения в декартовых или естественных осях. Необходимо определить модуль и направление силы, действующей на точку.

Для решения следует выполнить следующие операции:

- построить расчетную схему, на которой в соответствии с условием задачи изобразить систему осей координат, нарисовать траекторию точки и отметить на траектории то положение точки, для которого требуется найти действующую силу. Эту силу следует представить составляющими на выбранные ос координат;

- по заданному движению материальной точки определить проекции ее ускорения на принятые оси координат;

- составить дифференциальные уравнения движения точки в форме (1.2) или (1.3). Из полученных уравнений определить проекции искомой силы, а затем ее модуль и направляющие косинусы.

Рассмотрим пример выполнения теста 1.

 «Материальная точка М массой кг движется в горизонтальной плоскости согласно уравнениям,, где- в метрах,- в секундах. Определить силу, действующую на точку в моментс.».

 

Решение

Строится расчетная схема. В соответствии с условием задачи принимается декартовая система координат. Из заданных уравнений движения следует, что траекторией точки является парабола . Она изображена на рисунке 1.1.

Положение точки в момент с. определяется координатами:

 м; м.

М₁ (0,5; -0,5).

Искомую силу представим составляющими и.

Вычислим проекции ускорения точки на оси координат

, .

Для заданного момента с. имеем

 м/с², м/с². 

Рисунок 1.1 – траектория точки 

Из дифференциальных уравнений (1.2) находим

 Н, Н.

Затем определяем модуль силы

 Н.

и направляющие ее косинусы

, .

39. Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величинаJ_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,где:

• m_i — масса i-й точки,

• r_i — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, какмасса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

,

где:

dm = ρ dV — масса малого элемента объёма тела dV,

ρ — плотность,

r — расстояние от элемента dV до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то