30. Оценка генеральной доли по собственно-случайной выбор­ке. Несмещенность и состоятельность выборочной доли.

Пусть генеральная совок-ть содержит N элементов, из к-ых М обладает нек-ым признаком А. Следует найти «наилучшую» оценку генеральной доли . Рассмотрим в качестве такой возможной оценки параметра р его статистический аналог - выборочную долю.

а) Выборка повторная.

Выборочную долю можно представить как среднюю арифметическую n альтернативных случайных величин, т.е., где каждая СВ(k=1,2,…,n) выражает число появлений признака в k-м элементе выборки (т.е. при наличии признака , при его отсутствии) и имеет один и тот же закон распределения:

Случайные величины независимы.

Теорема. Выборочная доля повторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной долипричем ее дисперсия:, Гдеq = 1 – p.

☺ Докажем вначале несмещенность оценки w.

Матем-кое ожидание и дисперсия частости события в n независимых испытаниях, в каждом из к-рых оно может наступить с одной и той же вероятностью р, равны соответственно

, .

Т.к. вер-ть того, что любой отобранный в выборку элемент обладает признаком А, есть генеральная доля р, то из 1 равенства вытекает, что частость или выборочная доля w есть несмещенная оценка генеральной доли р.

Осталось доказать состоятельность оценки , к-ая следует из теоремы Бернулли:, или. ☻

б) Выборка бесповторная.

В случае бесповторной выборки СВ будут зависимыми.

Теорема. Выборочная доля бесповторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной доли, причем ее дисперсия:

.

☺ Очевидно, что и для бесповторной выборки , т.е. w - несмещенная оценка для генеральной доли. Это связано с тем, что мат-кое ожидание суммы любых случайных величин равно сумме их мат-ких ожиданий (в том числе суммы зависимых случайных величин, каковой является выборочная доля w бесповторной выборки).

Найдем дисперсию выборочной доли для бесповторной выборки:

,

При выводе формулы использовали то, что СВ Х = m в случае бесповтoрной выборки имеет гипергеометрическое распределение, и ее дисперсия определяется по формуле .

30. Оценка генеральной средней по собственно-случайной вы­борке. Несмещенность и состоятельность выборочной средней.

Пусть из генеральной совокупности объема N отобрана случайная выборка , где Xk - СВ, выражающая значение признака у k-гo элемента выборки (k=1,2, ...,n). Следует найти «наилучшую» оценку для генеральной средней.

Рассмотрим в качестве такой возможной оценки выборочнyю среднюю х, т.е. .

а) Выборка повторная.

Закон распределения для каждой случайной величины (k=1,2,...,n) имеет вид:

Случайные величинынезависимы, т.к. независимы любые события(k=1,2,...n; i=1,2,...,m) и их комбинации.

Найдем числовые характеристики СВ :

, (1)

. (2)

т.е. мат-кое ожидание и дисперсия каждой СВ - это соот-но генеральная средняя и генеральная дисперсия.

Теорема. Выборочная средняя повторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной среднейпричем.

□ Докажем вначале несмещенность оценки. Найдем мат-кое ожидание выборочной средней , учитывая (2) и то, что- независимые случайные величины:

.

Осталось доказать состоятельность оценки , которая следует непосредственно из теоремы Чебышева:или

б) Выборка бесповторная

В этом случае случайные величины будут зависимыми.

Теорема. Выборочная средняя бесповторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной средней, причем

.