Metodichka_quot_Matematika_quot

ПРИМЕР 3. Найти общее решение уравнения (х+1)dy ─ y2dx = 0 и частное решение, удовлетворяющее условию: у = 1 при х = 1.

РЕШЕНИЕ: Разделим переменные путем тождественных алгебраических преобразований.

имеют общее решение в виде указанных функций:

51

Задание 2. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

10.y′ = 2 y 2

11.y′ = 2x2 +1

12.y′ = 5 y

13.y′ = sin x + cos x

14.xyy′ = 0.5

15.3xdy = 2ydx

16.(x +1)dx − 2xydy = 0

Задание 3 Найти общие интегралы уравнений и частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие начальным условиям:

52

5. Примеры решения задач на составление дифференциального уравнения

1. Терапевтический эффект некоторого лекарственного препарата сохраняется при условии, что его концентрации, не меньше 10% начальной концентрации в момент приема препарата. Определить сколько раз в сутки следует принимать препарат, чтобы его эффект сохранялся непрерывно. Известно, что через 1 час 12 минут концентрация препарата уменьшается в два раза. Скорость усвоения препарата пропорциональна его концентрации.

С — концентрация вещества в любой момент времени. С0 — концентрация в момент времени t=0.

К — коэффициент пропорциональности.

53

K = 0.69372 = 0.00962 .

3. Находим время, через которое концентрация препарата станет равной: C1 = 0.1C0 .

2. При расследовании убийства температура тела убитого оказалась равной T = 200 C , а температура воздуха TB =150 C . Скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и воздуха. Коэффициент пропорциональности К определяется опытным путем. Определить время, прошедшее с момента убийства.

— начальная температура тела;

Т — температура тела в любой момент времени К=0,0069 мин-1

54

Подставим найденное значение в уравнение (1):

T =Tв +(T0 −Tв )Ce−Kt (2)

Уравнение (2) есть закон охлаждения тела с течением времени. Подставим в (2) заданные величины:

20 = 15 + (36,6 — 15) e−0,0069t

t =212 мин. = 3,53 часа — время, прошедшее с момента убийства.

3. Найти время в течение, которого масса лекарственного препарата в какомлибо органе уменьшается вдвое вследствие химического распада.

55

ГлаваΙV. Теория вероятности. Математическая статистика.

Основные понятия теории вероятностей.

1. Испытание. Испытанием называется совокупность условий, при которых появляется случайное событие. (Бросание монеты, извлечение шаров из ящика)

2.События A, B, C называются единственно возможными, если в результате каждого испытания хотя бы одно из них наверняка наступает.

3.События называются равновозможными, если при испытании не существует объективных причин, вследствие которых одно из них могло бы наступать чаще, чем другое.

4.Вероятность события. В общем случае, когда случайное событие А

происходит m раз в серии n испытаний, отношение mn называется

относительной частотой события А в данной серии испытаний. Вероятностью

случайного события называется предел, к которому стремится относительная частота события при неограниченном увеличении числа испытаний:

P(A) = lim m - статистическое определение вероятности.

n→∞ n

По классическому определению: P(A) = mn вероятность равна относительной

частоте события.

Вероятность достоверного события, т.е. события, которое в результате опыта непременно произойдет, принимают равной единице Вероятность невозможного события равна 0. Таким образом, вероятности любых событий заключены между значениями 0 и 1: 0 ≤ P(A) ≤1

Теоремы теории вероятностей.

1.Теорема сложения.

1)Вероятность появления при испытании одного из нескольких (безразлично какого) несовместимых событий P(A или B) равна сумме их вероятностей.

Для двух событий: P (A или B) = P (A+B) = P (A) + P (B)

57

Если 2 события при данном испытании единственно возможны и несовместимы, то такие события называются противоположными.

Одно обозначают через A, а другое A

2) Сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1.

Р(А) + Р( A ) = 1

Систему событий A1 , A2 … An называют полной, если при испытании обязательно наступает одно (и только одно) из этих событий 3) Сумма вероятностей событий, образующих полную систему равна 1.

n

∑pi =1

i=1

События могут быть независимыми и зависимыми одно от другого.

а) Событие B называется независимым от A, если его вероятность P(B) не зависит от того, произошло событие A или нет.

б) Событие В называется зависимым от события А, если его вероятность Р(В) меняется в зависимости от того, произошло событие А или нет.

Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(B A)

2. Теорема умножения.

1). Вероятность Р(А и В) сложного события, состоящего из совпадения нескольких независимых простых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Для двух событий: Р(А и В)=Р(А)Р(В)

2). Вероятность сложного события состоящего из совпадения двух зависимых между собой событий, равна произведению вероятности одного из простых событий на условную вероятность другого в предположении, что первое событие имело место:

Р(А и В) = P(A) P(A B)

58

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Дискретной называют случайную величину, принимающую некоторые определенные числовые значения.

Закон распределения дискретной случайной величины – таблица, в которой перечислены все ее возможные значения и их вероятности:

n

Условие нормировки дискретной случайной величины: ∑p(xι ) =1

ι=1

Математическим ожиданием М(Х) случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

n

М(Х)=х1р1 + х2р2 +…..+ хnрn = ∑xi pi

i=1

X ≈ M (X ) - Математическое ожидание равно среднему значению

Дисперсией D(X) называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X ) = M [X − M (X )]2 = ∑n [xi − M (X )]2 pi

i=1

Вычисление дисперсии можно упростить:

D(X ) = M (X 2 ) −[M (X )]2

Т.е. дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.

Средне квадратичным отклонением σ(х) случайной величины называется

корень квадратный из дисперсии: σ(x) = D(x)

Случайную величину называют непрерывной, если она может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного интервала. Для непрерывной случайной величины вводят новые понятия: плотности распределения вероятностей и функции распределения.

59

Функция распределения: F(x) = ∫x f (x)dx ,

−∞

где f (x) - плотность распределения вероятностей или плотность вероятности.

величина примет какое-нибудь значение из интервала [a,b].

Условие нормировки функции плотности вероятностей:

∞∫ f (x)dx =1,

−∞

т.к. выражает вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение из интервала (−∞, ∞) .

Случайная величина распределена по нормальному закону, если плотность вероятности ее равна:

( x−x)2

f (x) = σ 12π e− 2σ 2

Где x = М(х), σ – среднее квадратичное отклонение нормально распределенной случайной величины.

График плотности вероятности нормально распределенной случайной величины называется нормальной кривой распределения или кривой Гаусса. Функция распределения для нормально распределенной случайной величины:

Эта функция называется нормальной функцией распределения. Значения функции Ф приведены в приложении 2.

Множество значений случайной величины х, имеющей функцию распределения

F(х), называется генеральной совокупностью.

60