Методичка по ТИиК
.pdfодин двоичный знак кодовой комбинации: если деление без остатка – «0», в противном случае – «1». Ниже приведена таблица, иллюстрирующая метод, столбец справа показывает двоичные знаки кодовой комбинации.
120 |
2 |
|
|
|
|
|
|
«0» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
2 |
|
|
|
|
|
«0» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
2 |
|
|
|
|
«0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
2 |
|
|
|
«1» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
2 |
|
|
«1» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
«1» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
«1» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Двоичное число выписывается в обратном порядке, двигаясь снизу вверх.
При переводе из любой системы счисления в десятичную, нужно целую и дробную части (если есть дробная) умножать по правилам перевода! При переводе числа из десятичной системы в другую, нужно целую часть делить, а дробную умножать по правилам перевода из одной системы счисления в другую!
Примеры перевода чисел из одной системы счисления в другую:
Перевести число 122013 из троичной системы счисления в десятичную.
Решение:
4 3 21 0 разряды
12201 3=1*34 + 2*33 + 2*32 + 0*31 + 1*30 = 81+54+18+1 = 15410
Ответ: 122013 = 15410
Перевести число 234,68 из восьмеричной системы в десятичную:
Решение:
2 1 0 -1
234,68 = 2*82 +3*81 + 4*80 +6*8-1= 2*64+3*8+4+6*0,125= =128+24+4+0,75 =156,7510
Ответ: 234,68 = 156,7510.
Перевести число 101,012 из двоичной системы счисления в десятичную.
Решение:
11
2 1 0 -1 -2 разряды
101,012 = 1*22 + 0*21 + 1*20+0*2-1+1*2-2 =4+0+1+0+0,25=5,2510
Ответ: 101,012 = 5,2510
Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность результата деления и остатков от деления в обратной порядке.
Перевод дробного числа десятичного 0,62510 в дробное двоичное число Решение: 0,625*2=1,25
0,25*2=0,5
0,5*2=1,0 Ответ: 0,62510=0,1012
Перевести число 0,165 в четверичную систему счисления, ограничившись четырьмя четверичными разрядами.
Решение: 0,165*4=0,66
0,66*4=2,64
0,64*4=2,56
0,56*4=2,24 Ответ: 0,16510=0,02224
12
Системой счисления называется знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов (цифр) некоторого алфавита.
Задание для всех вариантов:
Позиционные системы счисления 1. Значение суммы чисел в восьмеричной
системе счисления равно …
2.Двоичному числу 10111012 соответствует какое шестнадцатеричное
число.
3.Переведите 102,213 в десятеричную систему счисления.
4.Переведите 213,214 в семеричную систему счисления.
5.С помощью калькулятора программиста вычислите: число 7218 соответствует какому десятичному числу?
6.В системе счисления с основанием ______ десятичное число 26 записывается в виде 101.
Задачи (блок B)для выполнения:
1 – 10. Определить количество информации (по Хартли), содержащееся в системе, информационная емкость которой характеризуется десятичным числом Q. Закодировать это число по двоичной системе счисления, до двух цифр после запятой.
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Q |
500 |
1000 |
750 |
1250 |
250 |
1500 |
650 |
900 |
1100 |
1600 |
В статистической теории вводится энтропия как мера неопределенности случайного события. Если случайное событие имеет n элементарных исходов
и известны их вероятности p , то энтропия рассчитывается по формуле:
i
13
n |
|
|
|
H p log |
p . |
(4) |
|
i 1 |
i |
2 i |
|
|
|
|
|
Размерность энтропии определяется основанием логарифма: при основании 2 энтропия измеряется в битах.
Определим количество информации, соответствующее i исходу, как
I log |
p , |
|
i |
2 |
i |
тогда энтропию можно определить |
как |
среднее количество информации, |
приходящееся на один исход,
H I .
ср
Энтропия принимает максимальное значение в случае равновероятных
исходов |
|
|
|
H |
log |
n , |
(5) |
|
max |
2 |
|
где n – число исходов. |
|
|
|
Рассмотрим дискретный |
источник сообщений |
X. Пусть xi – |
|
независимые элементы алфавита сообщений, а p(xi) – их вероятности (i = 1, 2, …, n), тогда среднее количество информации на один элемент алфавита сообщений определяется через энтропию источника по формуле, аналогичной (4)
|
n |
|
|
|
|
I |
H ( X ) p(x )log |
|
p(x ). |
(6) |
|
ср |
i 1 |
i |
2 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
Максимальное количество информации соответствует случаю равных вероятностей элементов алфавита и определяется по формуле (5).
