Metodichka_quot_Matematika_quot

Полный дифференциал:

3. Применение полного дифференциала для оценки погрешностей измерений

Несмотря на сложность и взаимосвязь различных процессов, протекающих в организме человека, в большинстве случаев среди них выделяют физические процессы, что приводит к необходимости проведения измерений и оценки состояния биологической системы по количественным показателям.

Общей чертой любых измерений является то, что ни одно из них невозможно произвести абсолютно точно из-за отсутствия идеально точных измерительных приборов, вследствие несовершенства органов чувств, несовершенства методики измерения. Иначе говоря, результат измерений всегда выражается приближенным числом или, как принято говорить, отягощен

погрешностью.

§ 1. Классификация погрешностей. Прямые и косвенные измерения

Следует различать три типа погрешностей: грубые или промахи, систематические и случайные погрешности измерений.

21

1.Грубые погрешности или промахи – это погрешности, резко выделяющие результат наблюдения из серии результатов, полученных в одинаковых условиях. Результат наблюдения, содержащий промах, должен быть исключен. Такие погрешности возникают из-за неправильного отсчета по прибору, неправильным записям (по невнимательности) и т.п.

2.К систематическим погрешностям относятся:

1)Погрешности, обусловленные несовершенством и неисправностью измерительного прибора (например, стрелка измерительного прибора может быть погнута). Измерительный прибор невозможно изготовить абсолютно точно хотя бы потому, что при его настройке и градуировке приходится производить измерения, а они отягощены погрешностями.

2)Погрешности, обусловленные несовершенством метода измерения. Чтобы избежать систематических погрешностей, нужно следить за исправностью приборов и критически относиться к методу измерения.

3.К случайным погрешностям относятся

1)Погрешности, обусловленные несовершенством органов чувств человека.

2)Погрешности, связанные с особенностями объекта и зависимостью измеряемой величины от контролируемых окружающих условий. Например, мы измеряли диаметр детали, а деталь в результате обработки нагрелась и имеет температуру выше комнатной, или сильно шероховатая. При измерениях в медицинской практике особенно важно учитывать отклонения параметров организма пациентов от средних значений в норме.

3)Погрешности, связанные с влиянием неконтролируемых внешних условий.

Все измерения можно разбить на два типа: прямые измерения и

косвенные.

Прямыми измерениями называются такие измерения, при которых непосредственно измеряется (сравнивается с мерой, эталоном) интересующая нас физическая величина. Например, измерение длины линейкой, измерение массы тела на весах и т.д.

22

Косвенными измерениями называются такие, при которых измеряется не сама интересующая нас величина, а другие величины, закономерно связанные с ней, результат измерения находится с помощью вычисления функциональной зависимости данной величины от других, которые были

измерены непосредственно. Например, скорость ходьбы υ = St .

Непосредственно измеряли путь S и время t, а скорость υ подсчитывали по вышеприведенной формуле.

§ 2. Абсолютная и относительная погрешности измерения

Для характеристики отклонения результата измерения от истинного значения измеряемой величины вводится понятие абсолютной погрешности.

Абсолютная погрешность равна разности между полученным и истинным значениями (которое мы не знаем) измеренной величины.

Пусть в результате измерения некоторой величины мы получили числовой результат Х. Пусть истинное значение этой величины Хист (которого мы никогда не знаем) в тех же единицах измерения. Тогда разность

Абсолютная погрешность ∆Х измеряется в тех же единицах, что и Х. Из формулы (1)

того, что экспериментатор не знает завышен или занижен результат относительно истинного значения.

Под относительной погрешностью (ε) измерения понимают отношение абсолютной погрешности к результату измерения. Относительную погрешность измеряют в относительных единицах или в процентах.

Относительная погрешность характеризует степень точности конкретного измерения.

23

§ 3. Оценка погрешностей прямых измерений1

При прямом однократном измерении (непосредственному отсчету по прибору) за абсолютную погрешность принимают половину цены наименьшего деления шкалы прибора.

Например, при измерении температуры был использован градусник, цена наименьшего деления которого равна 0,50. Абсолютная погрешность, допускаемая при измерении, составит 0,250.

При прямом многократном измерении получаем n значений измеряемой величины: Х1, Х2,. Х3, ….Хn. Результаты измерений обрабатываем по схеме:

1) Находим среднее значение измеренной величины как среднее арифметическое из значений полученных при отдельных измерениях:

2)Находим абсолютные погрешности отдельных измерений как разность между средним значением и значением, полученным при данном измерении:

∆Х1=Хср−Х1 ∆Х2=Хср−Х2

…………….

∆Хn=Хср−Хn

3) Находим среднюю погрешность как среднее арифметическое из абсолютных значений абсолютных погрешностей отдельных измерений:

∆Хср = ∆Х1 + ∆Х2n +... + ∆Хn

24

1 Обработка результатов измерений на основе математической статистики см. стр. 58.

