Metodichka_quot_Matematika_quot
.pdf
Для того чтобы составить представление о распределении случайной величины и о ее важнейших характеристиках достаточно обследовать некоторую выборочную совокупность или просто выборку значений случайной величины. Число выборочных значений n называется объемом выборки.
Ряды распределения:
1.Простой статистический ряд – совокупность значений случайной величины, записанных в последовательности измерений, и их вероятности или число повторений
2.Вариационный ряд – содержит значения случайной величины и число повторений. Каждое отдельное значение случайной величины называется вариантой. Вариационный ряд называется ранжированным, если варианты его расположены по возрастающим или убывающим значениям
3.Статистический ряд – при большом числе измерений (n) весь интервал значений случайной величины делится на подинтервалы. Определяется количество значений случайной величины в подинтервале – частота –(ni) или
относительная частота - nni .
Полигон и гистограмма статистического ряда
Для наглядности статистические распределения изображают графически в виде полигона и гистограммы.
Полигон частот – ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами (х1, n1), (х2,n2)…или для полигона относительных частот с
координатами (х1, nn1 ), (х2, nn2 )…
Гистограмма – графическое приближенное представление плотности распределения вероятностей случайной величины, построенное по выборке конечного объема.
Числовые характеристики. 1. Выборочное среднее значение случайной величины:
xв = 1 ∑n xi n i=1
61
2.Медиана (Ме) – значение случайной величины, делящее статистический ряд пополам. (При четном числе членов за медиану принимается среднее арифметическое двух значений хm и хm+1, находящихся в середине ряда.)
3.Мода (Мо) – значение, которое встречается наиболее часто, или наиболее вероятное значение случайной величины.
4.Мерой рассеяния случайной величины вокруг своего среднего значения является дисперсия:
n
∑(хi − xв )2
Dв = |
i=1 |
|
- |
(2) |
|
n |
|||
|
|
|
|
Dв - среднее арифметическое квадратов отклонений полученных значений от их среднего значения.
5. Выборочным средним квадратическим отклонением или стандартом отклонения называется корень квадратный из дисперсии:
n
∑(xi − xв )2
σ |
в |
= |
D |
= i=1 |
|
|
в |
n |
|
|
|
|
|
Однако для оценки дисперсии генеральной совокупности следует ввести
исправленную дисперсию:
∑(xi − xв )2
S 2 = |
|
(4) |
|
n −1 |
|||
|
|
и среднее квадратическое отклонение для генеральной совокупности, или
стандарт:
n
∑(xi − xв )2
S = S 2 = i=1 |
n −1 |
(5) |
|
|
На практике формулу (5) используют в тех случаях, когда число членов выборки n<30.
62
При решении задач по теории вероятностей необходимо:
1.Выяснить, являются ли события независимыми или зависимыми.
2.Определить вероятность каждого отдельного события.
3.Определить вероятность одновременного наступления этих событий.
Задачи:
1. К экзамену студент выучил только 20 билетов из 30.
1)Какова вероятность того, что ему достанется невыученный билет (событие
А)?
2)Изменится ли вероятность этого события, если раньше другой студент уже вытащил один билет из тех, что невыучен первым студентом (событие B).
2.Проводившиеся в некотором районе многолетние наблюдения показали, что из 100000 десятилетних граждан до 40 лет доживает в среднем 82300 человек, до 70 лет — 38000. Найти вероятность для десятилетнего и сорокалетнего человека дожить до 70 лет
Ответ: 1) 0,38; 2) 0,46.
3.Медсестра обслуживает 3 палаты. Вероятность поступления вызова из 1-й палаты — 0,2, из 2-й — 0,4. Какова вероятность того, что ближайший вызов будет из 3-ей палаты?
Ответ: Р(3) = 0,4.
