Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский государственный медицинский университет

Предмет:

Математика

Файл:

Metodichka_quot_Matematika_quot

.pdf

Скачиваний:

274

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

772 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

§ 6. Нахождение производных по основным формулам дифференцирования

ПРИМЕР 1.

у = х2 – 5

РЕШЕНИЕ: По

правилу

дифференцирования

алгебраической суммы

функций получаем: y

′

= (x

−5)

′

= (x

′

)

−5 .

Применяя формулы (2) и (1), получим:

yx' = 2x + 0 = 2x

ПРИМЕР 2.

у = 3tgx +

2x −ctgx

РЕШЕНИЕ: По формулe (15)

y′ = (3tgx)′+ (

2x )′

−(ctgx)′.

По формуле (17)

y′ = 3(tgx)′+

(2 x )′− (ctgx)′.

Используя формулы (9), (3), и (10), получим: y′ = 3

2x ln 2 +

cos2

sin 2 x

ПРИМЕР 3.

y = 2e x cos x

РЕШЕНИЕ: Так как постоянный множитель входит множителем в

производную (13):

y′ = 2(ex cos x)′.

По правилу дифференцирования произведения функций (16) и формулам (4),(8)

y′ = 2[(ex )′cos x +ex (cos x)′]			y′ = 2[ex cos x −ex (sin x)]
ПРИМЕР 4.	y =	e x x3
		ln x

РЕШЕНИЕ: Применяем правило дифференцирования отношения функций (18):

y′ = (e

′

ln x −e

(ln x)

′

)

(ln x)2

(ex x3 +ex 3x2 )ln x −ex x3

по правилу (16) и формулам (4), (2) и (6):

y′ =

ln2 x

Задание 1. Найти производные функций:

1. y = 5x4

y = 3x3 − 2x +1

y =

−

2x3

+ x

x 2

y =

−

y =33 x −6 x

x + x

− x2

+ x3

a + b

a − b

y = x −sin x

y = x2 −tgx

y = x2 cos x

10.

y = e x

ctgx

11.

y =

сosx

12. y =

x 2

13.

y = ln x sin x

14.

y =

15. y =

ln x cos x

§ 7. Производная сложной функции

Сложной функцией называется функция от функции. Пусть у=ƒ(z) и z=φ(x), Здесь х – независимая переменная, z – промежуточная функция аргумента х и одновременно аргумент функции у, т.е. y = f [ϕ(х)].

Сложная функция дифференцируется по так называемому правилу цепочки:

Производная сложной функции равна произведению производной по промежуточной функции на производную промежуточной функции по независимому аргументу: y′x = y′z z′x

ПРИМЕР 1. y = 4sin(x2 +1)

РЕШЕНИЕ: Данную функцию можно представить в виде у =4sin z, где z=x2 + 1. По правилу нахождения производной сложной функции и формулам (17), (7),

′	′		2	′	=4cos(z)2x или	y	′	= 8хcos(x	2	+1)
(15) и (2) y	=4(sinz)z (x			+1)x	=4cos(z)2x или	y		= 8хcos(x		+1)
ПРИМЕР 2.	y =	x −ctgx

РЕШЕНИЕ: Освободимся от корня: y = (x −ctgx)12 . Данную функцию можно

представить в виде y = z 12 ,

где

(х

–

ctgx). По

правилу

нахождения

производной сложной функции и формулам (2), (10), и (15):

y′ =(z

2 )′z (x −ctgx)′x

−1

(1+

) =

(1+

) .

sin

x −ctgx

sin

y = x2 e−sin x

Дифференцирование этой сложной функции можно записать иначе:

y′=	1	(x −ctgx)	−1	2	(x −ctgx)′x =	1	(1	+	1			) .
	2					2 x −ctgx			sin	2	x

Второй способ записи без особого обозначения промежуточной функции значительно проще. Этому способу записи и следует научиться при дифференцировании сложной функции.

ПРИМЕР 3.

y =

cos x

2sin 2 x

РЕШЕНИЕ: По формулам (18), (8), (2), и (7).

′

sin

x −cos x(sin

′

−sin x sin

x −cos x2sin x(sin x)

′

1 (cos x)

sin

′

x −cosx2sin xcox

1 sin x(sin

x +2cos x)

1+cos

−sin xsin

=−

sin

2sin

ПРИМЕР 4.