Определим |
абсолютную |
и |
относительную избыточность |
||
передаваемого сообщения по следующим формулам |
|
||||
|
Dабс Hmax H , |
(7) |
|||
|
D 1 |
Н |
. |
(8) |
|
|
|
||||
|
|
|
Нmax |
|
|
Пример 2. Пусть в сообщении используются два независимых символа x1 и x2. Заданы вероятности появления символов р(x1)=0,3 и р(x2)=0,7.
Максимальное среднее количество информации на символ сообщения имеет место при равновероятном распределении и равно, согласно формуле
(5),
H log 2 1 (бит).
max |
2 |
Рассчитаем среднее количество информации на символ сообщения при заданных вероятностях по формуле (6)
14
I |
H (X ) p(x )log |
|
p(x ) p(x )log |
|
p(x ) , |
||
ср |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
I |
0,3 log |
0,3 0,7 log |
0,7 0,88 (бит) |
||||
|
ср |
2 |
|
|
2 |
|
|
Оценим избыточность сообщения по формулам (7) и (8)
D 1 0,88 0,12 (бит),
абс
D 0,12 0,12 12% . 1
Задачи(блок С) для выполнения:
1–10. Определить среднее количество информации, содержащееся в сообщении, используемом три независимых символа S1, S2, S3. Известны вероятности появления символов p(S1)=p1, p(S2)=p2, p(S3)=p3. Оценить избыточность сообщения.
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
p1 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
0,15 |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
0,05 |
0,15 |
p2 |
0,15 |
0,1 |
0,15 |
0,3 |
0,2 |
0,4 |
0,25 |
0,3 |
0,15 |
0,25 |
p3 |
0,75 |
0,7 |
0,55 |
0,6 |
0,65 |
0,5 |
0,55 |
0,5 |
0,8 |
0,6 |
Лабораторная работа 3
Меры и единицы количества и объема информации. Кодирование данных в ЭВМ.
Бит кодирует два значения: 0, 1 Сборку из восьми битов называют байт.
Байт кодирует 256 значений (2^8, от 00000000 до 11111111) Далее следуют: Килобит(Кбит) - 1024 (2^10) бита, 128 байт
1 байт=8 бит 1 Килобайт(Кб) – 1024 (2^10) байта,
1 Мегабайт (Мб) – 1024 (2^10) Кб, 1 Гигабайт (Гб) – 1024 (2^10) Мб
Последовательность нескольких битов или байтов часто называют полем данных. Биты в числе (в слове, в поле т. П.) нумеруются справа налево, начиная с 0-го разряда.
В ПК могут обрабатываться поля постоянной и переменной длины.
Поля постоянной длины: |
|
слово – 2 байта |
слово длиной 10 байт – 10 байт |
полуслово – 1 байт |
двойное слово – 4 байта |
|
15 |
расширенное слово – 8 байт Числа с фиксированной запятой чаще всего имеют формат слова и
полуслова, числа с плавающей запятой – формат двойного и расширенного слова.
Поля переменной длины могут иметь любой размер от 0 до 256 байт, но обязательно равный целому числу байтов.
Растровое изображение.
Форму представления на экране дисплея графического изображения, состоящего из отдельных точек (пикселей), называют растровой. Минимальным объектом в растровом графическом редакторе является точка (пиксель). Растровые изображения представляют собой однослойную сетку точек, называемых пикселями (pixel, от англ. picture element). Код пикселя содержит информацию о цвете.
Задания для всех вариантов:
1.Если средняя скорость чтения составляет 160 слов в минуту (одно слово – в среднем 6 символов), то за четыре часа непрерывного чтения можно прочитать _______ Кбайт текста (принять однобайтный код символов).
2.Имеется сообщение объемом 223 бит. В мегабайтах объем этого сообщения равен …
3.Информационный объем сообщения равен произведению количества символов в сообщении на разрядность кода символа. В Unicodeкаждый символ занимает 2 байта, т. е. 16 битов. В кодировке ASCII– 8 бит. Разница равна 8 битам.
Модему, передающему сообщения со скоростью 28800 бит/сек, для передачи 100 страниц текста в 30 строк по 60 символов каждая в кодировке ASCII потребуется __________сек.
4.Сообщение содержит 4096 символов. Объем сообщения при использовании равномерного кода составил 1/512 Мбайт. Мощность
алфавита, с помощью которого записано данное сообщение, равна…
Для решения задачи используйте формулу Хартли N=2i, где N – мощность алфавита, i - сколько бит понадобиться для кодирования одного символа.
5.Объем текстовой информации в сообщении на 40 страницах (на странице 40 строк по 80 символов в каждой) в кодировке ASCII равен… (результат должен быть в килобайтах).
