27. Золотое сечение – основа структурирования живой и не живой природы

«для соединения двух частей с третьей совершенным образом необходима пропорция, которая скрепила бы их в единое целое; при этом одна часть целого должна так относиться к другой, как целое к большей части.» - Платон

Золотая пропорция (Золотое сечение) является главным эстетическим принципом.

Обнаружить это соотношение можно не только в творениях рук человеческих, но и в природе – в пропорциях человеческого тела, формах роста растений, животных и насекомых. Золотое сечение неотделимо от ценности объектов искусства и является признаком структурного единства объектов природы. В эпоху Ренессанса пропорцию Ф называли Божественной, а Леонардо да Винчи назвал ее Золотой.

Основой Золотого сечения являетсяБожественная пропорция.Она получается путем деления линии на два отрезка таким образом, чтобы отношение всей линии АС к более длинному отрезку АВ равнялось отношению более длинного отрезка АВ к более короткому ВС. Оно равняется сокращенно 1,61803, что можно выразить в виде дроби (1+)/2.

Золотое сечение Ф имеет вид равенства отношений отрезков Божественной пропорции:

AB/BC = AC/AB

Если принять АВ = а, а ВC = a/Ф (где Ф = АВ/ВC), то получится отношение:

Ф = 1+1/Ф.

Следовательно, Ф удовлетворяет квадратному уравнению:

Ф ²– Ф – 1 = 0

Ф = (/ 2 = 1,61803

Золотое сечение – это образ соразмерности, целостности, единства разнообразия, динамичного равновесия и роста, упорядоченного множества, образ подобия строению многим природным организмам.

Золотое сечение положено в основу распределения Лапласа-Гаусса – основного распределения случайных величин, преобладающих в природе. Площадь, заключенная под кривой (рис. 20), представляет собой интеграл, который выражает вероятность того, что отклонение от среднего значения случайной величины будет содержаться внутри определенных пределов. В пределах от – до + вероятность равна 68,3% (заключено 68,3% общего числа наблюдений, измерений), в пределах от – 2 до + 2 – 95,4% и в пределах от – 3 до + 3 – 99,7%.

Кривая нормального распределения Лапласа-Гаусса

28. Закон спирально-логарифмического кумулятивного роста и его применение в лесоведение

Закон спирально-логарифмического кумулятивного роста – это злотая спираль, математическое выражение основного закона роста организма в живой природе. Это математическая модель роста, которая отражает изменение массы организма с возрастом.

Закон спирально-логарифмического кумулятивного роста,выражаемый графически Золотой спиралью, объединяет в себе все основные свойства организации материи – числа π, е-натуральное, золотое сечение Ф и основную форму движения материи и организации жизни – спиралевидное вращение. Закон является важнейшим инструментом исследования роста дерева и древостоя.

Формы роста раковин – это логарифмические спирали Золотого сечения, теория совершенной формы роста. Каждая фаза роста воплощается в спирали, каждая новая спираль все больше приближается к соотношению Золотого прямоугольника. Однако формы роста аммонита, наутилуса и раковин других моллюсков никогда не достигают точных пропорций Золотого сечения. Биологические формы роста находятся в вечном стремлении приблизиться к этим пропорциям.

Семена на диске подсолнечника, семенные чешуи шишек хвойных пород расположены так, что их грани сливаются в правозакрученные и левозакрученные спиральные линии. Сосновая шишка и подсолнечник имеют сходные формы роста. Семена у них растут по перекрещивающимся спиралям, идущим в противоположных направлениях, и каждое семя пересекается обеими спиралями. 8 спиралей шишки сосны направлены по часовой стрелке, а 13 – против часовой, соотношение их 1,625 приближается к золотой пропорции 1,61803.

Логарифмическую (равнозначную) спираль первым начал изучать Декарт (1638), продолжилТорричелли, а в концеXVIIв. многие замечательные ее свойства установилБернулли.Жизнь в форме логарифмической спирали является основой организации роста биологических объектов.

Бернулли Якоб (1654 – 1705) положил начало вариационному исчислению. Открыл числа Бернулли, доказал теорему Бернулли и т.д. (БСЭ. Т. 3).

Логарифмическая спираль– плоская трансцендентная кривая, пересекающая все радиусы-векторы под одним и тем же углом. Уравнение ее в полярных координатах имеет вид:

С = ae^kϕ,

где: k = lnа = ctgм (при м = р/2, k = 0 и кривая – окружность).. При а>1 и ц→+∞ логарифмическая спираль развертывается против хода часовой стрелки, при ц→–∞ спираль закручивается по ходу часовой стрелки, стремясь к своей асимптотической точке О. Если а<1, логарифмическая спираль закручивается против хода часовой стрелки.

Логарифмическая кривая относится к псевдоспиралям. Она переходит в себя при линейных преобразованиях плоскости. По логарифмическим спиралям очерчены некоторые раковины; по другим, близким к логарифмическим спиралям, расположены семечки подсолнуха, чешуйки в шишках и т.д.

В каждой точке логарифмической спирали существует перпендикуляр к касательной, называемый нормалью. В логарифмической спирали все лучи, исходящие из центра, пересекают ее под одним и тем же углом, при этом в любом поперечном сечении спираль разделена точкой начала роста в отношении Золотого сечения