РЕШЕНИЕ: Применяя правило дифференцирования (16), получим:

y′ = (x2 )′e−sin x + x2 (e−sin x )′. По формулам (2), (4), (7) таблицы производных:

y′ = 2xe−sin x + x2 (e−sin x )(−sin x)′x = 2xe−sin x + x2 (e−sin x )(−cos x)

у′=xe−sinx (2−xcosx)

Задание 2. Найти производные сложных функций.

16. y = x 2			+ 2					32.	у =а3х+1				48. y = exlnx
17.	у = sin6х							33	y = ex2				49. у = ехcosex
18.	у = sinx3							34.	y =		2		50.	y = 3x2 +5x+1
18.	у = sinx3							34.	y =	(3x 2		− 5)3	50.	y = 3x2 +5x+1
19.	у = ln		x					35.	y = tge−2 x				51.	y=x2(5x−4)6
20.	у = ln(x		2	+2)				36. y =(3x2 −2a2) a2 +3x2					52.	y =	5+3x +x2
20.	у = ln(x			+2)				36. y =(3x2 −2a2) a2 +3x2					52.	y =	5−3x+x2
	y =(5x	2	−7x)(15x		2	+5)	4				2	2		3			2
21.													53. y= (sin			x)/sinx
								37.	у = tg5х			+ ln( x )	53. y= (sin			x)/sinx
								37.	у = tg5х			+ ln( x )

22. y =			1		38.	y = cos lx
		x 2 + 5
23.	y = ctgqx				39.	y = sin 2x2
24.	y = tg		1 + x		40.	y = cos	1
				x			1 + x
25.	y = cos6			x	41.	y = sin x
26.	y =		1		42. y = a 3x		( a >0)
		cos3		x

27.	y = 2x3				43.	y = 4sin 2 x
28. у = 18 х sin2x					44.	y = etgx

54.ctg2ln3x

55.y = sin x

56.y = 3sin2 x

57.y = sin2 x+3cos3 4x

58.y = 7 4 x

59.у = ctg2x – (sinx)

60.	y = ln		x
		1	− x4

29	y = ln	x	45. y = ln	1	+ x	61.	y = log		x2
		+ x 2			− x			5
	1		1
30. y = log2(4х2)			46 y = ln x3 +ln3 x			62. у = х tg3x

31	y = xtgx		47. y = sin(ln x)			63.	y = ln(tgx)

Задание 3. Решить задачи

64. В результате значительной потери крови содержание железа в крови уменьшилось на 210 мг. Недостаток железа У вследствие его восстановления с

−t	7 (t выражено в сутках).
течением времени t уменьшается по закону У=210 e

Найти зависимость скорости восстановления железа в крови от времени. Вычислить эту скорость в момент времени t =0 и через 7 суток.

65.Величина потенциала, возникающего при возбуждении сетчатки под действием света равна U = αsin(0.2t + 0,05t2– 0,003t3), где α – постоянная величина, t – время, отсчитываемое от момента освещения. Определить потенциал и скорость изменения потенциала в момент освещения.

66.Фабричная труба выбрасывает за единицу времени Р граммов газообразного вещества, которое в результате диффузии распространяется в

окружающем воздухе. При неподвижном воздухе концентрация этого вещества на расстоянии r от отверстия трубы определяется формулой: С = 4πРDr , где D –

коэффициент диффузии. Найти убывание концентрации на каждую единицу расстояния (градиент концентрации).

§ 8. Производные второго и высших порядков

Производная y′ = f ′(x) от функции y = f (x) в общем случае является

функцией аргумента x и также может быть дифференцируема.

Производная от производной называется производной второго порядка или просто второй производной.

Производная от второй производной называется третьей производной. Производная от третьей производной называется четвертой производной и т.д. Т.е. производная порядка n есть производная от производной порядка (n −1) .

ОБОЗНАЧЕНИЯ:

Вторая

производная функции

y = f (x)

обозначается

одним из символов:

′′

(читается: игрек два штриха);

d 2 y

(читается: де два

dx 2

игрек по де икс дважды); f

′′

(x) (читается: эф два штриха от икс). Третья

производная функции y = f (x)

обозначается одним из символов:

y′′′ (читается:

игрек три штриха); f

′′′

d 3 y

(3)

(x) (читается: эф три штриха от икс); dx3 ;

Производная порядка n есть производная от производной порядка (n −1) .