2
6.При перекодировке сообщения из кода Unicode в код ASCII объем сообщения изменился на 1/512 Мбайта. Сообщение содержит _____
символов.
7.Скорость пeредачи данных через ADSL-соединение (модем) равна 256000 бит/сек. Передача файла через это соединение по времени заняла 2 мин. Определите размер файла в килобайтах.
8.Сообщение из 50 символов было записано в 8-битной кодировке Windows-1251. После вставки в текстовый редактор сообщение было перекодировано в 16-битный код Unicode. Количество памяти, занимаемое сообщением, увеличилось на ____ байт.
9.Существует ___________ различных последовательностей из
символов «А» и «В», длиной ровно в пять символов.
Использовать для решения задачи формулу N=XY, где N-количество различных последовательностей, X– количество символов, Y–длина.
10.Растровое изображение размером 64*64 пикселя занимает 4 килобайта памяти. Максимальное количество цветов, используемых в изображении, равно _____.
Для решения 10 задачи нужно знать, что количество различных отображаемых цветов К и битовая глубина (число разрядов, используемых для кодирования цвета) b связанных формулой:
,
где, K - количество цветов, b - битовая глубина.
Зависимость цветовой палитры монитора от информационной емкости одного пикселя: 4 бита – 16 цветов, 8 бит – 256 цветов.
Объем памяти, необходимой для хранения графического изображения, занимающего весь экран, равен произведению количества пикселей (разрешающей способности) на число бит, кодирующих одну точку. Объем графического файла в битах определяется как произведение количества пикселей N*M на разрядность цвета С (битовую глубину)
11.При разрешении 640*480 и количестве цветов 16 объем памяти равен
_____ Кбайт.
12.Сколько байт памяти необходимо, чтобы закодировать изображение на экране компьютерного монитора, который может отображать 1280 точек по горизонтали 1024 точек по вертикали при 256 цветов?
13.Для хранения изображения экрана монитора, работающего при разрешении 1366х768 пикселей в 256-цветном режиме, на 1 пиксель необходимо затратить ____________ видеопамяти.
16
Количество бит на 1 точку (пиксель): I=log2k, где k-число цветов.
14.Пользователь собирается скачивать с файлообменника музыкальные mp3-файлы. Скорость передачи данных через ADSL-соединение равна 512 Кбит/с. Время бесплатного соединения ограничено 5 минутами. Размер одного музыкального файла в среднем составляет 4 Мбайта. Наибольшее количество файлов, которые ему удаться загрузить бесплатно за один сеанс подключения, будет равно…
Время, затрачиваемое на запросы, не учитывать; считать, что файлы могут заканчиваться друг за другом непрерывно; файл, загруженный не полностью, не будет сохранен. 1 Кбит/с=1000 бит/с.
15.Минимальная длина равномерных двоичных кодов для букв английского алфавита (26 букв) равна …
Воспользуемся формулой количества информации (формулой Хартли), где N
–искомое число символов в коде минимальной длины.
16.Системный администратор ограничил длительность непрерывного подключения компьютеров сотрудников организации к сети Интернет 10 минутами. Сотруднику требуется переслать на файл-сервер Сети файл размером 100 Мбайт. Скорость передачи информации с рабочего места (компьютера) сотрудника в среднем составляет 512 Килобит/с. Для этого необходимо разделить файл на сколько частей.
17.При 8-битном кодировании цвета точки черно-белого изображения можно получить сколько оттенков.
Лабораторная работа 4
Рассмотрим сложный опыт (X, Y), исходы которого обозначим через (xi, j). Энтропия вводится аналогичным образом
H ( X ,Y ) p(x , y )log |
|
p(x , y ) . |
(9) |
|
i, j |
i j |
2 |
i j |
|
|
|
|
|
|
Если составляющие X, Y сложного опыта независимы, то энтропия сложного опыта равна сумме энтропий составляющих
H (X ,Y ) H (X ) H (Y ) . |
|
(10) |
|||
В общем случае вводится понятие – условная энтропия H(Y |X) |
|
||||
H (Y |X) p(x )[ p( y |x )log p( y |x )] , |
(11) |
||||
i |
i |
j |
j i |
j i |
|
|
|
|
|
||
и формула (8) приобретает следующий вид
H (X ,Y ) H (X ) H (Y |X) .
17
Для дискретного источника сообщений с алфавитом, состоящим из зависимых попарно символов, энтропия источника определяется в соответствии с формулой (11)
H ( X ) H ( X |X) p(x )[ p(x |x )log p(x |x )] |
(12) |
|||||
2 |
i |
i |
j |
j i |
j i |
|
|
|
|
|
|
||
и характеризует среднее количество передаваемой информации на символ сообщения.