4.На обследование прибыла группа в 10 человек. Трое из них больны. Врач приглашает в кабинет по 2 человека. Найти вероятность того что:
А) оба больны, Б) оба здоровы,
В) один болен и один здоров, Г) хотя бы один болен.
63
5.На складе клиники имеется 15 электрокардиографов. У 5 из них имеются мелкие неисправности (отсутствует калибровочный импульс; не в порядке вилка
ит.д.). Какова вероятность того, что из 3-х наугад взятых приборов хотя бы один окажется неисправным?
Ответ: 0,7
6.В отделении 4 палаты. Вероятность того, что в течение ночи в первую палату потребуется кислородная подушка — 0,2, во 2-ю — 0,3, в 3-ю — 0,2, в 4- ю — 0,1. Какова вероятность того, что в течение ночи кислородная подушка потребуется:
1) в 1-ю и во 2-ю палаты; 2) во все 4-е палаты.
Ответ: 1) 0,06; 2) 0,0012 .
7.Статистика показывает, что вероятность рождения мальчика равна 0,516. Какова вероятность того, что новорожденный ребенок окажется девочкой?
Ответ: 0,484
8.Согласно статистическим данным, европейцы имеют группу крови А — 0,369 всего населения, группу B — 0,235, группу AB — 0,006, группу O — 0,390. Найти вероятность того, что у произвольно взятого донора группа крови
A или B. Ответ: 0,604
10. При аварии пострадали 12 человек, 4 из них получили ожоги. Скорая помощь доставляет в больницу по 2 человека. Найти вероятность того, что в машине окажется:
1)оба пострадавших с ожогами;
2)оба без ожогов.
Ответ: 1) 1/11; 2) 14/33.
64
11.Во время эпидемии гриппа из 15 человек, доставленных в больницу с переломом, 5 оказались больны гриппом. В палату помещают по 4 человека. Найти вероятность того, что в палате окажутся:
1)все 4 больны гриппом;
2)хотя бы один болен гриппом.
Ответ: 1) 0,004; 2) 0,90.
12.Сигнальная лампочка прибора с вероятностью P= 0,1 перегорает при включении в сеть. Найти вероятность того, что она перегорит при втором включении.
Ответ: 0,09.
13.Для повышения надежности блок прибора дублируется другим таким же блоком. При выходе из строя первого блока происходит мгновенное переключение на второй. Надежность каждого блока P= 0,9. Найти надежность системы.
Ответ: 0,99.
14.Для уничтожения колонии микроорганизмов, ее обрабатывают последовательно двумя препаратами. Вероятность уничтожения колонии первым препаратом — 0,4, вторым — 0,6, причем их действия независимы. Найти вероятность того, что после действия обоих препаратов колония:
1)не будет уничтожена;
2)будет уничтожена.
Ответ: 1) 0,24; 2) 0,76.
15. На обследование прибыла группа в 15 человек, среди которых 5 инфекционно больных. Одновременно обследование проходят 3 человека.
65
Какова вероятность того, что в группе из 3 человек, хотя бы один окажется инфекционным?
Ответ: 0,7.
16. Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 вопросов из 24. В билете 3 вопроса. Найти вероятность того, что ему в билете попадется хотя бы 1 вопрос, который он не знает.
Ответ: 0,44 Часто встречаются задачи, когда вероятность осуществления события А
одинакова в каждом опыте независимо от исхода предыдущих опытов и равна Р(А). Требуется найти вероятность того, что в n опытах событие А произойдет m раз. Вероятность того, что в первых опытах событие А произойдет, а в последующих n —m опытах не произойдет равна:
Pm (1− P)n−m
Такой порядок событий является одним из Cnm (числа сочетаний из n по m)
возможных способов реализации m событий А в n испытаниях. Следовательно,
полная вероятность равна: |
|
|
|
P(m) = Cnm Pm (1 − P)n−m , |
(1) |
||
где число сочетаний из n по m: C nm = |
n! |
. |
|
m!( n − m )! |
|
||
|
|
|
|
Формула (1) называется формулой Бернулли.
n! — читается «эн факториал» - n! = 1 2 3 n
ПРИМЕР 1. Появление колонии микроорганизмов данного вида в определенных условиях оценивается вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что в 3 пробах колония появится 2 раза.