Эта производная обозначается одним из символов: f (n) (x) ,

y (n)

или

d n y

. Для

dx n

обозначения последовательных производных приняты обозначения:

y′′,

y (3) ,

y (4) , ... .

Физический смысл второй производной: Если точка движется по прямой и задан ее закон движения s = f (t) , ( s — путь, t — время), то ускорение точки

равно второй производной от пути по времени.

V = st′ = f ′(t) ; a = vt′ = st′′ = f ′′(t) .

Задание 4. Найти третью производную функций:

67. y = 5x4	68. y =eax	69. y = x2 sin x

Найти y (4) :
70. y =3x4 +5x3 −4x2 +8		71. y = x +5

Задание 5. Решить задачу:

Центр тяжести кисти человека при ходьбе совершает колебания по закону s = 20 sin1,5 π t (см) Определите максимальные скорость и ускорение центра тяжести кисти, а также период колебаний.

2.Дифференциал функции

Спонятием производной теснейшим образом связано фундаментальное понятие математического анализа – дифференциал функции.

§1. Дифференциал функции и его геометрический смысл

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Дифференциал функции равен произведению

производной функции на приращение ее аргумента
dy= y′∆х.	(1)
Дифференциал аргумента х равен его приращению, т.е. dх=∆х. Тогда
dy= y ′ dx.	(2)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента.

Формула (2) используется при вычислениях дифференциалов. Согласно

определению производная функции y = f (x)

y′= lim ∆y .

∆x→0 ∆x

Известно, что разность между переменной величиной (в данном случае это

и ее пределом ( y′) есть величина бесконечно малая (α) . Имеем:

∆y ∆x )

∆∆yx – y′=α,

где α→0 при ∆х →0 ; отсюда
∆у = y′∆х +α∆х.	(3)
Приращение функции состоит из двух слагаемых	y′∆х и α∆х, причем

второе слагаемое (α∆х), как произведение двух бесконечно малых (α – бесконечно малая величина по определению, а ∆х – по условию) является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем ∆х. Следовательно,

слагаемым α∆х в равенстве (3) можно пренебречь по сравнению с y′∆х

∆у≈ y′∆х.	(4)
С учетом определения дифференциала – формула (1) –	можно записать:
dy ≈ ∆y.	(5)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Дифференциал функции при малых ∆х приблизительно равен приращению функции: dy ≈ ∆y.

Геометрический смысл дифференциала функции можно пояснить с

	M1
		T	∆y
M(x,y)	N	dy	∆y
M(x,y)	N
α	∆x
α
x	x+∆x		X

помощью рис. 2, на котором функция y = f (x) задана графически.

Рис. 2. Геометрический смысл дифференциала функции.

Возьмем на графике точку М(х,у) и точку М1(х+∆х, у+∆у). Проведем касательную к графику в точке М. Производная от функции в точке М равна тангенсу угла наклона касательной: у′ = tgα . Из треугольника МTN

у′ = tgα = TN∆х .

По определению дифференциала (1): dy = y′∆x = TN∆x ∆x = TN

Таким образом, дифференциал функции y = f (x) геометрически

представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке с абсциссой х при переходе от точки касания к точке с абсциссой х+∆х.

§ 2. Правила вычисления дифференциала

Таблица для вычисления дифференциалов основных элементарных функций получается из таблицы для вычисления производных этих функций путем умножения соответствующей производной на дифференциал независимой переменной dx .

Дифференциал произведения с=const на

d(cu) = cdu

(1)

функцию u

Дифференциал алгебраической суммы

d(u ± v) = du ± dv

(2)

функций

Дифференциал произведения функций

d(uv) = udv + vdu

(3)

Дифференциал частного двух функций

) =

vdu − udv

(4)

v 2

ПРИМЕР 1: Найти дифференциал функции

y = ln(x2 +1) .