Пример 3. Учтем зависимость между символами в примере 2, заданную
матрицей условных вероятностей: |
|| p(x |x ) || |
0,9 |
|
0,1 |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j |
i |
|
0,2 |
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Рассчитаем энтропию источника по формуле (12) |
|
|
|
|
||||||||||||
H ( X ) p(x )[ p(x |x )log |
p(x |x ) p(x |x )log |
p(x |x )] |
||||||||||||||
2 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|
p(x )[ p(x |x )log |
p(x |x ) p(x |x )log |
p(x |x )] . |
|||||||||||||
|
2 |
|
1 |
2 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
Подставим числовые данные, используя пример 2, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
H ( X ) 0,3 [ 0,9 log |
0,9 0,1 log |
0,1] |
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,7 [ 0,2 log |
0,2 0,8 log |
0,8] 0,64 (бит) . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Таким образом, среднее количество информации на символ сообщения равно 0,64 бит, что меньше 0,88 бит, полученных в примере 2. Это вызвано учетом известной зависимости между символами, что естественно уменьшает неопределенность опыта.
Задачи (блок D)для выполнения:
1 – 10. В условии предыдущей задачи учесть зависимость между символами, которая задана матрицей условных вероятностей P(Sj / Si).
|
|
0,8 |
0 |
0,2 |
|
|
|
0 |
0,4 |
0,6 |
|
|
|
0,6 |
0,2 |
0,2 |
|
|
1. |
|
0 |
0,5 |
0,5 |
|
2. |
|
0,7 |
0,1 |
0,2 |
|
3. |
|
0,3 |
0 |
0,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0,1 |
0,5 |
0,4 |
|
|
|
0,5 |
0 |
0,5 |
|
|
|
0 |
0,4 |
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
0,2 |
0 |
0,8 |
|
|
|
0,1 |
0,8 |
0,1 |
|
|
|
0 |
0,2 |
0,8 |
|
|
4. |
|
0,5 |
0,1 |
0,4 |
|
5. |
|
0 |
0,3 |
0,7 |
|
6. |
|
0,5 |
0 |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
0,3 |
0,7 |
|
|
|
0,4 |
0 |
0,6 |
|
|
|
0,4 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3 |
||||||||||
|
|
0,4 |
0 |
0,6 |
|
|
|
0,3 |
0,2 |
0,5 |
|
|
|
0 |
0,3 |
0,7 |
|
|
7. |
|
0,8 |
0,1 |
0,1 |
|
8. |
|
0 |
0,1 |
0,9 |
|
9. |
|
0,1 |
0,3 |
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
0,3 |
0,7 |
|
|
|
0,2 |
0 |
0,8 |
|
|
|
0,6 |
0 |
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
0,5 |
0 |
|
10. |
|
0,3 |
0,3 |
0,4 |
|
|
|
||||
|
|
0 |
0,7 |
0,3 |
|
|
|
|
Лабораторная работа 5
Логические основы построения ПК.
Основы алгебры логики.
Для анализа и синтеза схем в ПК при алгоритмизации решения задач широко используется математический аппарат алгебры логики.
Алгебра логики – это результат математической логики, значения всех (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1. Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями.
Высказывание – это любое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждение о его истинности или ложности. При этом считается, что высказывание удовлетворяет закону исключительного третьего, т.е. каждое высказывание или истинно, или ложно и не может быть одновременно и истинным, и ложным.
Пример: Высказывание: «Сейчас идет снег» - это утверждение может быть истинным или ложным; «Вашингтон – столица США» - исинное утверждение; «Частное от деления 10 на 2 равно3» - ложное утверждение.
В алгебре логике все высказывания обозначают буквами а,b, cи т. д. Содержание высказываний учитывается только при введении их буквенных обозначений, и в дальнейшем над ними можно производить любые действия, предусмотренные данной алгеброй. Причем если над исходными элементами алгебры выполнены некоторые разрешенные в алгебре логики операций, то результаты операций также будут элементами этой алгебры.
Простейшими операциями в алгебре логики являются операции
логического сложения (операция ИЛИ, операция дизъюнкции) и логического умножения (операция И, операция конъюнкции). Для обозначения операции логического сложения используют символ + или V, а логического умножения – символы * или ).
Правила выполнения операций в алгебре логики определяются рядом аксиом, теорем и следствий.
В частности, для алгебры логики выполняются законы: 1) сочетательный:
(а + b)+с=а+( b +с);
( a * b ) * с = а * ( b * с);
19