РЕШЕНИЕ: 1 способ. Пусть событие А – появление колонии. Его вероятность Р(А)=0,7
В – противоположное событие. Его вероятность Р(В)=0,3 Возможны следующие ситуации:
66
1. Первая и вторая проба – событие А, третья проба – событие В:
Р(А и А и В) = Р(А) Р(А) Р(В) = Р2(А)Р(В) =(0,7)2(0,3) = 0,147
2.Первая и третья проба – событие А, вторая проба – событие В:
Р(А и В и А) = Р(А) Р(В) Р(А) = Р2(А)Р(В) =0,147
3.Первая проба – событие В, вторая и третья – событие А:
Р(В и А и А) = Р(В) Р(А) Р(А) = Р2(А)Р(В) = 0,147
Так как все три ситуации подходят, то вероятность появления колонии в 2 пробах из трех:
Р(2) =3Р2(А)Р(В) =3 0,147 = 0,441
2 способ. Воспользуемся формулой Бернулли (1):
Р(2) = |
1,2,3 |
(0,7)2 (1−0,7) |
=0.441 |
||
|
1,2 |
||||
|
|
|
|||
Очевидно, расчет по формуле (1) много проще.
Задачи:
17.В поликлинике работают 7 участковых врачей. Вероятность заболеть гриппом во время эпидемии каждого из них составляет 0,2. Какова вероятность того, что во время эпидемии 5 из 7 останутся здоровыми?
Ответ: 0,275
18.Вероятность рождения мальчика Р = 0,515. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди них 3 мальчика.
Ответ: 0,32
19.Медицинская скорая помощь обслуживает 4 поликлиники. Вероятность того, что в течение часа она потребуется одной поликлинике, равна 0,6. Считая вызовы поликлиник независимыми, найти вероятность того, что в течение часа вызов сделают:
а) две поликлиники б) три поликлиники.
Ответ: а) 0,345 б) 0,345
20. О влиянии фармакологического препарата судили по изменению веса лабораторных животных, которым в течение недели вводили препарат. За неделю изменения веса составили:
67
Изменение веса, хi,г |
|
-100 |
- 50 |
0 |
|
+50 |
+100 |
|
Вероятность Р(хi) |
|
0,1 |
0,2 |
0,3 |
|
0,3 |
0,1 |
|
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное |
||||||||
отклонение прибавки веса. |
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: М(Х) = +5 г. |
D(X) = 3325 |
σ = 58 |
|
|
|
|||
21. Проведены точные измерения дозированного медицинского препарата, предназначенного для инъекций и содержащегося в ампулах по 1 мл в каждой ампуле, с целью уточнения влияния количества вводимого препарата на лечебный эффект.
При проверке 12 ампул, получили следующие результаты ( в мл.) 0,97, 1,07, 1,02, 1,04, 0,97, 0,96, 1,03. 1,05, 0,96, 0,97, 1,05, 1,03
Считая, что распределение подчиняется нормальному закону, определить вероятность того, что в ампуле меньше одного миллилитра раствора.
Ответ: 0,40 или 40%
Расчет погрешностей с использованием элементов математической статистики
При измерении какой - либо величины необходимо провести не одно, а несколько наблюдений этой величины. В результате имеем ряд наблюдений Х1, Х2, Х3, … ХN. Этот ряд в статистике называют выборкой, а N — объёмом выборки. Каждый результат измерений отягощен случайной погрешностью. Если мы обозначим истинное значение измеряемой величины через µ (а его мы
никогда не знаем), то можно записать этот ряд так:
X1 = µ + ∆01; X 2 = µ + ∆02 ; … X N = µ + ∆0N , |
(1) |
где µ - истинное значение измеряемой величины;
∆0i - обозначение случайной погрешности при i - ом измерении.