РЕШЕНИЕ: dy = [ln(x2 +1)]′x dx =

(x2

+1)′x dx =

dx .

x2 +

Задание 6. Найти дифференциал функций:

72.	y = ax3 + bx 2 − cx		73.	y = ln x 2 + ln 2 x

	2				x
74.	y =	ln x	75.	y =
		x			1 − x 2

§ 3. Частные производные. Полный дифференциал

Большинство процессов, протекающих в окружающей нас природе и жизни, подчинены законам, выражающим зависимость между несколькими переменными величинами, одна из которых функционально связана с остальными. Любая физиологическая характеристика (давление, вес, температура, и т.д.) является функцией многих переменных.

Пусть задана функция нескольких (например, трех) переменных u = f (x, y, z) . Для такой функции можно найти 3 частных производных по каждому из аргументов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: Частная производная функции по данному аргументу − это производная, взятая от функции в предположении, что остальные аргументы данной функции есть величины постоянные.

Частная производная по y

обозначается одним из символов:

∂u

(читается: де

∂y

круглое u по де игрек круглое), ∂f ,

u′ ,

f ′.

∂f

= lim

f (x, y + ∆y, z) − f (x, y, z)

, а

∂y

∆y→0

∆y

частная

производная

по

—

одним

из

символов

∂u

∂f ,

u′z ,

f z′.

∂z

∂f

= lim

f (x, y, z + ∆z) − f (x, y, z)

∂z

∆z→0

∆z

ПРИМЕР 1: Найти частные производные функции u = 3(x2

+ y)n .

РЕШЕНИЕ: ∂u = 3n(x2

+ y)n−1

(x2 + y)′x . Здесь y=const, поэтому

∂x

∂u = 3n(x2

+ y)n−1

(2х + 0) = 3n(x2 + y)n−1 2х

∂x

∂u	= 3n(x2 + y)n−1 (x2 + y)′y , т.к. х=соnst
∂y
∂u	= 3n(x2 + y)n−1 (0 +1) =3n(x2 + y)n−1 .
∂y
Если функция зависит от нескольких (например, трех)		переменных
u = f (x, y, z) , то ее полный дифференциал
	du = u′x dx + u′y dy + u′z dz	(1)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: Полный дифференциал функции n переменных равен

сумме n произведений частных производных по каждому из аргументов на

дифференциал соответствующего аргумента.
ПРИМЕР 2: Найти полный дифференциал функции u = sin(ax−by).
РЕШЕНИЕ: Найдем частные производные. u′x = cos(ax −by)(ax −by)′x
u′x = cos(ax −by)(ax)′x , т.к. y=const		при дифференцировании по х,	то и
bу=const, следовательно u′x	= аcos(ax −by)
Частная производная	по переменной	у берется в предположении,	что

х=const. Произведение двух постоянных величин (ах) также величина постоянная.

u′у = cos(ax −by)(ax −by)′у = сos(ax −by)(−by)′у	= −b cos(ax −by) .
По определению 2: du= аcos(ax −by) dx −b cos(ax −by) dy.
ПРИМЕР 3: Найти полный дифференциал функции u =	x2 + y2 −2z3 .

РЕШЕНИЕ: Освободимся от корня: u = (x2 + y2 −2z3 )12

Частные производные:

u′x =		1	(x		2	+ y		2	−2z		3	)		−	1	2	(x		2	+ y		2	−2z			3	)′x	u′x	=	1	(x			2		+ y			2		−2z			3			)		−			1	2 2x
u′x =		2	(x			+ y			−2z			)				2	(x			+ y			−2z				)′x	u′x	=	2	(x					+ y					−2z						)						2 2x
		2																												2
u′y =		1	(x	2		+ y	2		−2z	3	)		−1		2 (x			2	+ y		2	−2z		3	)′y			u′y =	1	(x		2	+ y				2	−			2z	3	)		−1					2		2y
u′y =		2	(x			+ y			−2z		)				2 (x				+ y			−2z			)′y			u′y =	2	(x			+ y					−			2z		)							2		2y
		2																											2
u′z	=	1	(x	2		+ y	2		−2z	3	)		−1		2 (x			2	+ y		2	−2z		3	)′z			u′z	=	1		(x			2	+ y				2	−2z					3		)			−1			2 (−6z	2	)′.
u′z	=	2	(x			+ y			−2z		)				2 (x				+ y			−2z			)′z			u′z	=	2		(x				+ y					−2z							)						2 (−6z		)′.
		2																												2

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>