§ 4. Вычисление погрешностей косвенных измерений

При косвенном измерении искомая величина рассчитывается по формуле, в которую входят непосредственно измеряемые величины. Например, для того, чтобы определить плотность вещества цилиндра следует измерить его массу m, высоту h и диаметр D. Плотность является функцией m, h и D.

Как, зная погрешности прямых измерениях (∆m, ∆d, ∆h), рассчитать погрешность, допускаемую при вычислении плотности?

Абсолютные погрешности всегда много меньше измеряемых величин. В теории погрешностей они рассматриваются как малые приращения аргументов и функций и поэтому обозначаются символом ∆. Расчет приращения функции ∆у, даже если она не очень сложная, задача весьма трудоемкая. Поэтому вместо приращения функции находят ее дифференциал, поскольку ∆у ≈ dy.

Чтобы вывести формулу для расчета погрешностей данной функции, необходимо:

1)Найти дифференциал функции.

2)Заменить символ дифференциала символом погрешности (d)→(∆) и изменить знаки (–) перед погрешностями на (+), т.к. погрешности можно только складывать.

ПРИМЕР 1: Плотность вещества цилиндра определяется по формуле ρ = π4Dm2h ,

где m − масса цилиндра, D − его диаметр, h − высота цилиндра, измеренные с погрешностями ∆m, ∆D, ∆h. Найти абсолютную ∆ρ и относительную погрешности ε = ∆ρρ плотности.

25

РЕШЕНИЕ: 1) Запишем дифференциал ρ. Т.к. ρ есть функция трех переменных, то по определению dρ = ρm′ dm + ρD′ dD + ρh′dh ;

2) Перейдем от символа дифференциала (d) к символу погрешности (∆) и при этом меняем знак минус перед погрешностями на знак плюс.

Экспериментатор обязан учесть максимальную погрешность. Не беда, если указанная погрешность окажется больше реальной.

∆ρ = πD42 h ∆m + π8Dm3h ∆D + π4Dm2 h ∆h

3)Относительная погрешность:

ε = ∆ρρ = ∆mm+2∆DD +∆hh

Второй способ решения:

1)Запишем натуральный логарифм ρ: lnρ = ln4 + lnm − lnπ − 2lnD − lnh

2)Возьмем дифференциалы от обеих частей полученного равенства:

ρ1 dρ = m1 dm − 2 D1 dD − 1h dh

3)Перейдем от символа дифференциала к символу погрешности (d→∆), заменим знаки минус перед погрешностями на плюс. Получим выражение для относительной погрешности:

26

Задание 8. Вывести выражение для абсолютной и относительной погрешностей:

88. Коэффициент поверхностного натяжения (метод отрыва капель):

α = α0 n0ρρ ; где n 0 ; n – измеряемые величины. n 0

Hl

89. Подвижность ионов: µ = Ut ; где все величины – измеряемые.

90. Длина волны генератора УВЧ:

95. Сила взаимодействия точечных зарядов:

F=k qr1 q2 2 , где q1, q2 , r – измеряемые величины

Определить абсолютную и относительную погрешности периода колебаний,

если m = (0,400 ± 0,001)кг, k = (14,40 ± 0,05) Н м.

27

97. Коэффициент поверхностного натяжения, измеренный методом отрыва

28

Глава ΙΙ. Основы интегрального исчисления

1.Неопределенный интеграл

§1. Первообразная функции и неопределенный интеграл

Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием. Путем интегрирования, зная производную или дифференциал функции,

можно найти саму функцию (восстановить функцию). При этом искомая функция называется первообразной для данной функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: Первообразной функцией по отношению к данной функции y = f (х) называется всякая функция F(х) производная от которой

равна данной функции, т.е.

множество, т.к. любая функция, отличающаяся от F(x) на постоянную величину, также является первообразной, т.е.

[F (x) + C]′ = F ′(x) = f(x)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: Совокупность первообразных F(x)+C для данной функции f(x) или для данного дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается символом

29

§2. Основные свойства неопределенного интеграла

1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

(∫ f (x)dx)′= f(x).

2.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

d ∫ f ( x)dx = f (x)dx.

3. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс const:

∫dF(x) =F(x)+C.

Эти свойства вытекают из определения первообразной – формулы (1) и (2) и определения неопределенного интеграла – формула (3).

4.Постоянный множитель С можно выносить за знак интеграла:

∫Сf (x)dx = С ∫ f (x)dx .

5.Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых, т.е.:

∫[ f1(x) + f2 (x) − f3(x)]dx = ∫ f1(x)dx + ∫ f2 (x)dx − ∫ f3 (x)dx

§ 3. Таблица основных интегралов

Пользуясь свойством 3 неопределенного интеграла можно получить формулы интегрирования. Например:

∫d (sin x +C) = ∫cos xdx = sin x +C .

30