68
Если теперь сложить правые и левые части этих равенств и поделить суммы на Ν (т.е. найти среднее арифметическое), то, вводя общепринятые
|
|
|
1 |
N |
1 |
|
1 |
N |
1 |
N |
|
|
обозначения, получим |
|
= |
∑xi = |
(Nµ) + |
∑∆0i = µ + |
∑∆0i . |
(2) |
|||||
x |
||||||||||||
|
N |
|
|
|||||||||
|
|
|
N i=1 |
|
N i=1 |
N i=1 |
|
|||||
в качестве характеристики случайного рассеяния результатов наблюдений (характеристики случайных погрешностей) будем брать величину,
σ = 
(N1−1) ∑(xi − x)2 , (3)
называемую средним квадратичным отклонением наблюдений (СКО). σ-
характеризует разброс результатов наблюдений относительно x , являющегося оценкой истинного значенияµ .
Для характеристики случайного отклонения x относительно µ вводят
величину СКО результата измерения Sx . В статистике доказывается, что
Sx = σN = N (N1 |
N |
|
|
−1) ∑i=1 |
(xi − x)2 . |
(4) |
Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение определяют интервал, внутри которого находятся истинное значение измеряемой величины.
µ = |
x |
± S&х&& = M (x) ± S&х&& . |
(5) |
|
Оказывается, что если случайная погрешность подчиняется нормальному |
||||
закону распределения, то и в этом случае, используя S |
|
вместо σ , можно |
||
x |
||||
подсчитать доверительную вероятность P . Соответствующую формулу вывел английский математик Госсет, опубликовавший свои труды под псевдонимом Стьюдент (Studentстудент).
В этом случае так же составлены таблицы, связывающие между собой доверительную вероятность Ρ, число измерений N или число степеней свободы ν = N-1 и стандартизованную переменную t, называемую коэффициентом
Стьюдента,
69
t = xS− x = ∆S 0 .
x x
Обычно задаются доверительной вероятностью P и, зная N,по таблице коэффициентов Стьюдента находят t. Зная t, находят доверительный интервал в единицах измерения по формуле
∆0 = tS |
|
или ∆0 = t |
σ . |
(6) |
x |
||||
|
|
|
N |
|
Вычисление погрешности косвенных измерений
Результат косвенного измерения всегда будет завышен или занижен относительно истинного значения измеряемой величины, вследствие приборных погрешностей. Анализ имеющейся литературы, в том числе и метрологической, говорит о том, что при вычислении погрешности косвенных измерений нужно руководствоваться следующими правилами.
Пусть y = f (x1, x2, x3, …xN) есть косвенно измеряемая величина,
являющаяся произвольной функцией непосредственно измеряемых и независимых величин x1, x2, x3, …xN.
В таком случае
|
|
∆y = ( |
∂f |
∆1 )2 + ( |
∂f |
∆2 )2 +... + ( |
∂f |
∆N )2 , |
(7) |
||
|
|
|
∂x |
|
∂x |
2 |
|
∂x |
N |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
или короче, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∆y = |
∑( ∂f |
∆i )2 , |
|
|
|
(8) |
|
|
|
|
|
|
|
∂xi |
|
|
|
|
|
где |
∂f |
- частная производная от функции |
f (x1, x2, x3, …xN) по переменной |
||||||||
|
|||||||||||
|
∂xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хi.
В случае если переменные xi или функции от них образуют произведение или частное, удобнее пользоваться следующей формулой для подсчета относительной погрешности результата измерения:
∆y |
= |
N |
|
∂(ln |
f ) |
|
2 |
(9) |
∑ |
∆i |
, |
||||||
y |
|
i=1 |
|
∂xi |
|
|
|
|
70